新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习高考解答题专项六概率与统计综合问题北师大版

高考解答题专项六　概率与统计综合问题
1.(2021广东揭阳质量检测)某工厂响应“节能减排”的号召,决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器.电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响,假设每天的日照情况和日均气温相互独立,该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下表所示:
日照情况日均气温不低于15℃日均气温低于15℃
日照充足耗电0千瓦时耗电5千瓦时
日照不足耗电5千瓦时耗电10千瓦时
日照严重不足耗电15千瓦时耗电20千瓦时
根据调查,当地每天日照充足的概率为2
5,日照不足的概率为2
5
,日照严重不足的概率为1
5
.2020年这
一年的日均气温的频率分布直方图如图所示,区间分组为[5,10),[10,15),[15,20),[20,25), [25,30),[30,35].
(1)求图中a的值,并求一年中日均气温不低于15 ℃的频率;
(2)用频率估计概率,已知该工厂原来的电热水器平均每天耗电20千瓦时,试估计更换电辅式太阳能热水器后这一年能省多少电?(一年以365天计算)
2.(2021河北邯郸一模)某市在其辖区内某一个县的27个行政村中各随机选择农田土壤样本一份,对样本中的铅、镉、铬等重金属的含量进行了检测,并按照国家土壤重金属污染评价级标准(清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、重度污染)进行分级,绘制了如图所示的条形图.
(1)从轻度污染以上(包括轻度污染)的行政村中按分层抽样的方法抽取6个,求在轻度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数;
(2)规定:轻度污染记污染度为1,中度污染记污染度为2,重度污染记污染度为3.从(1)中抽取的6个行政村中任选3个,污染度的得分之和记为X ,求X 的数学期望.
3.(2021山东日照二模)为保证玉米销售市场稳定,相关部门某年9月份开始采取宏观调控措施.该部门调查研究发现,这一年某地各月份玉米的销售均价(单位:元/斤)走势如图所示
.
(1)该部门发现,3月到7月,各月玉米销售均价Y (单位:元/斤)与月份T 之间具有较强的线性相关关系,试建立Y 关于T 的线性回归方程(系数精确到0.01),若不调控,依据相关关系预测12月份玉米的销售均价;
(2)该部门在这一年的12个月份中,随机抽取3个月份的数据作样本分析,若关注所抽三个月份的所属季度,记不同季度的个数为X ,求X 的分布列和数学期望.参考数据:∑i =3
7
t i =25,∑i =3
7
y i =5.36,∑i =3
7
(t i -t )(y i -y )=0.64,
对于线性回归方程Y=a ^
+b ^X ,
b ^
=
∑i =1n
x i y i -n x y
∑i =1
n x i 2
-n x
2
=
∑i =1n
(x i -x )(y i -y )∑i =1
n (x i -x )
2
,a ^=y −b ^
x .
4.(2021福建厦门一中模拟)某县为了响应国家精准扶贫的号召,特地承包了一块土地,已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表:
土地使用面积S/亩12345
管理时间T/月
911142620
并调查了某村300名村民参与管理的意愿,得到的部分数据如表所示:
性别愿意参与管理不愿意参与管理男性村民14060
女性村民
40
(1)求相关系数r 的大小(精确到0.01),并判断管理时间T 与土地使用面积S 的线性相关程度.(2)分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关?
(3)若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况,则从该县中任取3人,记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X ,求X 的分布列及数学期望.
参考公式:对于线性回归方程Y=a ^
+b
^X ,
r=∑n
(x i -x )(y i -y )
√
∑i =1
(x i -x )2
∑i =1
(y i -y )
2
χ2
=n (ad -bc )2
(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )
,其中n=a+b+c+d.
P (χ2>k )0.100.050.01k
2.706
3.841
6.635
参考数据:√485≈22.02.
5.(2021湖北华中师大一附中月考)某市消防部门对辖区企业员工进行了一次消防安全知识问卷调查,通过随机抽样,得到参加问卷调查的500人(其中300人为女性)的得分(满分100)数据,统计结果如表所示:
得分[40,
50)
[50,
60)
[60,
70)
[70,
80)
[80,
90)
[90,
100]
男性人数206040403010
女性人数107060755035
(1)把员工分为对消防知识“比较熟悉”(不低于70分的)和“不太熟悉”(低于70分的)两类,请完成如下2×2列联表,并依据小概率值α=0.01的独立性检验,分析该企业员工对消防知识的熟悉程度与性别是否有关?
