中考数学复习之线段最值之瓜豆原理,附练习题含参考答案

中考数学复习线段和差最值系列之瓜豆原理
两个动点，一个动点随着另一个动点的运动而运动，通过找到两动点的轨迹，求线段最值.瓜豆原
理说的是“种瓜得瓜，种豆得豆”，两点运动的轨迹性质一样.
一．轨迹之圆篇
引例1：如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，Q 为AP 中点． 考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？
【分析】观察动图可知点Q 轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O 有什么关系？
考虑到Q 点始终为AP 中点，连接AO ，取AO 中点M ，则M 点即为Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是OP 一半，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP ，QM :PO =AQ :AP =1:2．
【小结】确定Q 点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A 、Q 、P 始终共线可得：A 、M 、O 三点共线，由Q 为AP 中点可得：AM =1
2
AO ．Q 点轨迹相当于是P 点轨迹成比例缩放．
引例2：如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，作AQ ⊥AP 且AQ =AP ． 考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？
【分析】Q 点轨迹是个圆，可理解为将AP 绕点A 逆时针旋转90°得AQ ，故Q 点轨迹与P 点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．
考虑AP ⊥AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM ⊥AO ；考虑AP =AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM =AO ，且可得半径MQ =PO ．即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO ≌△AQM ．
引例3：如图，△APQ 是直角三角形，∠P AQ =90°且AP =2AQ ，当P 在圆O 运动时，Q 点轨迹是？
【分析】考虑AP ⊥AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM ⊥AO ；考虑AP :AQ =2:1，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AO :AM =2:1．即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO ∽△AQM ，且相似比为2．
【模型总结】
为了便于区分动点P 、Q ，可称点P 为“主动点”，点Q 为“从动点”． 此类问题的必要条件：两个定量
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）．
【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠P AQ =∠OAM ；
（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP :AQ =AO :AM ，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q 与P 的关系相当于旋转+伸缩． 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．
例1：如图，点P （3,4），圆P 半径为2，A （2.8,0），B （5.6,0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______．
【分析】M 点为主动点，C 点为从动点，B 点为定点．考虑C 是BM 中点，可知C 点轨迹：取BP 中点O ，以O 为圆心，OC 为半径作圆，即为点C 轨迹．
当A 、C 、O 三点共线且点C 在线段OA 上时，AC 取到最小值，根据B 、P 坐标求O ，利用两点间距离公式求得OA ，再减去OC 即可．最小值为
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. 二．轨迹之线段篇
引例：如图，P 是直线BC 上一动点，连接AP ，取AP 中点Q ，当点P 在BC 上运动时，Q 点轨迹是？
【分析】当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线．
可以这样理解：分别过A 、Q 向BC 作垂线，垂足分别为M 、N ，在运动过程中，因为AP =2AQ ，所以QN 始终为AM 的一半，即Q 点到BC 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线．
【引例】如图，△APQ 是等腰直角三角形，∠P AQ =90°且AP =AQ ，当点P 在直线BC 上运动时，求Q 点轨迹？
【分析】当AP 与AQ 夹角固定且AP :AQ 为定值的话，P 、Q 轨迹是同一种图形．
当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q 点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段．
【模型总结】 必要条件：
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量
Q 2
Q 1
A
B C
（AP :AQ 是定值）． 结论：
P 、Q 两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ （当∠P AQ ≤90°时，∠P AQ 等于MN 与BC 夹角）
P 、Q 两点轨迹长度之比等于AP :AQ （由△ABC ∽△AMN ，可得AP :AQ =BC :MN ）
例2：如图，在平面直角坐标系中，A （-3,0），点B 是y 轴正半轴上一动点，C 、D 在x 正半轴上，以AB 为边在AB 的下方作等边△ABP ，点B 在y 轴上运动时，求OP 的最小值．
【分析】求OP 最小值需先作出P
B 点在直线上运动，故可知P 点轨迹也是直线．取两特殊时刻：（1）当点B 与点O 重合时，作出P 点位置P 1；（2
）当点B 在x 轴上方且AB 与x 轴夹角为60°时，作出P 点位置P 2．连接P 1P 2，即为P 点轨迹．
根据∠
ABP =60°可知：12P P 与y 轴夹角为60°，作OP ⊥12P P ，所得OP 长度即为最小值，OP
2=OA =3，所以OP =3
2
． 练习题
1.如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC =P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为________．
2.如图，正方形ABCD
中，AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．
3.△ABC 中，AB =4，AC =2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE ，BD 、CE 交于点O ，则线段AO 的最大值为_____________．
4.如图，在等边△ABC 中，AB =10，BD =4，BE =2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是________．
5.如图，已知点A
是第一象限内横坐标为AC ⊥x 轴于点M ，交直线y =-x 于点N ，若点P 是线段ON 上的一个动点，∠APB =30°，BA ⊥P A ，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是________．
6.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．
O
A
B
C
D
E F
A
B C
D
E O
G
A
B C
D
E
F
7.如图，在反比例函数2
y x
=-
的图像上有一个动点A ，连接AO 并延长交图像的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC =BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数k
y x
=的图像上运动，若tan ∠CAB =2，则k 的值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
8.如图，A （-1,1），B （-1,4），C （-5,4），点P 是△ABC 边上一动点，连接OP ，以OP 为斜边在OP 的右上方作等腰直角△OPQ ，当点P 在△ABC 边上运动一周时，点Q 的轨迹形成的封闭图形面积为________．
9.如图所示，AB =4，AC =2，以BC 为底边向上构造等腰直角三角形BCD ，连接AD 并延长至点P ，使AD =PD ，则PB 的取值范围为___________．
10．如图，线段AB ＝2，点C 为平面上一动点，且∠ACB ＝90°，将线段AC 的中点P 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接BQ ，则线段BQ 的最大值为 ．
A
B
C
D
P
11.如图，⊙O的直径AB=2，C为⊙O上动点，连接CB，将CB绕点C逆时针旋转90⁰得到
CD，连接OD，则OD的最大值为________
12.如图，在 ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，BC=5，CD=2，点E是边AC所在直线
上的一动点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，则BF的最小值
为____
13.已知边长为6的等边△ABC中，E是高AD所在直线上的一个动点，连接BE，将线段BE绕点B顺时
针旋转60°得到BF，连接DF，则在点E运动的过程中，当线段DF长度的最小值时，DE的长度为．
14．如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，BE与CF交于点D．
（1）若∠BAC＝74°，则∠BDC＝；
（2）如图2，∠BAC＝90°，作MD⊥BE交AB于点M，求证：DM＝DE；
（3）如图3，∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，若点G为CD的中点，点M在直线BC上，
连接MG，将线段GM绕点G逆时针旋转90°得GN，NG＝MG，连接DN，当DN最短时，直接写出∠MGC的度数．
15.如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x +5与x 轴，y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为B ． （1）求抛物线解析式；
（2）若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，当点M 运动到某一位置时，△ABM 的面积等于△ABC 面积的
3
5
，求此时点M 的坐标； （3）如图2，以B 为圆心，2为半径的⊙B 与x 轴交于E 、F 两点（F 在E 右侧），若P 点是⊙B 上一动点，连接P A ，以P A 为腰作等腰Rt △P AD ，使∠P AD ＝90°（P 、A 、D 三点为逆时针顺序），连接FD ．求FD 长度的取值范围．
参考答案：
1. π -2 4.8 6.
5
2
7.D 8.3 9.4-
12 1 12.7
2
14.127°，25°
15.(1)y=x 2-6x+5 (2)M(2，-3)、(4,-3) (3)2。