数列通项几种求法

数列通项公式的几种求法
数列通项公式直接表述了数列的本质，是给出数列的一种重要方法。

数列通项公式具备两大功能，第一，可以通过数列通项公式求出数列中任意一项；第二，可以通过数列通项公式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题；因此，求数列通项公式是高中数学中最为常见的题型之一，它既考察等价转换与化归的数学思想，又能反映学生对数列的理解深度，具有一定的技巧性，是衡量考生数学素质的要素之一，因而经常渗透在高考和数学竞赛中。

一、观察法
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而 根据规律写出此数列的一个通项。

例1 、已知数列
646132291613854121，，，，，-- 写出此数列的一个通项公式。

解 观察数列前若干项可得通项公式为n
n
n
n a 2
32)
1(--=
二．公式法
1、通项公式
牢记等差数列和等比数列的通项公式
2、通用公式
⎩⎨
⎧≥-==-)2()1(11
n S S n S a n n n
已知数列的前n 项和求通项时，通常用公式⎩⎨
⎧≥-==-)2()1(11
n S S n S a n n n 。

用此公式时要注意
结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”即a 1和a n 合为一
个表达式。

例2、已知数列{a n }的前n 和n S 满足,1)1(log 2+=+n S n 求此数列的通项公式。

解 由条件可得121-=+n n S ，当n
n n n n n S S a n a n 2222,31111=-=-=≥==+-时当时
所以
⎩⎨⎧≥==)
2(2)1(3
n n a n n
三．递推法 1、叠加法
)(1n f a a n n +
=+型
若数列{a n }满足)(1n f a a n n +=+的递推式，其中
)
(n f 又是等差数列或等比数列，则可用累差
迭加法求通项。

1()11122111(1)12234...1234...1234...2 叠加(可参考等差数列通项公式的求法） 例：
+) (叠加） n n n n n n n n n a a f a a a n a a n a a n
a a n n n n
a a -----==-=-=--=-=+++++=+++++=+++++=
⋅L L
例3、在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求
解：依题意,∵121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅+- ∴222135(23)2(1)23n a n n n n =++++⋅⋅⋅+-=+-=-+ 点评:在运用累加法时,要注意项数,计算时项数容易出错.
2、叠乘法
1-=n n a a )(n f )
2(≥n 型
若数列{a n }能写成1
-=n n a a )(n f )
2(≥n 的形式，则可由1
-=n n a a )
(n f ，
21--=n n a a )
1(-n f ， 32--=n n a a
)2(-n f ，…… 12a a =)
2(f 连乘求得通项公式。

