2020中考数学：基础题和压轴题解题技巧

2020中考数学：基础题和压轴题解题技巧
中考日渐临近，在数学总复习的最后阶段，如何有效应对“容易题”和“综合题”，提高复习的质量和效率呢？针对当前中考复习中普遍存在的倾向性问题，中考数学宝典再给大家提出一些看法和建议，供中考生参考。

基础题要重理解
在数学考卷中，“容易题”占80%，因此在中考复习最后阶段，适当进行“容易题”的操练，对提高中考成绩是有益的。

但绝不要陷入“多多益善，盲目傻练”的误区，而要精选一些针对自己薄弱环节的题目进行有目的地练习。

据笔者了解，不少学校在复习中存在忽视过程的倾向，解客观题，即使解其中较难的题时也都只要求写出结果，不要求写出过程，一些同学甚至错了也不去反思错在哪里，这样做，是非常有害的。

笔者认为，即使是题解简单的填空题也应当注重理解，反思解题方法，掌握解题过程。

解选择题也一样，不要只看选对还是选错，要反问自己选择的依据和理由是什么。

当然，我们要求注重理解，并不意味着不要记忆，记忆水平的考查在历年中考命题中均占有一定的比重。

所以必要的记忆是必须的，如代数中重要的法则、公式、特殊角的三角比的值以及几何中常见图形的定义、性质和常用的重要定理等都是应当记住的。

在复习的最后阶段，笔者建议同学们适当多做一些考查基础的“容易题”，这样做，虽然花的时间不多，但能及时发现知识缺陷，有利于查漏补缺，亡羊补牢。

如果你能真正把这些“容易题”做对、做好，使得分率达到0.9甚至达到0.95以上，那么在中考中取得高分并非难事。

压轴题要重分析
中考要取得高分，攻克最后两道综合题是关键。

很多年来，中考都是以函数和几何图形的综合作为压轴题的主要形式，用到三角形、四边形、和圆的有关知识。

如果以为这是构造压轴题的唯一方式那就错了。

方程式与图形的综合也是常见的综合方式。

这类问题在外省市近年的中考试卷中也不乏其例。

动态几何问题又是一种新题型，在图形的变换过程中，探究图形中某些不变的因素，把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起。

在这类问题中，往往把锐角三角比作为几何计算的一种工具。

它的重要作用有可能在压轴题中初露头角。

总之，应对压轴题，决不能靠猜题、押题。

解压轴题，要注意分析它的逻辑结构，搞清楚它的各个小题之间的关系是“并列”的还是“递进”的，这一点非常重要。

一般说来，如果综合题(1)、(2)、(3)小题是并列关系，它们分别以大题的已知为条件进行解题，(1)的结论与(2)的解题无关，同样(2)的结论与(3)的解题无关，整个大题由这三个小题“拼装”而成。

如果是“递进”关系，(1)的结论又是解(2)所必要的条件之一，(3)与(2)也是同样的关系。

在有些较难的综合题里，这两种关系经常是兼而有之。

说实在，现在流行的“压轴题”，真是难为我们的学生了。

从全国各地的中考试卷来看，有的压轴题的综合度太大，以至命题者自己在“参考答案”中表达解题过程都要用去一页A4纸还多，为了应付中考压轴题，有的题任意拔高了对数学思想方法的考查要求，如有些综合题第(2)、(3)两小题都要分好几种情况进行“分类讨论”，太过分了。

课程标准规定，在初中阶段只要求学生初步领会基本的数学思想方法。

所以它在中考中也只能在考查基础知识、基本技能和基本方法中有所渗透和体现而已。

希望命题者手下留情，不要以考查数学思想方法为名出难题，也不要再打“擦边球”，搞“深挖洞”了。

大家一定要振奋起精神，不要因为压轴题不会做或得分过低而垂头丧气，在临考前应当把提高信心和勇气放在首位。

中考数学宝典建议在总复习最后阶段，不要花过多的精力做大量的综合题，只要精选精做，不同类型、不同结构的综合题进行分析和思考就足够了，如果没有思路，时间又不多，那么看一遍别人的解答也好。

