2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 抛物线及其标准方程学案(含解析)新人教B版选

2．3.1 抛物线及其标准方程
学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程的求法.3.明确抛物线标准方程中p 的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．
知识点一 抛物线的定义
平面内到一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 知识点二 抛物线的标准方程
图形
标准方程 y 2＝2px (p >0)
y 2＝－2px (p >0)
x 2＝2py (p >0)
x 2＝－2py (p >0)
焦点坐标 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，0
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，p 2 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，－p 2 准线方程 x ＝－p 2
x ＝p 2
y ＝－p 2
y ＝p 2
1．在平面内，点P 到点F 和到直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) 2．抛物线其实就是双曲线的一支．( × )
3．抛物线的标准方程只需焦点到准线的距离p 就可以确定．( × )
题型一 求抛物线的标准方程
例1 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程． (1)经过点(－3，－1)；
(2)焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点． 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程
解 (1)因为点(－3，－1)在第三象限，
所以设所求抛物线的标准方程为
y 2＝－2px (p >0)或x 2＝－2py (p >0)．
若抛物线的标准方程为y 2
＝－2px (p >0)， 则由(－1)2
＝－2p ×(－3)，解得p ＝16；
若抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)， 则由(－3)2
＝－2p ×(－1)，解得p ＝92
.
故所求抛物线的标准方程为y 2＝－13x 或x 2
＝－9y .
(2)对于直线方程3x －4y －12＝0， 令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4， 所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)． 当焦点为(0，－3)时，p
2＝3，所以p ＝6，
此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ； 当焦点为(4,0)时，p
2＝4，所以p ＝8，
此时抛物线的标准方程为y 2＝16x .
故所求抛物线的标准方程为x 2
＝－12y 或y 2
＝16x . 反思感悟 求抛物线的标准方程的方法
注意 当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y 2
＝ax 或x 2
＝ay (a ≠0)的形式，以简化讨论过程．
跟踪训练1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝2
3
；
(2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5. 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程
解 (1)易知抛物线的准线交y 轴于正半轴，且p 2＝23，则p ＝43，故所求抛物线的标准方程为x 2
＝－
83y .
(2)已知抛物线的焦点在y 轴上，可设方程为x 2
＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m |＝5，
m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x 2＝10y 和x 2＝－10y .
题型二 抛物线定义的应用
命题角度1 利用抛物线定义求轨迹(方程)
例2 若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12.求点M 的轨迹方程．
考点 题点
解 由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－1
2
的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线
的抛物线(不包含原点)，其方程应为y 2
＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12
，所以p ＝1,2p ＝2，故点M 的轨
迹方程为y 2
＝2x (x ≠0)．
反思感悟 解决轨迹为抛物线问题的方法
抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件．
跟踪训练2 已知动圆M 经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆圆心M 的轨迹方程． 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用
解 设动点M (x ，y )，⊙M 与直线l ：x ＝－3的切点为N ， 则|MA |＝|MN |，
即动点M 到定点A 和定直线l ：x ＝－3的距离相等，
∴点M 的轨迹是抛物线，且以A (3,0)为焦点，以直线l ：x ＝－3为准线， ∴p
2
＝3，∴p ＝6， 故动圆圆心M 的轨迹方程是y 2
＝12x .
命题角度2 利用抛物线定义求最值或点的坐标
例3 如图，已知抛物线y 2
＝2x 的焦点是F ，点P (x 0，y 0)是抛物线上一点．
(1)若|PF |＝5
4
x 0，求x 0；
(2)已知点A (3,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求此时P 点坐标． 考点 求抛物线的最值问题 题点 根据抛物线定义转换求最值
解 (1)由题意知抛物线的准线为x ＝－12，根据抛物线的定义可得，x 0＋12＝|PF |＝5
4x 0，解得x 0＝2.
(2)如图，作PQ ⊥l 于Q ，由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，由图可知，求|PA |＋|PF |的最小值的问题可转化为求|PA |＋d 的最小值的问题． 将x ＝3代入抛物线方程y 2
＝2x ，得y ＝± 6.
∵6>2，∴A 在抛物线内部．
由图可知，当PA ⊥l 时，|PA |＋d 最小，最小值为7
2.