1()11112211
(1)1
2234...n n n n n n n n n n a a f a a a a n a a n a a a a n a -----=⨯=⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯= 叠乘(可参考等比数列通项公式的求法） 例： =n
=
=
)
(叠乘）
L L 1234...1234...n a a n n n ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯== =！
例4、在数列{}n a 中, n a >0,22
1112,(1)n n n n a na n a a a ++==++,求n a .
解:依题意可得:11[(1)]()0n n n n n a na a a +++-+=.而n a >0,所以
1
(1)0
n n n a na ++-=
即:11n n n
a a n +=
+,由321121n
n n a
a a a a a a a -=⋅⋅⋅ 可得:2n a n
=
.
点评:本题考查了因式分解及累乘法的运用.
3、构造函数法：
()n f pa a n n +=+1型
对
()n f pa a n n +=+1 型的递推关系，只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差
异．
例5、已知数列{}n a 满足1111,32n n n a a a ++==+,求n a .
解:将已知递推式两边同除以12n +得:
11
312
2
2
n n n n
a a ++=
⨯
+,设2
n n n
a b =
,故有:
132(2)2
n n b b ++=
⨯+⇒1
5322
n n n
b -⨯=
-,从而1
1
53
2
n n n a -+=⨯-.
点评:通过变形,构造辅助数列,转化为基本数列的问题,是我们求解陌生的递
推关系式的常用方法.
例6、设数列
{}n a ：)2(,123,41
1≥-+==-n n a a a n n ，求n
a .
解：设
B An b a B ，
An a b n
n n n --=++=则，将1,-n n a a 代入递推式，得
[]12)1(31
-+---=---n B n A b B An b n n )133()23(31
+----=-A B n A b n
⎩⎨⎧+-=-=∴13323A B B A A ⎩⎨
⎧==11
B A
1++=∴n a b n
n 取…（１）则
1
3-=n n b b ,又
6
1=b ，故
n
n n
b 32361⨯=⨯=-代入（１）得132--⨯=n a n
n
说明：（1）若
)
(n f 为n 的二次式，则可设C Bn An a b n
n +++=2
;
（
2
）本题也可由
1231-+=-n a a n n ,
1)1(232
1--+=--n a a n n （
3≥n ）两式相减
得
2)(32
11+-=----n n n n a a a a 转化为
q pb b n n +=-1
求之.
例7、已知数列{}n a 满足1111,2,21,.2
n n n a n a a n a -=≥=
+-当时求
解:作n n b a An B =++,则n n a b An B =--,11(1)n n a b A n B --=---代入已知递推式中得:11111(
2)(
1)
22
22n n b b A n A B -=
++++
-.
令1
2021110
22
A A
B ⎧+=⎪⎪
⎨⎪+-=⎪⎩46A B =-⎧⇒⎨
=⎩ 这时112n n b b -=
且46n n b a n =-+ 显然,1
3
2
n n b -=
,所以1
3462
n n a n -=
+-.
点评:通过引入一些待定系数来转化命题结构,经过变形和比较,把问题转化成
基本数列,从而使问题得以解决.
例8、已知数列{}n a 满足12212,3,32n n n a a a a a ++===-,求n a .
解法一:由递推关系式可得2112()n n n n a a a a +++-=-,所以数列{1n n a a +-} 是一个等比数列
∴1n n a a +-=1121()22n n a a ---=(这是类型1) ∴21212221n n n a --=+++⋅⋅⋅+=+
解法二：由递推关系式可得2112()n n n n a a a a +++-=-,所以数列{1n n a a +-} 是一个等比数列
∴1n n a a +-=1121()22n n a a ---=， ⑴
同理，由21122n n n n a a a a +++-=-知数列列{12n n a a +-}是一个常数列。

故有：
12122341n n a a a a +-=-=-=- ⑵
由⑴⑵可得：121n n a -=+
点评:这种类型的求解关键是,αβ的确定,巧妙地构造新数列仍然是解题的关键.尤其注意解法二，解方程的计算量
往往比常规方法简单
4、求解方程法
若数列{a n }满足方程0)(=n a f 时，可通过解方程的思想方法求得通项公式。

例9、已知函数
,2)(log }{,22)(2n a f a x f n
n x
x
-=-=-满足数列求数列{a n }的通项公式。

解 由条件,
2log 2log 2)(22n a a x f n n -=--= 即n
a a n
n 21-=-
∴
0122
=-
+n n a n a ，又a n >0，∴
n
n a n -+=12
5、待定系数法 若数列{a n }满足
1 n n a ka b -=⋅+，则可通过待定系数法求得通项公式。

{}11
111
1
1
323(),32,111(1)323 （待定系数法） 例： 令展开得即 是等比数列，n n n n n n n n n n n n a k a b a a a x a x a a x x a a a ------=⋅+=⋅++=+=+=∴++=+⋅=⋅
例10、 数列{a n }满足)2(121
,11
1≥+==-n a a a n n ，求通项公式。

解
1
11
1
12
111
(),22221
{2}2令，得故为等比数列，公比为n n n n n n n
a a a x a x a a x x a ---=++=+=-=--
例11、已知数列{}n a 满足*
111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式.
解：*121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+
{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。

12.n
n a ∴+=
即 *21().n n a n N =-∈
点评:根据题设特征恰当地构造辅助数列,利用基本数列可简捷地求出通项公式.
6、倒数法
1
11
1111
1
11
31
31
113111
1 (倒数法）
例： 取倒数：
=
是等差数列，
（n-1)3=1（n-1)3=3n-2 3n-2
n n n n n n n n n
n n n n a a k a b
a a a a a a a a a a a a -------=
⋅+==
⋅+⋅+=+
⎧⎫∴=+⋅+⋅⎨⎬⎩⎭∴=
例12、已知数列{}n a 满足1122,2n n n a a a a +==
+,求n a .
解:两边取倒数得:1
1112
n n
a a +=+
,所以
1
111(1)2
2
n
n n a a =+-⨯=
故有2n a n
=。