事实证明：有相当一部分学生在压轴题的失分，并不是没有解题思路，而是错在非常基本的概念和简单的计算上，或是输在“审题”上。

应当把功夫花在夯实基础、总结归纳、打通思路、总结规律、提高分析能力上。

总之，中考数学宝典认为在总复习阶段，对大部分考生而言，要有所为又要有所不为，有时放弃一些难题和大题，多做一些中档的变式题和小题，反而能使你得益。

当然，我们强调变式，不是乱变花样。

其目的是促进对标准形式和基本图形的进一步认识和掌握。

2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（ ）
A.95°
B.75°
C.35°
D.85°
2．一次函数y ＝3x ﹣2的图象上有两点A （﹣1，y 1），B （﹣2，y 2），则y 1与y 2的大小关系为（ ）
A ．y 1＜y 2
B ．y 1＞y 2
C ．y 1＝y 2
D ．不能确定
3．如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝70°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接DF ，则∠CDF 等于（ ）
A ．75°
B ．70°
C ．60°
D ．55°
4．已知关于x 的一元二次方程（k-2）x 2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为（ ）
A ．1k >
B ．1k >-且0k ≠
C ．1k >且2k ≠
D ．1k <
5．不等式组2133156
3x x x +≥-⎧⎪-⎨--⎪⎩＞的解集在数轴上表示正确的是（ ） A
． B ． C ．
D
．
6．如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接EB ，EC ，DB ，下列条件中，不能使四边形DBCE 成为菱形的是（ ）
A ．A
B ＝BE B ．BE ⊥D
C C ．∠ABE ＝90°
D ．B
E 平分∠DBC
7．已知一次函数y ＝﹣x+m 和y ＝2x+n 的图象都经过A （﹣4，0），且与y 轴分别交于B 、C 两点，则△ABC 的面积为（ ）
A.48
B.36
C.24
D.18
8．一个公园有,,A B C 三个入口和,D E 二个出口，小明进入公园游玩，从“A 口进D 口出”的概率为（ ）
A ．12
B ．13
C ．15
D ．16
9．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCO ，A （0，3），点D 为x 轴上一动点，以AD 为边在AD 的右侧作等腰Rt △ADE ，∠ADE ＝90°，连接OE ，则OE 的最小值为（ ）
A ．322
B ．2
C ．22
D ．32
10．如图，已知A ，B 是反比例函数y ＝k x
（k ＞0，x ＞0）图象上的两点，BC ∥x 轴，交y 轴于点C ，动点P 从坐标原点O 出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ．设三角形OMP 的面积为S ，P 点运动时间为r ，则S 关于t 的函数图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．某市从不同学校随机抽取100名初中生，对“学校统一使用数学教辅书的册数”进行调查，统计结果如下：
关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A.众数是2册
B.中位数是2册
C.极差是2册
D.平均数是2册
12．在同一直角坐标平面内，如果直线y ＝k 1x 与双曲线2k y x =
没有交点，那么k 1和k 2的关系一定是（ ） A.k 1+k 2＝0
B.k 1•k 2＜0
C.k 1•k 2＞0
D.k 1＝k 2
二、填空题 13．如图，半径为4且坐标原点为圆心的圆交x 轴、y 轴于点B 、D 、A 、C ，过圆上的一动点P （不与A 重合）作PE PA ⊥，且PE PA =（E 在A P 右侧）
（1）连结PC ，当PC 6=时，则点P 的横坐标是______．
（2）连结OE ，设线段OE 的长为x ，则x 的取值范围是____．
14．已知△ABC 中的∠B ＝∠A+10°，∠C ＝∠B+10°，则∠A ＝____，∠B ＝_____，∠C ＝____．
15．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 平移，使点A 移至线段AC 的中点A′处，得新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是_____
16．某巴蜀中学组织数学速算比赛，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数是_____．
17．在平面直角坐标系的第二象限内有一点，点到轴的距离为，到轴的距离为，则点M 的坐标是______.