即|PA |＋|PF |的最小值为7
2
，
此时P 点纵坐标为2，代入y 2
＝2x ，得x 0＝2. ∴点P 坐标为(2,2)． 引申探究
若将本例中的点A (3,2)改为点(0,2)，求点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值．
解 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．
由图可知，P 点，(0,2)点和抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0三点共线时距离之和最小，所以最小距离d ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫0－122＋2－02
＝
17
2
. 反思感悟 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．
跟踪训练3 抛物线y 2
＝－2px (p >0)上有一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标． 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用
解 设焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－p
2，0，M 点到准线的距离为d ，
则d ＝|MF |＝10， 即9＋p
2＝10，∴p ＝2，
∴抛物线方程为y 2
＝－4x .
将M (－9，y )代入抛物线的方程，得y ＝±6. ∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
抛物线的实际应用问题
典例 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m 时，水面宽为8m ，一小船宽4m ，高2m ，载货后船露出水面上的部分高0.75m ，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m 时，小船开始不能通航？
考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用
解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为x 2
＝－2py (p >0)， 由题意可知，点B (4，－5)在抛物线上，
故p ＝85，得x 2
＝－165
y .
当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航， 设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )， 由22
＝－165y A ，得y A ＝－54
.
又知船面露出水面上的部分高为0.75m ， 所以h ＝|y A |＋0.75＝2(m)．
所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m 时，小船开始不能通航．
[素养评析] 首先确定与实际问题相匹配的数学模型．此问题中拱桥是抛物线型，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为： (1)建系：建立适当的坐标系． (2)假设：设出合适的抛物线标准方程． (3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程． (4)求解：求出需要求出的量．
(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题.
1．抛物线y ＝14x 2
的准线方程是( )
A ．y ＝－1
B ．y ＝－2
C ．x ＝－1
D ．x ＝－2
答案 A
解析 由y ＝14x 2，得x 2
＝4y ，则抛物线的焦点在y 轴正半轴上，且2p ＝4，即p ＝2，因此准线方程
为y ＝－p
2
＝－1.
2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 2
2＝1上，则抛物线方程为( )
A ．y 2
＝8x B ．y 2
＝4x C ．y 2＝2x D ．y 2
＝±8x
答案 D
解析 由题意知抛物线的焦点为双曲线x 24－y 2
2
＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程
为y 2＝8x 或y 2
＝－8x .
3．已知抛物线C ：y 2
＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )
A ．4
B ．2
C ．1
D ．8 答案 C
解析 如图，F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，0，
过A 作AA ′⊥准线l ， ∴|AF |＝|AA ′|， ∴54x 0＝x 0＋p 2＝x 0＋14， ∴x 0＝1.
4．若点P 到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离少1，则动点P 的轨迹方程是________． 考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程 答案 y 2
＝16x
解析 ∵点P 到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离少1， ∴点P 到直线x ＝－4的距离和它到点(4,0)的距离相等．
根据抛物线的定义可得点P 的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x ＝－4为准线的抛物线，设抛物线的标准方程为y 2
＝2px (p >0)，
∴p
2
＝4，∴动点P 的轨迹方程为y 2
＝16x . 5．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，求点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值．
解 如图，易知抛物线的焦点为F (1，0)，准线是x ＝－1，
由抛物线的定义知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离． 于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，
使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小， 显然，连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为[1－－1]2
＋
0－1
2
＝ 5.
1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2
＝mx (m ≠0)，此时焦点为F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫m
4，0，准线方程
为x ＝－m
4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2
＝my (m ≠0)，此时焦点为F ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
0，m 4，
准线方程为y ＝－m
4
.
2．设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．若M (x 0，y 0)在抛物线y 2
＝2px (p >0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF |＝x 0＋p
2
.
3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．
一、选择题
1．抛物线y 2
＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0) D ．(－4,0)
答案 B
解析 ∵y 2＝－8x ，∴p ＝4，∴焦点坐标为(－2,0)．
2．已知抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C ．(0，－1) D ．(0,1) 答案 B
解析 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2.由题设知－p
2
＝－1，即p ＝2，故焦点坐标为
()1，0.故选B.
3．已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2
＋y 2
＝16相切，则p 的值为( )
A.1
2B ．1C ．2D ．4 答案 C
解析 抛物线y 2
＝2px 的准线方程为x ＝－p
2，它与圆相切，所以必有3－⎝ ⎛⎭⎪⎫
－p 2＝4，p ＝2.
4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4B ．6C ．8D ．12 答案 B
解析 由抛物线的定义可知，点P 到抛物线焦点的距离是4＋2＝6. 5．过点F (0,3)，且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2
＝12x B ．y 2
＝－12x C ．x 2＝12y D ．x 2
＝－12y
答案 C
解析 由题意，知动圆圆心到点F (0,3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，轨迹方程为x 2
＝12y .
