贵州遵义市汇川区2017届高三数学第十二次模拟(压轴卷)试题 文

贵州省遵义市汇川区2017届高三数学第十二次模拟（压轴卷）试题 文
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1、若集合{2,0,1}A =-，{|1B x x =<-或0}x >，则A B =（ ）
A. {2,1}-
B. {1}
C.{2}-
D. {2,0,1}-
2、在复平面内，复数2i
1i
z =
-对应的点的坐标为（ ） A. (1,1)- B. (1,1) C.(1,1)- D.(1,1)-- 3、已知向量(,1),(3,2)x ==-a b ，若//a b ，则x =（ ） A. 3- B.32-
C.23
D. 32
4、已知直线m 、n 与平面,,βα下列命题正确的是（ ）
A ．//,//m n αβ且//,//m n αβ则
B ．,//m n αβ⊥且,m n αβ⊥⊥则
C ．,m m n α
β=⊥且,n αβα⊥⊥则 D ．,m n αβ⊥⊥且,m n αβ⊥⊥则
5、已知21log 3=a ，31log 2
1
=b ，3
1
)21(=c ，则 （ ） A ．a b c >> B ． a c b >> C ．c a b >> D ．b a c >>
6、已知函数()31f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A.
16 B.13
C.1
2 D.2
8、秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法至今仍是比较先进的算法．右图的程序框图是针对某一多项式求值的算法，如果输入的x 的值为2，则输出的v 的值为（ ）
A.129
B.144
C.258
D.289
10、已知三棱锥P ABC —的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC ∆满足3=
=BC AB ，3=AC ，
若该三棱锥体积的最大值为
4
3
3，则其外接球的半径为（ ） A.1 B.2 C.3 D.
2
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13
14、等腰直角三角形ABC 中,=⋅====AD BE DC BD EC AE AC AB 则且,,2,4___.
15、平面上，点A 、C 为射线
PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，（其中PAB S ∆、PCD S ∆分别为PAB ∆、PCD ∆的面积）；空间中，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、
D 为射线PN 上的两点，点
E 、
F 为射线PL 上的两点，则有
P ABE
P CDF
V V --=
______（其中P ABE V -、P CDF
V -
分别为四面体P ABE —、P CDF —的体积）.
16、已知抛物线x y C 8:2=，点P 为抛物线上任意一点，过点P 向圆034:2
2=+-+x y x D 作切线，切点分别为A 、B ，则四边形PADB 面积的最小值为___ . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17、如图, 在△ABC 中, 点P 在BC 边上, 60,2,4PAC PC AP AC ︒∠==+=. （Ⅰ）求ACP
∠； （Ⅱ）若△APB 求sin ∠BAP .
18、为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》,某校计划开设八门研学旅行课程,并对全校学生的选课意向进行调查(调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次
调查结果如下.
图中,课程,,,,A B C D E 为人文类课程，课程,,F G H 为自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向，结合上面图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组(以下简称“组M ”). (Ⅰ)在“组M ”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？
(Ⅱ)某地举办自然科学营活动，学校要求：参加活动的学生只能是“组M ”中选择F 课程或G 课程
的同学，并且这些同学以自愿．．报名缴费的方式参加活动. 选择F 课程的学生中有x 人参加科学营活动，每人需缴纳2000元，选择G 课程的学生中有y 人参加该活动，每人需缴纳1000元.记选择F 课程和G 课程的学生自愿报名人数的情况为(,)x y ，参加活动的学生缴纳费用总和为S 元. (ⅰ)当S =4000时，写出(,)x y 的所有可能取值；
(ⅱ)若选择G 课程的同学都参加科学营活动，求S >4500元的概率.
19、如图，菱形ABCD 与等边PAD △所在的平面相互垂直，2,60AD DAB =∠=︒． （Ⅰ）证明：AD PB ⊥； （Ⅱ）求三棱锥C PAB -的高．
20、如图，已知圆E ：4
9
)21(22
=-+y x 经过椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点1F ，2F ，
与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1F ，E ，A 三点共线. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设与直线OA （O 为原点）平行的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点. 使 2
3
-=⋅ON OM ,若存在，求直线l 的方程，不存在说明理由.