18．如图，在平面直角坐标系xoy 中，△OAB 的顶点A 在x 轴正半轴上，OC 是△OAB 的中线，点B 、C 在反比例函数3(0)y x x
=>的图象上，则△OAB 的面积等于_____ .
三、解答题
19．某水果批发商经营甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润y 甲（万元）与进货量x （吨）近似满足函数关系y 0.2x =甲，乙种水果的销售利润y 乙（万元）与进货量x （吨）之间的函数关系如图所示．
（1）求y乙（万元）与x（吨）之间的函数关系式；
（2）如果该批发商准备进甲、乙两种水果共
．．．．．．．．．10．．吨．，设乙种水果的进货量为t吨，请你求出这两种水果所获得的销售利润总和W（万元）与t（吨）之间的函数关系式．并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润总和最大，最大利润是多少？
20．已知a+1
a
＝3（a＞1），求242
24
1111
()()()()
a a a a
a a a a
-⨯+⨯+⨯-的值．
21．一游客步行从宾馆C出发，沿北偏东60°的方向行走到1000米的人民公园A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离到达位于宾馆南偏东45°方向的净业寺B处，如图所示．
（1）求这名游客从人民公园到净业寺的途中到宾馆的最短距离；
（2）若这名游客以80米/分的速度从净业寺返回宾馆，那么他能在10分钟内到达宾馆吗？请通过计算说明理由．（假设游客行走的路线均是沿直线行走的）
22．某公司用100万元研发一种市场急需电子产品，已于当年投入生产并销售，已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．
（1）请求出y（万件）与x（元/件）的函数表达式；
（2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）的函数表达式，并求出第一年年利润的最大值．
23．如图，把可以自由转动的圆形转盘A，B分别分成3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字．小明和小颖两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针两区域的数字均为奇数，则小明胜；若指针两区域的数字均为偶数，则小颖胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．
24．河南省开封市铁塔始建于公元1049年（北宋皇祐元年），是国家重点保护文物之一，在900多年中，历经了数次地震、大风、水患而巍然屹立，素有“天下第一塔”之称．如图，小明在铁塔一侧的水平面上一个台阶的底部A处测得塔顶P的仰角为45°，走到台阶顶部B处，又测得塔顶P的仰角为38.7°，已知台阶的总高度BC为3米，总长度AC为10米，试求铁塔的高度．（结果精确到1米，参考数据：
sin38.7°≈0.63，cos38.7°≈0.78，tan38.7°≈0.80）
25．如图，在▱ABCD中，E、F为边BC上两点，BF＝CE，AE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）求证：四边形ABCD是矩形．
【参考答案】***
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B A C A A C D A C
B B 二、填空题
13．±372
； 42-4≤x≤42+4. 14．50°， 60°， 70°
15．1
16．15
17．（﹣4，3）
18．92
三、解答题
19．（1）2y 0.1x 1.4x =-+乙；（2）甲、乙两种水果的进货量分别为4吨和6吨时，获得的销售利润总和最
大，最大利润是5.6万元．
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出二元一次方程组，求出a 、b 的值即可求出函数关系式的解．
（2）由题意可得2W y y 0.210t (0.1t 1.4t)=+=-+-+甲乙（），用配方法化简函数关系式即可求出w 的最大值．
【详解】
（1）根据图象，可设2y ax bx =+乙（其中0a ≠，a ，b 为常数），
由题意，得解得 1.342 2.4.a b a b ，+=⎧⎨+=⎩解得=-0.1b 1.4.a ⎧⎨=⎩
， ∴2y 0.1x 1.4x =-+乙．
（2）∵乙种水果的进货量为t 吨，则甲种水果的进货量为10t -（）吨，
由题意，得22W y y 0.2
10t (0.1t 1.4t)0.1t 1.2t 2=+=-+-+=-++乙甲（）． 将函数配方为顶点式，得2W 0.1(t 6) 5.6=--+．
∵0.10-<，∴抛物线开口向下．
∵0t 10<<，∴6t =时，W 有最大值为5.6．