6．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2
＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－43B ．－1C ．－34D ．－1
2
答案 C
解析 因为抛物线C ：y 2
＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，且点A (－2,3)在准线上，故－p 2＝－2，解得
p ＝4.所以抛物线方程为y 2＝8x ，焦点F 的坐标为(2,0)，这时直线AF 的斜率k AF ＝
3－0－2－2＝－3
4
. 7．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2
＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( ) A ．2 B ．2 2 C ．2 3 D ．4
答案 C
解析 抛物线C 的准线方程为x ＝－2，焦点F (2，0)，由|PF |＝42及抛物线的定义知，P 点的横坐标x P ＝32，从而纵坐标y P ＝±2 6. ∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝1
2×2×26＝2 3.
二、填空题
8．若抛物线y ＝ax 2
的准线方程是y ＝2，则a ＝________.
答案 －1
8
解析 y ＝ax 2可化为x 2
＝1a
y .
∵准线方程为y ＝2，∴a <0且－1
4a ＝2，
∴a ＝－1
8
.
9．若椭圆x 23＋4y 2p
2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2
＝2px 的准线上，则p 为________．
答案
6
解析 由题意知，左焦点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－p 2，0，则c ＝p
2.
∵a 2
＝3，b 2
＝p 2
4，
∴3＝p 24＋p 2
4
，得p ＝ 6.
10．抛物线y ＝4x 2
上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是__________． 答案
1516
解析 抛物线方程化为x 2
＝14y ，准线为y ＝－116.由于点M 到焦点的距离为1，所以点M 到准线的距
离也为1，所以点M 的纵坐标等于1－116＝15
16
.
11．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2
＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________． 考点 求抛物线的最值问题 题点 根据抛物线定义转换求最值 答案 2
解析 如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为到点F 的距离，由图可知，距离和的最小值，即F 到直线l 1的距离d ＝
|4＋6|－3
2
＋4
2
＝2.
三、解答题
12．已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．
(1)y 2
＝－6x ；
(2)3x 2＋5y ＝0；
(3)y 2＝a 2x (a ≠0)．
考点 抛物线的几何性质
题点 与准线、焦点有关的简单几何性质
解 (1)由方程y 2＝－6x ，知抛物线开口向左， 2p ＝6，p ＝3，p 2＝32
， 所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，0，准线方程为x ＝32. (2)将3x 2＋5y ＝0变形为x 2＝－53
y ， 知抛物线开口向下，
2p ＝53，p ＝56，p 2＝512
， 所以焦点坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫0，－512，准线方程为y ＝512. (3)由方程y 2＝a 2x (a ≠0)知抛物线开口向右，
2p ＝a 2，p ＝a 22，p 2＝a 24， 所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 24，0，准线方程为x ＝－a 24. 13．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过x 2a 2－y 2
b 2＝1的一个焦点，且与x 轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，6，求抛物线和双曲线的方程． 考点 抛物线的几何性质
题点 抛物线与其他曲线结合的有关问题
解 因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x 轴，所以可设抛物线方程为y 2
＝
2px (p >0)．将点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6代入方程，得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .准线方程为x ＝－1.由此知双曲线方程中c ＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，6到两焦点距离之差2a ＝1， 所以双曲线的标准方程为x 214－y 23
4
＝1.
14．(2018·潍坊联考)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值是________．
考点
题点
答案 17－1
解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0,4)，半径r ＝1，根据抛物
线的定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，进而推断出当P ，Q ，F 三点共线时，点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点的距离之和最小，为|FC |－r ＝17－1.
15．已知曲线C 上的任意一点到定点F (1,0)的距离与到定直线x ＝－1的距离相等．
(1)求曲线C 的方程；
(2)若曲线C 上有两个定点A ，B 分别在其对称轴的上、下两侧，且|FA |＝2，|FB |＝5，求原点O 到直线AB 的距离．
解 (1)因为曲线C 上任意一点到点F (1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，
所以曲线C 的轨迹是以F (1,0)为焦点的抛物线，
且p 2
＝1，所以曲线C 的方程为y 2
＝4x . (2)由抛物线的定义结合|FA |＝2可得，A 到准线 x ＝－1的距离为2，
即A 的横坐标为1，代入抛物线方程可得y ＝2，
即A (1,2)，
同理可得B (4，－4)，故直线AB 的斜率k ＝2－－41－4
＝－2， 故AB 的方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0，
由点到直线的距离公式，得原点O 到直线AB 的距离为
|－4|22＋1
2＝455.。