21、设函数
x n mx x f ln )()(+=.若曲线)(x f y =在点))(,(e f e P 处的切线方程为e x y -=2（e
为自然对数的底数）.
（1）求函数)(x f y =的单调区间； （2）若+
∈R b a ,，试比较2)()(b f a f +与)2
(b
a f +的大小，并予以证明.
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22、在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+==αα
sin 72cos 7y x （其中α为参数），曲线
1)1(:222=+-y x C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程. （2）若射线)0(6
>=ρπ
θ与曲线1C ，2C 分别交于B A ,，求AB .
23、已知x ，y R ∈. （Ⅰ）若x ，y 满足
132x y -＜
，126x y +＜，求证：3
10x ＜；
（Ⅱ）求证：4433
1628x y x y xy ++≥.
2017届高三第十二次模拟考试 数学(文科)参考答案
ACBDB CADCB AD
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
3
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17、(Ⅰ) 在△APC 中, 因为
60,2,4PAC PC AP AC ︒
∠==+=, 由余弦定理得222
2cos PC AP AC AP AC PAC =+-⋅⋅⋅∠, ………………………1分 所以
()()2
222424cos 60AP AP AP AP ︒
=+--⋅⋅-⋅,
整理得2
440AP AP -+=, ………………………2分 解得2AP =. ………………………3分 所以2AC =. ………………………4分 所以△APC 是等边三角形. ………………………5分 所以60.ACP ︒
∠= ………………………6分
(Ⅱ)由于APB ∠是△APC 的外角, 所以120APB ︒
∠=. ………………………7分
因为△APB
所以1sin 2
⋅⋅⋅∠=
AP PB APB 8分 所以3PB =. ………………………………………………………………………9分
在△APB 中,
222
2cos AB AP PB AP PB APB =+-⋅⋅⋅∠ 2
2
23223cos120︒
=+-⨯⨯⨯
19=,
所以AB =………………………………………………………………………10分
在△APB 中, 由正弦定理得sin sin =
∠∠AB PB
APB BAP , ………………………11分
所以
sin ∠BAP ==
.………………………………………………12分 18、 解：
(Ⅰ)选择人文类课程的人数为(100+200+400+200+300)⨯1%=12(人)；
选择自然科学类课程的人数为(300+200+300)⨯1%=8(人). (Ⅱ)
(ⅰ)当缴纳费用S=4000时，(,)x y 只有两种取值情况：(2,0),(1,2);
(ⅱ)设事件:A 若选择G 课程的同学都参加科学营活动，缴纳费用总和S 超过4500元.
在“组M ”中，选择F 课程和G 课程的人数分别为3人和2人.
由于选择G 课程的两名同学都参加，下面考虑选择F 课程的3位同学参加活动的情况.设每名同学报名参加活动用a 表示，不参加活动用b 表示，则3名同学报名参加活动的情况共有以下8种情况：aaa ，aab ，aba ，baa ，bba ，bab ，abb ，bbb .
当缴纳费用总和S 超过4500元时，选择F 课程的同学至少要有2名同学参加，有如下4种：
aaa ，aab ，aba ，baa .
所以，41()82
P A =
=. 19、解：
（Ⅰ）取AD 中点O ，连结,OP OB ， ·················· 1分 因为PAD △为等边三角形，所以PO AD ⊥． ·············· 2分 因为四边形ABCD 为菱形，所以AB AD =， 又因为60DAB ∠=︒，所以ABD △为等边三角形，
所以BO AD ⊥． ··························· 3分 因为OP OB O =，所以AD ⊥平面PBO ， ··············· 5分 因为PB ⊂平面PBO ，所以AD PB ⊥． ················· 6分 （Ⅱ）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，
所以PO ⊥平面ABCD ，
所以PO 为三棱锥P ABC -的高． ··················· 8分
所以PO BO
===
所以PB=
又因为2
AP AB
==
，所以
1
2
PAB
S=
△
因为2,180120
AB BC ABC DAB
==∠=︒-∠=︒，
所以
1
22sin120
2
ABC
S=⨯⨯⨯︒
△
··················10分设三棱锥C PAB
-的高为h，
因为
C PAB P ABC
V V
--
=，所以
11
33
PAB ABC
S h S PO
⋅=⋅
△△
，
=
，解得h=·················12分
20、解（1）因为
1
F，E，A三点共线，所以A
F
1
为圆E的直径，且3
1
=
A
F，
所以
2
1
2
F
F
A
F⊥.