∴1064-=（吨）．
答：甲、乙两种水果的进货量分别为4吨和6吨时，获得的销售利润总和最大，最大利润是5.6万元．
【点睛】
本题考查学生利用二次函数解决实际问题的能力，注意二次函数的最大值往往要通过顶点坐标来确定． 20．5
【分析】 由已知13a a +=套用21a a ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭=221a a ++2可得221a a +＝7，同理可得441a a +=47，21a a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭=21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-4=5，进而可得结果. 【详解】
解： ∵13a a
+=（a ＞1）， ∴21a a ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭＝9， 化简得22
1a a +＝7， 两边平方，可得441a a +
＝49﹣2＝47， ∵21a a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭＝221a a +﹣2＝7﹣2＝5，且a ＞1， ∴15a a
-=， ∴242241
111()()()()a a a a a a a a
-⨯+⨯+⨯- ＝5×7×47×5
＝16455．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．
21．（1）到宾馆的最短距离为5003米；（2）不能到达宾馆．
【解析】
【分析】
（1）过点C 作CH ⊥AB 交AB 于点H ，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到cos 45500325006BC CH ︒=÷=⨯=，求得
500625610804
t ==>，于是得到结论． 【详解】
（1）过点C 作CH ⊥AB 交AB 于点H ，
在Rt △ACH 中，
∵∠ACH ＝30°，
∴CH ＝1000•cos30°＝1000×350032
=， 答：到宾馆的最短距离为5003米；
（2）在Rt △CHB 中，∠BCH ＝45°，CH ＝5003 ，
∴BC ＝CH÷cos45°＝500×325006⨯=，
∴t ＝500625610804
=>， ∴不能到达宾馆．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用---方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
22．（1）y ＝160(48)28(828)
x x x x ⎧≤≤⎪⎨⎪-+≤⎩；（2）当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为44
万元．
【解析】
【分析】
（1）依据待定系数法，即可求出y （万件）与x （元/件）之间的函数关系式；
（2）分两种情况进行讨论，当x ＝8时，s max ＝﹣20；当x ＝16时，s max ＝44；根据44＞﹣20，可得当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为44万元．
【详解】
解：（1）当4≤x≤8时，设y ＝k x
，将A （4，40）代入得k ＝4×40＝160， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝160x
； 当8＜x≤28时，设y ＝k'x+b ，将B （8，20），C （28，0）代入得，
820280k b k b +=⎧⎨+=''⎩
，
解得
k1 b28
=-
⎧
⎨
=
'
⎩
，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+28，
综上所述，y＝
160
(48)
28(828)
x
x
x x
⎧
⎪
⎨
⎪-+<≤
⎩
剟
；
（2）当4≤x≤8时，s＝（x﹣4）y﹣160＝（x﹣4）•160
x
﹣100＝
640
x
-+60，
∵当4≤x≤8时，s随着x的增大而增大，
∴当x＝8时，s max＝
640
x
-+60＝﹣20；
当8＜x≤28时，s＝（x﹣4）y﹣80＝（x﹣4）（﹣x+28）﹣80＝﹣（x﹣100）2+44，
∴当x＝16时，s max＝44；
∵44＞﹣20，
∴当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为44万元．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与二次函数的综合应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义；解题时注意，依据函数图象可得函数关系式为分段函数，解决问题时需要运用分类思想以及数形结合思想进行求解．
