2021年新课标新高考数学复习课件：§11.3 条件概率、二项分布及正态分布

②根据题意得X~B
4,
1 2
,P(X=0)=
C04
1 2
4
=
1 16
;
P(X=1)=
C14
1 2
4
=
1 4
;P(X=2)=
C24
1 2
4
=
3 8
;
P(X=3)=
C34
1 2
4
=
1 4
;P(X=4)=
C44
1 2
4
=
1 16
.∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
1
1
3
1
1
16
4
解析 (1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数x=5×0.1+15×
0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5.
(2)①∵Z服从正态分布N(μ,σ2),且μ=26.5,σ≈11.95,∴P(14.55<Z<38.45)=P(26.5-
11.95<Z<26.5+11.95)=0.682 6,∴Z落在(14.55,38.45)内的概率是0.682 6.
(2)根据此次调查,为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米,应将w定为 多少?(精确到小数点后2位) (3)若将频率视为概率,现从该市随机调查3名居民的月用水量,将月用水量 不超过2.5立方米的人数记为X,求其分布列及均值. 解题导引
(2)利用频率分布直方图估计w.
解析 (1)∵前二项分布
1.条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率
P(AB)
叫做条件概率,用符号P(B|A)来表示,其公式为P(B|A)=① P(A) .
(2)条件概率具有的性质 (i)0≤P(B|A)≤1; (ii)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A). 2.相互独立事件 (1)对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A、B是相互独立事件. (2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)·P(A)=P(A)·P(B).
∴所对应的
频率 组距
也成等差数列,
设a=0.2+d,b=0.2+2d,c=0.2+3d,
∴0.5×(0.2+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d+0.2+d+0.1+0.1+0.1)=1,
解得d=0.1,∴a=0.3,b=0.4,c=0.5.
居民月用水量在2~2.5内的频率为0.5×0.5=0.25.
(iii)曲线在x=μ处达到峰值 1 ;
2πσ
(iv)曲线与x轴之间的面积为1;
(v)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴移动;
(vi)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”;σ越大,曲线越
“矮胖”.
2.正态分布
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X≤b)=
(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),
利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率; ②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4 包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数 学期望. 附:计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ= 142.75 ≈11.95; 若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.954 4. 解题导引
考法二 正态分布问题的解题方法
例2 (2018河北石家庄新华模拟,19)“过大年,吃水饺”是我国不少地方 过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某 种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标值,所得频率分布直方图如下:
(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x (同一组中 的数据用该组区间的中点值作代表);
例1 (2018广东顺德一模,19)某市市民用水拟实行阶梯水价,每人月用水 量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/ 立方米收费,从该市随机调查了100位市民,获得了他们某月的用水量数据, 整理得到如下频率分布直方图,并且前四组频数成等差数列.
(1)求a,b,c的值及居民月用水量在2~2.5内的频数;
8
4
16
∴E(X)=4× 1 =2.
2
方法总结 1.对于正态分布N(μ,σ2),由x=μ是正态曲线的对称轴知 (1)P(X≥μ)=P(X≤μ)=0.5; (2)对任意的a有P(X<μ-a)=P(X>μ+a); (3)P(X<x0)=1-P(X≥x0); (4)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a). 2.服从N(μ,σ2)的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法: (1)利用P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值直接求; (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质 求解.
计算 用Ai(i=1,2,…,n)表示第i次试验结果, 在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X 公式 则P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)…P(An) =k)=Cnk pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)
4.二项分布的均值与方差 若X~B(n,p),则EX=② np ,DX=③ np(1-p) .
居民月用水量在2~2.5内的频数为0.25×100=25.
(2)由题图及(1)可知,居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8,∴为使80%以
上居民月用水价格为4元/立方米,应规定w=2.5+ 0.1 ×0.5≈2.83.
0.15
(3)将频率视为概率,设A(单位:立方米)代表居民月用水量,可知P(A≤2.5)=
0.441
0.343
∵X~B(3,0.7),∴E(X)=np=2.1.
方法总结 1.n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率求法: n次独立重复试验中事件A恰好发生k次可看作 Ckn 个互斥事件的和,其中每 一个事件都可看作k个A事件与(n-k)个 A事件同时发生,只是发生的次序不 同,其发生的概率都是pk(1-p)n-k(其中p为在一次试验中事件A发生的概率). 因此,n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为 Ckn pk(1-p)n-k. 2.写二项分布时,首先确定随机变量X的取值,然后用公式P(X=k)= Cknpk(1-p)nk计算概率即可. 3.若离散型随机变量X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p),即其均值和方差的 求解既可以利用定义,也可以直接代入上述公式.
b a
φμ,σ(x)dx,则称X的
分布为正态分布,记作⑤ X~N(μ,σ2) .
(2)正态分布的三个常用数据
(i)P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7;
(ii)P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5;
(iii)P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 3.
知能拓展
考法一 独立重复试验及二项分布问题的求解方法
考点二 正态分布
1.正态曲线及其特点
(1)正态曲线的定义
函数φμ,σ(x)=
1
-
·e
(x -μ )2 2σ2
,x∈(-∞,+∞)(其中实数μ和σ(σ>0)为参数)的图象为
2πσ
正态分布密度曲线,简称正态曲线.
(2)正态曲线的特点
(i)曲线位于x轴上方且与x轴不相交;
(ii)曲线是单峰的,它关于直线④ x=μ 对称;
0.7,
由题意,X~B(3,0.7),
P(X=0)= C30 ×0.33=0.027, P(X=1)= C13 ×0.32×0.7=0.189, P(X=2)= C32 ×0.3×0.72=0.441, P(X=3)= C33 ×0.73=0.343. ∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.027
0.189
(3)若A与B相互独立,则A与 B, A与B, A与 B 也都相互独立.
(4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立.
3.独立重复试验与二项分布
独立重复试验
二项分布
定义 一般地,在相同条件下重复做的n次 试验称为n次独立重复试验
一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X, 在每次试验中事件A发生的概率为p,此时称随机变量X 服从二项分布,记作X~B(n,p)