由
4
9
)
2
1
0(2
2=
-
+
x，得2
±
=
x，所以2
=
c. ………2分
因为1
8
9
-2
2
1
2
1
2
2
=
-
=
=F
F
AF
AF，所以1
2
=
A
F，
所以2
4
2
2
1
=
=
+
=a
AF
AF
a，. ………3分
因为2
2
2c
b
a+
=，所以2
=
b，………4分
所以椭圆C的方程为1
2
42
2
2
2
=
+
y
x
. ………5分
（2）由)1,2
(A，则
2
2
=
OA
k,
假设存在直线l：m
x
y+
=
2
2
满足条件，
由
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
+
+
=
1
2
4
2
2
2
2y
x
m
x
y
，得0
2
22
2=
-
+
+m
mx
x，
设直线l交椭圆C于点)
,
(
1
1
y
x
M，)
,
(
2
2
y
x
N，
则,22-,0)2(42,2,22
222121<<>--=∆-=-=+m m m m x x m x x 即且
,1,23
)2(23,
2
3
),2(2
3
)2(22)2(23)(22232
22222222212121212121±=-=-∴-=⋅-=+-+-=+++=+++=+=⋅∴m m ON OM m m m m m m x x m x x m x m x x x y y x x ON OM 解得））（（
故存在直线l :12
2
±=x y 满足条件.
21、（1） 函数)(x f 的定义域为),0(∞,x
n
mx x m x f ++
=ln )('
......1分 依题意得⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=+==2,2)(',)(e n
me m e n me e f e e f 即 即 ......3分 0,1==∴n m ......4分 ,1ln )(',ln )(+==∴x x f x x x f
所以函数)(x f 的单调递减区间是)1
,0(e ，单调递增区间是),1(+∞e
......6分 （2）当+
∈R b a ,，
2)()(b f a f +)2
(b
a f +≥，
2)()(b f a f +)2(b a f +≥等价于2ln 22ln ln b
a b a b b a a ++≥+，不等式也等价于
02ln )1ln()1(2ln ≥+++-b
a b a b a b a ， ......7分 不妨设b a ≥，
设)1ln(2ln )(')),,1[(2ln )1ln()1(2ln )(x x x g x x x x x x g +-=∞∈+++-=则， ......8分
当),1[∞∈x 时，02ln )1ln()1(2ln )(≥+++-=x x x x x g ，所以函数)(x g 在),1[∞∈x 上为增函数，
即0)1(2ln )1ln()1(2ln )(=≥+++-=g x x x x x g ， ......9分
故当),1[∞∈x 时，02ln )1ln()1(2ln )(≥+++-=x x x x x g （当且仅当1=x 时取等号）.
令0)(,1≥≥=
b a
g b a x 则， ......10分 即02ln )1ln()1(2ln ≥+++-b
a b a b a b a .（当且仅当b a =时取等号）， ......11分 综上所述，当+
∈R b a ,，2)()(b f a f +)2
(b a f +≥（当且仅当b a =时取等
号）。

......12分
22、（1）由⎪⎩⎪⎨⎧+==ααsin 72cos 7y x 得⎪⎩⎪⎨⎧=-=αα
sin 72cos 7y x ，所以曲线1C 满足
7)2(:222=-+y x C ，即2C 的极坐标方程为θρcos 2=.(5分)
（2）因为曲线1C 的普通方程是7)2(2
2
=-+y x ，即曲线1C 的极坐标方程为03sin 42
=--θρρ，将6
πθ=
代入曲线1C 的极坐标方程03sin 42=--θρρ得0322
=--ρρ，解得31=ρ，同理将
6
πθ=
代入曲线2C 的极坐标方程θρcos 2=得32=ρ，所以3321-=-=ρρAB .
23、
()()()()11352332233223262x x y x y x y x y =-++≤-++<⋅+⋅=
3
10
x ∴<
---------------5分 （2）证明：
()()()()()()()
()()443333332
222222
1628282282242230x y x y xy x x y y x y x y x y x y x xy y x y x xy y y +-+=---=--=-++⎡⎤=-+++≥⎣⎦
------10分。