23．这个游戏规则对双方公平，见解析.
【解析】
【分析】
利用树状图列举出所有情况，分别求得两人获胜的概率，比较大小即可得知这个游戏规对双方是否公平．【详解】
这个游戏规则对双方公平，理由如下：
如图所示：
共9种情况，其中均为偶数的有2种结果，均为奇数的情况数有2种，
所以小明获胜的概率为2
9
、小颖获胜的概率为
2
9
，
∵2
9
＝
2
9
，
∴这个游戏规则对双方公平．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
24．铁塔约高55米．
【解析】
【分析】
如图，过点B作BE⊥DP于点E，由题可知，∠EBP＝38.7°，∠DAF＝45°，BE＝CD，DP＝AD，设铁塔高度DP为x米，则BE＝CD＝x+10，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
如图，过点B作BE⊥DP于点E，
由题可知，∠EBP＝38.7°，∠DAF＝45°，BE＝CD，DP＝AD，
设铁塔高度DP为x米，则BE＝CD＝x+10，
EP＝DP﹣DE＝AD﹣BC＝x﹣3，
在Rt△BEP中∵EP＝x﹣3，BE＝x+10，
∴tan∠EBP＝EP
BE
，x﹣3＝（x+10）×tan38.7°，
解得x＝55，
答：铁塔约高55米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，还考查的知识点有三角函数、直角三角形的性质以及勾股定理等，解题的关键是纷杂的实际问题中整理出直角三角形并解之．
25．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到AB＝DC．根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
（2）根据全等三角形的性质得到∠B＝∠C．根据平行四边形的性质得到AB∥CD．根据矩形的判定定理即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC．
∵BF＝CE，
∴BF﹣EF＝CE﹣EF，
∴BE＝CF．
在△ABE和△DCF中，
∵
AB DC AE DC BE CF
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABE≌△DCF（SSS）；
（2）证明：∵△ABE≌△DCF，
∴∠B＝∠C．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠B+∠C＝180°．
∴∠B＝∠C＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
【点睛】
本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．某市连续10天的最低气温统计如下（单位：℃）：4，5，4，7，7，8，7，6，5，7，该市这10天的最低气温的中位数是（ ）
A ．6℃
B ．6.5℃
C ．7℃
D ．7.5℃
2．下列运算正确的是（ ）
A.624a a a -=
B.235(a )a =
C.235a a a ⋅=
D.623a a a ÷=
3．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上一点，
于点Q ，过点B 作半圆O 的切线，交OQ 的延长线于点P ，PA 交半圆O 于R ，则下列等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
4．已知平行四边形ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为菱形的是（ ）
A ．AC BD ⊥
B ．ABD ADB ∠=∠
C ．AB C
D =
D ．AB BC = 5．某市去年完成了城市绿化面积共8210000m 2，将8210000用科学记数法表示应为（ ）
A ．821×102
B ．82.1×105
C ．8.21×106
D ．0.821×107
6．如图，DE ∥MN ，Rt △ABC 的直角顶点C 在DE 上，顶点B 在MN 上，且BC 平分∠ABM ，若∠A ＝58°，则∠BCE 的度数为（ ）
A ．29°
B ．32°
C ．58°
D ．64°
7．如图，正方形ABCD 的边长为3厘米，正方形AEFG 的边长为1厘米．如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C ，F 两点之间的距离的最大值为( )
A ．42cm
B ．3cm
C ．32cm
D ．4cm
8．对于一组数据： 4, 3,6, 4, 8,下列说法错误的是（ ）
A ．众数是4
B ．平均数是5
C ．众数等于中位数
D ．中位数是5
9．《九章算术》中的“折竹抵地”问题上：今有竹高一丈，末折抵地，去本六尺。

