2020版高考数学 23 正弦定理、余弦定理及其应用 理(含解析)

课后限时集训(二十三) 正弦定理、余弦定理及其应用
（建议用时:60分钟)
A组基础达标
一、选择题
1。

如图所示，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC ＝50 m，∠ACB＝45°,∠CAB＝105°,则A，B两点的距离为（) A．50错误!m B．25错误!m
C．25错误!m D．50错误!m
D［因为∠ACB＝45°,∠CAB＝105°，所以B＝30°.由正弦定理可知错误!＝错误!，即错误!＝错误!，解得AB＝50错误!m．]
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，若sin A＝2sin
B，cos C＝－1
4
，则错误!＝（）
A.错误!B．错误!
C。

错误!D．错误!
B［在△ABC中，由sin A＝2sin B及正弦定理，得a＝2b,再由cos C＝－错误!及余弦定理，得错误!＝－错误!,将b＝错误!a代入，得错误!＝－错误!，化简整理得错误!2＝错误!，∴错误!＝错误!，故选B．]
3．（2018·永州一模）在△ABC中,a，b，c分别为内角A，B，C
的对边，若2sin B＝sin A＋sin C，cos B＝3
5
，且S△ABC＝6，则b＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
C[在△ABC中，由正弦定理可得，2b＝a＋c，①
由余弦定理可得,
b2＝a2＋c2－2ac×错误!＝(a＋c)2－错误!ac,②
由cos B＝错误!,得sin B＝错误!,
故S△ABC＝错误!ac×错误!＝6,③
由①②③得,b＝4.故选C.］
4．(2018·珠海二模）设锐角△ABC的三内角A,B，C所对边的边长分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为( ) A．(错误!，错误!) B．(1，错误!）
C．(错误!,2）D．(0，2）
A[∵B＝2A，∴sin B＝sin 2A＝2sin A cos A.
∵a＝1，
∴b＝2a cos A＝2cos A.
又△ABC 为锐角三角形，
∴错误!
∴错误!＜A ＜错误!，
∴错误!＜cos A ＜错误!.
即错误!＜b ＝2cos A ＜错误!,故选A.]
5．（2018·秦皇岛一模)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ，c ，若a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，则△ABC 的形状为（ ）
A ．等边三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．直角三角形
D [∵a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，
∴a ·a 2＋c 2－b 2
2ac
＋a ·错误!＝b ＋c , ∴a 2＋c 2－b 2
2c
＋错误!＝b ＋c , ∴错误!＝b ＋c ，
∴错误!＝b ＋c ，
∴a 2－b 2－c 2＋2bc ＝2bc ,
∴a 2＝b 2＋c 2,
∴△ABC 为直角三角形．]
二、填空题
6．(2019·南宁模拟）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，
b，c，若sin B＝2sin C，且a＝错误!，A＝错误!，则c＝________。

错误!［由sin B＝2sin C及正弦定理可得b＝2c，在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，则14＝4c2＋c2－4c2×错误!＝7c2，
解得c＝错误!.]
7．(2018·陕西二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，已知错误!＝1－错误!，且b＝5，错误!·错误!＝5，则△ABC的面
积是________．
错误![由错误!＝1－错误!及正弦定理，得错误!＝1－错误!，即b2＋c2－a2＝bc,所以cos A＝错误!＝错误!，所以A＝错误!。

因为错误!·错误!＝bc cos A
＝错误!c＝5，所以c＝2，所以S△ABC＝错误!bc sin A＝错误!×5×2×错误!＝
错误!。

］
8．在△ABC中,点D在边AB上，CD⊥BC，AC＝5错误!,CD＝5，BD＝2AD,则AD的长为________．
5 [在△ABC中，BD＝2AD，设AD＝x（x＞0)，则BD＝2x.在
△BCD中，因为CD⊥BC，CD＝5，BD＝2x，所以cos∠CDB＝错误!
＝错误!。

在△ACD中，AD＝x，CD＝5,AC＝5错误!，则cos∠ADC＝错误!
＝错误!。

因为∠CDB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADC＝－cos∠CDB，即错误!＝－错误!，解得x＝5，所以AD的长为5.］
三、解答题
9．（2019·武昌模拟）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C 的对边，且2b cos C＝2a＋c.
（1)求B；
（2）若b＝2，a＋c＝5，求△ABC的面积．
[解］(1)由正弦定理，知2sin B cos C＝2sin A＋sin C，
由A＋B＋C＝π，得2sin B cos C＝2sin(B＋C)＋sin C，
化简,得2sin B cos C＝2（sin B cos C＋cos B sin C)＋sin C，
即2cos B sin C＋sin C＝0.
因为sin C≠0，所以cos B＝－1
2
.
因为0＜B＜π，所以B＝错误!.
（2）由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，可知b2＝(a＋c）2－2ac －2ac cos B，
因为b＝2，a＋c＝错误!，所以22＝(错误!）2－2ac－2ac cos 错误!,得ac ＝1。