性别不太熟悉比较熟悉总计
男性
女性
总计
(2)为增加员工消防安全知识及自救、自防能力,现将企业员工分成两人一组开展“消防安全技能趣味知识”竞赛.在每轮比赛中,小组两位成员各答两道题目,若他们答对题目个数和不少于3个,则小组积1分,否则积0分.已知A与B在同一小组,A答对每道题的概率为p1,B答对每道题的概率为p2,且p1+p2=1,理论上至少要进行多少轮比赛才能使A,B所在的小组的积分的期望值不少于5分?附:
P(χ2>k)0.100.050.01
k2.7063.8416.635
,n=a+b+c+d.
χ2=n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
6.某市举办了一次“诗词大赛”,分预赛和复赛两个环节,已知共有20 000名学生参加了预赛,现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本,得到如下的统计数据.
得分(百分制)[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]
人数1020302515
(1)规定预赛成绩不低于80分为优良,若从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人,求恰有1人预赛成绩优良的概率.
(2)由样本数据分析可知,该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替),且σ2=361.利用该正态分布,估计该市参加预赛的全体学生中预赛成绩高于72分的人数.
(3)预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛,复赛规则如下:
①参加复赛的学生的初始分都设置为100分;
②参加复赛的学生可在答题前自己决定答题数量n,每一题都需要“花”掉一定分数来获取答题资格(即用分数来买答题资格),规定答第k题时“花”掉的分数为0.2k(k=1,2,…,n);
③每答对一题得2分,答错得0分;
④答完n道题后参加复赛学生的最终分数即为复赛成绩.
已知学生甲答对每道题的概率均为0.75,且每道题答对与否都相互独立,则当他的答题数量n为多少时,他的复赛成绩的期望值最大?
参考数据:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<Z≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-
3σ<Z≤μ+3σ)≈0.997 4.
高考解答题专项六　概率与统计综合问题
1.解(1)依题意得a=1
5
×(1-0.02×5-0.03×5-0.03×5-0.04×5-0.03×5)=0.05.
一年中日均气温不低于15℃的频率为0.03×5+0.04×5+0.05×5+0.03×5=0.75=3
4
.
(2)由(1)知,这一年中日均气温不低于15℃的概率的估计值为3
4
,即一年中日均气温低于15℃的概
率的估计值为1
4
.
设使用电辅式太阳能热水器日均耗电量为X,X的所有可能取值为0,5,10,15,20,则P(X=0)=
2 5×
3
4
=
6
20
=
3
10
,P(X=5)=2
5
×
3
4
+
2
5
×
1
4
=
8
20
=
2
5
,P(X=10)=2
5
×
1
4
=
2
20
=
1
10
,P(X=15)=
1 5×
3
4
=
3
20
,P(X=20)=1
5
×
1
4
=
1
20
.
所以X的分布列为
所以X的数学期望EX=0×3
10+5×2
5
+10×1
10
+15×3
20
+20×1
20
=
25
4
=6.25.所以使用电辅式
太阳能热水器一天节省的电量为20-6.25=13.75(千瓦时),所以使用电辅式太阳能热水器一年节省的电量为13.75×365=5018.75(千瓦时).
2.解(1)轻度污染以上(包括轻度污染)的行政村共9+6+3=18个,
所以从轻度污染的行政村中抽取的个数为6
18×9=3,从中度污染的行政村中抽取的个数为6
18
×6=2,从重度污染的行政村中抽取的个数为6
18
×3=1.
(2)X的所有可能取值为3,4,5,6,7.
P(X=3)=C33
C
6
3
=
1
20
,P(X=4)=
C32C21
C
6
3
=
3
10
,
P(X=5)=C32+C31C22
C
6
3
=
3
10
,P(X=6)=
C31C21
C
6
3
=
3
10
,
P(X=7)=C22
C
6
3
=
1
20
.所以X的分布列为
所以EX=3×1
20+4×3
10
+5×3
10
+6×3
10
+7×1
20
=5.