问折高几何？意思是：如图，一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远。

问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x 尺，则可列方程为（ ）
A.
B.
C.x 2+6=(10-x)2
D.x 2+62=(10-x)2 10．已知a,b,c ∈R,且c≠0,则下列命题正确的是( )
A ．如果a>b,那么
a b c c
> B ．如果ac<bc ，那么a<b C ．如果a>b,那么11a b > D ．如果ac 2<bc 2，那么a<b 11．《流浪地球》作为第一部中国自己的科幻大片，票房已破46亿元（4600000000元），4600000000用科学记数法表示为（ ）
A ．84610⨯
B ．84.610⨯
C ．90.4610⨯
D ．94.610⨯
12．在平面直角坐标系中，有A ()21，
，B ()33，两点，现另取一点C ()1a ， ，当a = ( )时，AC+BC 的值最小（ ）
A ．2
B ．53
C ．114
D ．3
二、填空题 13．从1,2,3,4四个数中任取一个数作为AC 的长度，又从4,5中任取一个数作为BC 的长度，6AB =，则AB AC BC 、、能构成三角形的概率是_____．
14．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，将△BCE 沿BE 折叠后得到△BEF 、且点F 在矩形ABCD 的内部，将BF 延长交AD 于点G ．若17DG GA =，则AD AB
=__．
15．一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是-2，-1，0，1．卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是______． 16．2﹣1的绝对值是_____．
17．已知点（m ，n ）在直线2y x =-上，且22k m n =+，则k 的取值范围为________．
18．已知一组数据1，2，2，0，﹣1，﹣2，0，﹣1，则这组数据的平均数为__，众数为___，中位数为__，方差为__．
三、解答题
19．如图,AB=16,O 为AB 中点,点C 在线段OB 上(不与点O,B 重合),将OC 绕点O 逆时针旋转 270°后得到扇形COD,AP,BQ 分别切优弧CD 于点P ，Q ，且点P ，Q 在AB 异侧，连接
OP.
（1）求证：AP=BQ ；
（2）当BQ= 43时,求QD 的长(结果保留 π)；
（3）若△APO 的外心在扇形COD 的内部，求OC 的取值范围.
20．某企业接到一批帽子生产任务，按要求在20天内完成，约定这批帽子的出厂价为每顶8元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小华第x 天生产的帽子数量为y 顶，y 与x 满足如下关系式：y ＝20(05)10100(520)x x x x ⎧⎨+<⎩
剟… （1）小华第几天生产的帽子数量为220顶？
（2）如图，设第x 天每顶帽子的成本是P 元，P 与x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若小华第x 天创造的利润为w 元，求w 与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？
（3）设（2）小题中第m 天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m 天的利润至少多49元，则第（m+1）天每顶帽子至少应提价几元？
21．如图，AB为⊙O的直径，C为半圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点B作BD⊥l，垂足为D，BD 与⊙O交于点E，连接OC，CE，AE，AE交OC于点F．
（1）求证：△CDE≌△EFC；
（2）若AB＝4，连接AC．
①当AC＝_____时，四边形OBEC为菱形；
②当AC＝_____时，四边形EDCF为正方形．
22．已知抛物线C1：y＝﹣x2+bx+3与x轴的一个交点为（1，0），顶点记为A，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称．
（1）求抛物线C2的函数表达式；
（2）若抛物线C2与x轴正半轴的交点记作B，在x轴上是否存在一点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．某市开展“美丽家乡，创卫同行”活动，某校倡议学生利用双休日参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为，图①中m的值是；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数.
24．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC//x轴，点B、C的横坐标都是3，且BC2
=，
点D在AC上，若反比例函数
k
y(x0)
x
=>的图象经过点B、D，且
AO3
BC2
=.
（1）求k的值及点D的坐标；