所以S△ABC＝错误!ac sin B＝错误!×1×错误!＝错误!.
10。

如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2错误!，AC＝2，∠ADC＝∠CAB＝90°，设∠ACD＝θ。

（1)若θ＝60°，求BD的长度;
(2）若∠ADB＝30°，求ta n θ.
[解］(1）∵在R t△ADC中,AC＝2,∠ACD＝θ＝60°，
∴AD＝AC sin 60°＝错误!.
又在△ABD中,AB＝23，∠BAD＝120°,
∴BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB cos∠BAD
＝(3）2＋(2错误!）2－2×错误!×2错误!cos 120°＝21，
∴BD＝错误!。

（2）∵在R t△ADC中，∠ACD＝θ，AC＝2，
∴AD＝AC sin θ＝2sin θ.
又在△ABD中,∠ADB＝30°,∠CAB＝90°，
∴∠CAD＋∠ABD＝180°－∠ADB－∠CAB＝60°,
∴∠ABD＝60°－∠CAD＝60°－（90°－θ）＝θ－30°.
∴在△ABD中，由正弦定理得错误!＝错误!，
即错误!＝错误!＝4错误!,
∴错误!＝2错误!，
∴2sin θ＝错误!cos θ,
∴ta n θ＝错误!.
B组能力提升
1．(2019·郑州模拟)某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D,测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为（测仰角的仪器距地面的距离忽略不计)( ) A．15米B．5米
C．10米D．12米
C[如图，设塔高为h，在R t△AOC中，∠ACO＝45°，
则OC＝OA＝h.
在R t△AOD中,∠ADO＝30°,
则OD＝错误!h。

在△OCD中,∠OCD＝120°，CD＝10,
由余弦定理,得
OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD·cos∠OCD,
即（3h）2＝h2＋102－2h×10×cos 120°，
∴h2－5h－50＝0，
解得h＝10或h＝－5（舍去）．]
2．（2019·衡水模拟)在不等边三角形ABC中,角A,B，C所对的边分别为a，b，c,其中a为最大边，如果sin2（B＋C）＜sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为( ）
A.错误!B．错误!
C。

错误!D．错误!
D［由题意得sin2A＜sin2B＋sin2C,再由正弦定理得a2＜b2＋c2，即b2＋c2－a2＞0，则cos A＝错误!＞0。

∵0＜A＜π，∴0＜A＜错误!。

又a为最大边,∴A＞错误!.因此得角A的取值范围是错误!。

]
3．《数学九章》三斜求积术:“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法．以S，a,b,c分别表示三角形的面积、大斜、中斜、小斜，h a，h b，h c分别为对应的大斜、中斜、小斜上的高，则S＝错误!＝错误!ah a＝错误!bh b＝错误!ch c。

若在△ABC中，h a＝错误!，h b＝2，h c＝3，根据上述公式,可以推出该三角形外接圆的半径为________．
错误![由错误!ah a＝错误!bh b＝错误!ch c，得错误!a＝2b＝3c,则a∶b∶c＝2错误!∶3∶2,令a＝2错误!k,b＝3k，c＝2k(k＞0)，代入S＝错误!＝错误!ah a，
得错误!＝6k,解得k＝错误!。

又由余弦定理，得cos A＝错误!＝错误!＝错误!，
则sin A＝错误!，所以三角形ABC外接圆的直径2R＝错误!＝错误!＝错误!×
错误!＝错误!,即R＝错误!.］
4．（2019·太原一模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b,c，错误!＝错误!＋错误!.
(1）求sin(A＋B)＋sin A cos A＋cos（A－B)的最大值；
（2)若b＝错误!，当△ABC的面积最大时，求△ABC的周长．
[解] (1)由错误!＝错误!＋错误!,得错误!＝错误!,所以a＝b cos C＋c sin B，即sin A＝sin B cos C＋sin C sin B，
又sin A＝sin(B＋C）＝sin B cos C＋sin C cos B，所以cos B＝sin B,因为B∈（0，π),所以B＝错误!,
则sin（A＋B）＋sin A cos A＋cos(A－B）＝错误!(sin A＋cos A）＋
sin A cos A，令t＝sin A＋cos A，因为sin A＋cos A＝2sin错误!,0＜A ＜错误!π，所以0＜t≤错误!，
sin（A＋B)＋sin A cos A＋cos(A－B）＝错误!t2＋错误!t－错误!＝错误!(t ＋错误!)2－错误!,
所以当t＝错误!,即A＝错误!时，上式取得最大值，为错误!.
（2)结合（1）得S＝错误!ac sin B＝错误!ac，b2＝a2＋c2－2ac cos B，即2＝a2＋c2－错误!ac≥(2－错误!）ac，ac≤2＋错误!,当且仅当a＝c＝错误!时等号成立，所以S m ax＝错误!,此时a＝c＝错误!，所以周长L＝a＋b＋c＝2错误!＋错误!.。