上海市位育中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题 Word版含答案

位育中学高二月考数学试卷
2021.10 一. 填空题
1. 计算：AB AC BC -+=
2. 假如向量(,1)a n =与(4,)b n =共线且方向相反，则n 的值为
3. 已知2
1
11n n
a n n
=+，则lim n n a →∞
= 4. 已知||6a =，||4b =，则||a b -的取值范围是
5. 若12
201102
x x -=-，则x =
6. 与(1,3)a =-垂直的单位向量的坐标为
7. 若1122
3
PP PP =，则2P
P = 1PP 8. 已知矩阵0110A ⎛⎫=
⎪⎝⎭，矩阵12B ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则AB = 9. 已知向量(2,2)OA =，(4,1)OB =，在x 轴上存在点P 使得AP BP ⋅有最小值，则点P 的坐标为 10. 如图，在三角形ABC 中，0BA AD ⋅=，
||2AB =，2BC BD =，则AC AB ⋅=
11. 已知函数()1x
f x x
=+，在9行9列的矩阵11
12131921
22232991
92
9399a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⎛⎫
⎪
⋅⋅⋅ ⎪ ⎪
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪
⋅⋅⋅⎝⎭
中，()ij i
a f j =，
则这个矩阵中全部数之和为
12. 如图，OM // AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线组成的区域内（不含边界）运动， 且OP xOA yOB =+，当1
2
x =-时，y 的取值范围 是
二. 选择题
13. 已知a 、b 为非零向量，则222||||||a b a b +=-是a b ⊥的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 14. 下列三阶行列式可以开放为
a b b
c a c
d e e f d f
++的是（ ） A. 111a b c d e
f B. 111a b c d e f C. 111a b
c d e
f D. 1
11
a b c
d e f - 15. 若||1OA =，||3OB =，0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设
OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则
m
n
的值为（ ） A.
1
3
B. 3
C. 33
D. 3
16. 已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，n ∈*N ，下列命题中真命题是（ ）
A. 若对任意的n ∈*N ，都有n c //n b 成立，则数列{}n a 是等差数列
B. 若对任意的n ∈*N ，都有n c //n b 成立，则数列{}n a 是等比数列
C. 若对任意的n ∈*N ，都有n c ⊥n b 成立，则数列{}n a 是等差数列
D. 若对任意的n ∈*N ，都有n c ⊥n b 成立，则数列{}n a 是等比数列 三. 解答题
17. 已知32(2,4)a b -=-，(2,2)c =-，2a c ⋅=，||4b =，求b 与c 的夹角θ.
18. 已知向量(1,1)OA =，(3,0)OB =，(3,5)OC =. （1）求证：AB AC ⊥，并求△ABC 的面积
（2）对向量11(,)a x y =，22(,)b x y =，定义运算1221(,)||f a b x y x y =-，计算(,)f AB AC 的值，并说明它与△ABC 的面积之间的等量关系，由此猜想此运算的几何意义.
19. 用行列式解关于x 、y 的方程组3
(31)484mx y m x my m -=⎧⎨+-=+⎩
，并争辩说明解的状况.
20. 设OA a =，OB b =，记任意一点M 关于A 的对称点为S ，S 关于B 点的对称点为N . （1）用a 、b 表示MN ；
（2）设||1a =，||2b =
，||[2MN ∈，求a 、b 夹角的取值范围.
21. 如图，M 为△ABC 的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交线段AB 、AC 于点P 、Q 两 点，设AP xAB =，AQ y AC =，记()y f x =.
（1）求11
x y
+的值；
（2）求函数()y f x =的解析式（指明定义域）；
（3）设32()32g x x a x a =++，[0,1]x ∈，若对任意11
[,1]3
x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使 得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.
参考答案
一. 填空题
1. 0
2. 2-
3. 1-
4. [2,10]
5. 5-
6. 1)22
或1()22- 7. 52- 8. 21⎛⎫ ⎪⎝⎭
9. (3,0) 10. 4- 11. 812 12. 13
(,0)(,)22
-∞
二. 选择题
13. C 14. D 15. B 16. A
三. 解答题 17. π-. 18.（1）面积为5；（2）(,)10f AB AC =，面积的2倍. 19. ① 1m =，无穷解；② 1
4
m =-，无解； ③ 1m ≠且14m ≠-时，有唯一解，441x m =+，83
41
m y m +=-+. 20.（1）2()b a -；（2）2[,]33
ππ
.
21.（1）4；（2）()41x f x x =-，1[,1]3x ∈；（3）21
(,]
[0,]36
-∞-.。