（2）将ΔAOD 沿着OD 折叠，设顶点A 的对称点'A 的坐标是()'
A m,n ，求代数式m 3n +的值． 25．先化简，再求值：222211a a a a a a -⎛⎫÷- ⎪-+-⎝⎭，其中a ＝20190﹣（12
）﹣1
【参考答案】***
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D C C B A D D D
D B 二、填空题
13．58
． 14．2
15．13
16．2﹣1
17．2k ≥
18．18
； 0、﹣1、2； 0； 11964． 三、解答题 19．（1）详见解析；（2）
143π；（3）4<OC<8. 【解析】
【分析】
（1） 连接OQ ，由切线性质得∠APO=∠BQO=90°，由直角三角形判定HL 得Rt △APO ≌Rt △BQO ，再由全等三角形性质即可得证.
（2）由（1）中全等三角形性质得∠AOP=∠BOQ ，从而可得P 、O 、Q 三点共线，在Rt △BOQ 中，根据余弦定义可得cosB=QB OB
， 由特殊角的三角函数值可得∠B=30°，∠BOQ=60° ，根据直角三角形的性质得 OQ=4， 结合题意可得 ∠QOD 度数，由弧长公式即可求得答案.
（3）由直角三角形性质可得△APO 的外心是OA 的中点 ，结合题意可得OC 取值范围.
【详解】
（1）证明：连接OQ.
∵AP 、BQ 是⊙O 的切线，
∴OP ⊥AP ，OQ ⊥BQ ，
∴∠APO=∠BQO=90∘，
在Rt △APO 和Rt △BQO 中，
OP OQ OA OB =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △APO ≌Rt △BQO ，
∴AP=BQ.
（2）∵Rt △APO ≌Rt △BQO ，
∴∠AOP=∠BOQ ，
∴P 、O 、Q 三点共线，
∵在Rt △BOQ 中,cosB=43382
QB OB ==， ∴∠B=30∘,∠BOQ= 60° ，
∴OQ=12
OB=4， ∵∠COD=90°，
∴∠QOD= 90°+ 60° = 150°，
∴优弧QD 的长=2104141803
ππ⋅⋅=， （3）解：设点M 为Rt △APO 的外心，则M 为OA 的中点，
∵OA=8，
∴OM=4，
∴当△APO 的外心在扇形COD 的内部时，OM ＜OC ，
∴OC 的取值范围为4＜OC ＜8．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心、弧长的计算、扇形面积的计算、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理HL 证出Rt △APO ≌Rt △BQO ；（2）通过解直角三角形求出圆的半径；（3）牢记直角三角形外心为斜边的中点是解题的关键．
20．（1）小华第12天生产的帽子数量为220顶；（2）当x ＝14时，w 有最大值，最大值为576元；（3）第15天每顶帽子至少应提价0.2元．
【解析】
【分析】
（1）把220y =代入10100y x =+，解方程即可求得；
（2）根据图象求得成本p 与x 之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W 与x 的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；
（3）根据（2）得出115m +=，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a 与利润w 的关系式，再根据题意列出不等式求解即可
【详解】
解：（1）若20220x =，则11x =，与05x ≤≤不符，
∴10100220x +=，
解得:12x =，
故第12天生产了220顶帽子；
（2）由图象得，
当010x ≤≤时， 5.2P =；
当1020x ≤＜时，设0p kx b k =+≠（），
把105.2206.2（，）,(，）
代入上式，得 10 5.220 6.2
k b k b +=⎧⎨+=⎩ ， 解得，0.14.2k b =⎧⎨=⎩
， ∴0.1 4.2p x =+
①05x ≤≤时，(8)20(8 5.2)56w y p x x =-=-=
当5x =时，w 有最大值为280w =（元）
②510x ≤＜时，(8)1010085.2)28280w y p x x =-=
+⨯=+（）（﹣，当10x =时，w 有最大值，最大值为560（元）；
③1020x ≤＜时，2
(8)1010080.1 4.2[]28380w y p x x x x =-=
+=--+++（）（） 当14x =时，w 有最大值，最大值为576（元）．
综上，当14x =时，w 有最大值，最大值为576元．
（3）由（2）小题可知，14115m m =+=，，设第15天提价a 元，由题意得 (8)1010080.1 4.22502.[]3w y a p x a x a ==+-=++-++（）（）（）
∴250
2.3)57649a +-≥（ ∴0.2a ≥
答：第15天每顶帽子至少应提价0.2元．
【点睛】
本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．
21．（1）详见解析；（2）①当AC ＝2时，四边形OCEB 是菱形时2；②当四边形DEFC 是正方形时，22．