3.解(1)由题意
月份t34567
均价Y/(元/斤)0.950.981.111.121.20
t =5,y =1.072,∑i =3
7
(t i -t )2
=10,
∴
b ^
=∑i =
1
n
(t i -t )(y i -y )
∑i =1
n
(t i -t )2
=0.064≈0.06,a ^
=y -b t
=0.752≈0.75.∴从3月到7月,Y 关于T 的线性回
归方程为Y=0.06T+0.75.当T=12时,代入回归方程得Y=1.47,即可预测第12月份玉米销售均价为1.47元/斤.(2)X 的取值为1,2,3,
P (X=1)=C 4
1C 123=1
55,P (X=3)=C 43C 31C 31C 31
C 12
3
=2755,P (X=2)=1-P (X=1)-P (X=3)=2755
,
X 的分布列为
EX=1×155+2×2755+3×2755=13655
.
4.解(1)由题意可得s =1+2+3+4+55=3,t =9+11+14+26+205
=16,∴∑i =1
5
(s i -s )(t i -t )=(-2)×(-7)+
(-1)×(-5)+0×(-2)+1×10+2×4=37,
∑i =1
5
(s i -s )2∑i =1
5(t i -t )2=[(-2)2+(-1)2+0+1+22]×[(-7)2+(-5)2+(-2)2+102+42
]=1940,∴37√≈0.84,∴管理时间T 与土地使用面积S 具有较强的正相关性.(2)由题意可知,
性别愿意参与管理不愿意参与管理总计
男性村民14060200女性村民4060100总计
180
120
300
根据列联表中的数据,得χ2
=300×(140×60-40×60)2
200×100×180×120
=25>6.635,有99%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿有关.
(3)由题意可知X 的可能取值为0,1,2,3,X~B (3,
15
),
P (X=0)=(45)
3=64125
;P (X=1)=C 31(45)
2×15=48125;P (X=2)=C 3
245×(15)
2=12125;P (X=3)=(15)
3
=1125
.∴X 的分布列为
∴EX=0×64125+1×48125+2×12125+3×1125=35
.
5.解(1)
性别不太熟悉比较熟悉总计男性12080200女性
140
160
300
总计260240500
根据列联表中的数据,计算可得χ2
=500×(120×160-140×80)2
260×240×200×300
≈8.547>6.635.
有99%的把握认为该企业员工对消防知识的了解程度与性别有关联.
(2)A ,B 在一轮比赛中积1分的概率为P=C 21p 1(1-p 1)C 22(p 2)2+C 22(p 1)2C 21p 2(1-p 2)+C 22(p 1)2C 2
2
(p 2)2=2p 1p 2(p 1+p 2)-3(p 1p 2)2,
又p 1+p 2=1,0≤p 2≤1,则p 1p 2=(1-p 2)p 2∈[0,
14
]
.
∴P=2p 1p 2-3(p 1p 2)2
=-3(p 1p 2-13)
2
+13
,且0≤p 1p 2≤14,∴当p 1p 2=14时,P max =516
.
设A ,B 所在的小组在n 轮比赛中的积分为ξ,则ξ~B (n ,
516)
,
∴Eξ=516
n ≥5,解得n ≥16,故理论上至少要进行16轮比赛.
6.解(1)由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有40人,其中成绩优良的人数为15人,记“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人,恰有1人预赛成绩优良”为事件A ,则P (A )=
C 251C 151
C 40
2
=
2552
.(2)由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为x
=10×0.1+30×0.2+50×0.3+70×0.25+90×0.15=53,则μ=53,由σ2=361,得σ=19,所以P (Z>72)=P (Z>μ+σ)=12
(1-P (μ-σ<Z ≤μ+σ))≈0.1587,所以,估计该市参加预赛的全体学生中,
成绩高于72分的人数为20000×0.1587=3174,即全市参赛学生中预赛成绩高于72分的人数为3174.
(3)以随机变量ξ表示甲答对的题数,则ξ~B(n,0.75),且Eξ=0.75n,记甲答完n题所加的分数为随机变量X,则X=2ξ,所以EX=2Eξ=1.5n,依题意为了获取答n道题的资格,甲需要“花”掉的分数为0.2×(1+2+3+…+n)=0.1(n2+n),
设甲答完n题后的复赛成绩的期望值为f(n),则f(n)=100-0.1(n2+n)+1.5n=-0.1(n-7)2+104.9,由于n∈N*,所以当n=7时,f(n)取最大值104.9.即当他的答题数量n=7时,他的复赛成绩的期望值最大.。