【解析】
【分析】
(1)由AB 是直径可得∠AEB=90°，由切线性质可得∠FCD=90°，由BD ⊥CD 可得∠CDE=90°，即可证明四边形CFED 是矩形，可得CF ＝DE ，EF ＝CD ，利用SSS 即可证明△CDE ≌△EFC ；（2）①连接OE ，由菱形性质可得OB=BE ，即可证明△OBE 是等边三角形，可得∠B=60°，由OC//BD 可得∠AOC=∠B=60°，可证明△OAC 是等边三角形，即可求出AC=12
AB=2；②由正方形的性质可得∠CEF ＝∠FCE ＝45°，由垂径定理可知AC CE =，
即可得出AC=CE ，进而可得∠CAE ＝∠CEA ＝45°，即可证明∠ACE=90°，可得AE 是⊙O 的直径，即点E 与点B 重合，点F 与点O 重合，可得△ABC 是等腰直角三角形，即可求出AC 的长.
【详解】
（1）∵BD ⊥CD ，
∴∠CDE ＝90°，
∵AB 是直径，
∴∠AEB ＝90°，
∵CD 是切线，
∴∠FCD ＝90°，
∴四边形CFED 矩形，
∴CF ＝DE ，EF ＝CD ，
在△CDE 和△EFC 中，
CD EF CE EC DE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴△CDE ≌△EFC ．
（2）解：①当AC ＝2时，四边形OBEC 是菱形．
理由：连接OE ．
∵四边形OBEC 是菱形，
∴OB=BE ，
∵OE=OB ，
∴△OBE 是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵OC//BD ，
∴∠AOC=∠B=60°，
∵OA=OC ，
∴△OAC 是等边三角形，
∴AC=OA=12
AB=2. ∴AC ＝2时，四边形OBEC 是菱形．
故答案为2．
②当四边形EDCF是正方形时，
∵CF＝FE，
∵∠CEF＝∠FCE＝45°，
∵OC⊥AE，
∴AC CE
，
∴AC=CE，
∴∠CAE＝∠CEA＝45°，
∴∠ACE＝90°，
∴AE是⊙O的直径，即点E与点B重合，点F与点O重合，∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=
2
2
AB＝22．
∴AC＝22时，四边形EDCF是正方形．
故答案为22．
【点睛】
本题考查切线的性质、垂径定理、菱形的性质、正方形的性质，圆的切线垂直于过切点的半径；垂直于弦的直径，平分弦并且平分这条弦所对的两条弧；在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．熟练掌握相关性质及定理是解题关键. 22．（1）y＝﹣x2+2x+3；(2) 点P坐标为（﹣5，0）或（3﹣42，0）或（3+42，0）或（﹣1，0）【解析】
【分析】
（1）把点（1，0）代入y＝﹣x2+bx+3，解得b＝﹣2，所以抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x+3，由抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称．所以抛物线C2的函数表达式y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，所以B（3，0），OB＝3，A（﹣1，4），AB＝42，①
当AP＝AB＝42时，PB＝8，P1（﹣5，0）②当BP＝AB＝42时，P2（3﹣42，0），P3（3+42，0）③当AP＝BP时，点P在AB垂直平分线上，PA＝PB＝4，P4（﹣1，0）．
【详解】
解：（1）把点（1，0）代入y＝﹣x2+bx+3，
﹣1+b+3＝0，
解得b＝﹣2
∴抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x+3，
∴抛物线C1顶点坐标A（﹣1，4），与y轴交点（0，3），
∵抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称．
∴抛物线C2的函数表达式y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴B（3，0），OB＝3，
∵A（﹣1，4），
∴AB＝42，
①当AP＝AB＝42时，PB＝8，
∴P1（﹣5，0）
②当BP＝AB＝42时，
P2（3﹣42，0），P3（3+42，0）
③当AP＝BP时，点P在AB垂直平分线上，
∴PA＝PB＝4，
∴P4（﹣1，0）
综上，点P坐标为（﹣5，0）或（3﹣42，0）或（3+42，0）或（﹣1，0）时，△PAB为等腰三角形．【点睛】
本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．（Ⅰ）100,12；（Ⅱ）平均数是1.32，众数是1.5，中位数是1.5
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据条形统计图和扇形统计图，用1h对应的人数除以对应的百分比即可求解；用0.5h对应的人数除以总人数即可求解
（Ⅱ）利用平均数、众数、中位数的定义分别求解即可
【详解】
（Ⅰ）学生人数=
30
100
30%
；m%=12/100=12%，即m=12；
（Ⅱ）观察条形统计图，。