关于亚纯函数的两个性质

按 照 它在
z )一 b ( (
z
) 内的 重 级 计算
一 1一
证
于n 一 2
。
记
f ,
甲
二:
f
一 b( f ( z )
:
,
z
.
)
则 当甲
,
() z 的零 点由 f ( z ) 的极 点生 成 时
,
,
其 重 级不 低
,
(: ) 一 b (
) 的 零 点且非 f ( 么 ) 的 零 点
亦必生 成
’
W:
,
r
,
f
,Hale Waihona Puke )、+
o
毛T ( r
,
,
f) }
、 ,
,
_
f
,
,
l
,
,
、
、
_
、
乓 将 (4 )
、
m
(
f
一
丈少 十
m
气r
一
厂
1
少 +
0
t
\
(
r
一
I
少少 (
勺
少
( 5 )代 入 ( 3 )得
n
m (
,
f )、 T (
,
二)一 N (
,
备
r
,
)
+
m (
,
`)
+
m (
,
导
,
)
+
O
{T
(:
,
` )
结合
(2 )式
,
就有
(
r
)
、
(
r
)
。
在上述 记 号 下
,
有
,
双;
、) 、
“(
o
r
,
一
念
,
)二
+
n
:
、
(
r
、
一
f
,
( z ) 一 b (z )
f (
z
)
“
)
《
`
{T (r {T (
T ( 诬
f)
,
}
面
(
r
甲
:
、
) N
:
l
( 《
事实上 重级》
, ,
o
:
f ) f )
} }
+
N ( N (
,
w
;
)
+
+
(
r
) (
z
。
o
r
,
+
r
,
甲)
N
(r )
) 争
,
若
n
。
:
。
为f (
。
:
) 的 零 点且 非 f ,
/
.
(
Z
) 一 b (
,
得到
:
设
,
f (
z
) 于 开平 面超 越 亚纯
r
,
,
n
>
,
5
为整 数
,
a
(
b (
`
Z
) ) )
、
b
=
a o
( 不 ) 为较 f (
)
,
慢 且
增长 的 亚 纯 函 数
a
即T (
a
(: ) )
,
.
= 。
{ T(
r
f) }
T (
r
,
z
{T (
)f (
z
r
,
f )
=
}
(
z
) 的 零 点 不是 f ( z ) 的 极 点
r
,
、 m
( (
=
r
,
. 、 甲 1 了
一
`
m`
r
,
“ “ ’一 b `
, ,
一
+
o
(
一
百
扮
}
。
)
(s )
、
m
,
m
,
一 、 、 . 甲 1 厂
+
m (
r
,
f
`
(z )
一
b (
z
) )
遥T ( r
,
f)
而
(
r
,
韵
f
,
T `
一 , 。 卜半 专
+
。` , ,
( 4 )
m (
(
z
)
一
b (z ) )
《
,
m (
r
少+
m
o
(
r
,
f, =
1
r
、
。
,
甲
i
声+
o
注
(
r
,
i
夕
=
T (r
,
甲)
一
N
。
(
。
r
)
+
玉T (
,
f)
}
,
当 f 的级 为 无穷 时
,
须 除去 一 线 性 测度 为 无 穷的集合
,
引理 2
在 引理 1 的条 件 与 记 号下
n
有
` 一
一
4
, T`
r
,
` ,
抓
: 丁冬
,
,
+
。
、
{ T`
r
,
` , }
证 的 零点 一
) 的零 点
则f
,
(
z
)f (
z
)
一
z 有 无 穷多个 根 ( ) a
显然
,
定理 1与定理
2 分 别改 进 了 H
y m
a n
的 结果 定理
A
与 定理
B
。
<二 ) 为 了 证 呀定 理 1 和 定 理 2
,
我 们 先证 明 如 下 引 理
f(
o z
:
引理
i
一
设
n
>
r
5 为 整数
,
,
)在
r
,
!
z
}<
,
。
b ( ; )与 f ( z ) 无 公 共 极
点
,
则f
(z )
一
(
z
’
飞
b (z )有无
穷 多 个根 定理
数
=
,
2
r
,
设 “ : ) 于 开 平 面 超 越亚纯
a
,
n
>
a
3
为整数
,
“
( z ) 为较 f (
z
Z
) 馒增长 的 亚 纯 勇
,
`
即T (
(
z
) ) 三
。
。
{T (
r
,
f )
}
,
且
a
( 公 ) 的 零 点不 是 f (
〕
内
2
一
零 点 重 级户 卜 算 次数
f (
z
,
,
以
(
z
n :
(
r
)
2 r 表 示 1 ! 《 内既 是
,
f , f ,
(
(
Z
)
一 b
(
Z
) 的 零 点 同 时 又是
Z
) 的 零点与甲
) 的 零 点数 目
,
也 按 照 它们 在
N
:
:
)
一 b (
) 内的 零 点 重 级计
算
,
相 应 的 密指 量 分别 记 为 N
+
叩 内亚 纯
r
,
,
a
(z )与 b (z )为 较f (
o
z
) 慢 增长
b (
z
的 亚纯 函数
即T (
。
a
(
z
) )
=
麦T (
f) }
T(
b (
z
) )
=
{ T (
r
,
f) )
}
,
且
)
z 无公 共 极 点 与f()
若记 .( z
、
甲
f
,
(z )
a
一
b (
z
z
.
)
(
z
)f (
)
( l )
贝 组 (
。
(
n
一 2 )T (
r
,
` )《 N (
备
, _ ,
)
一 N
。
(
r
)
+
O
{ T (r
` ) }
二
个
l
T
,
、
、 ,
,
_
_
l
`
、
.
_
,
_ ,
f ,
、
.
_
,
甲
i
,
_ i 一 i
,
、
气I
,
.
丫
少
一
止 、
、r
乙声 厂福 尸
宁
U工 L l
下- 产 I
十
O
飞
、
/
,
=
1
,
.
,
,
、
飞
,
,
、
_
,
(
r
一
甲 声一
上 、
o
(
,
a a n ` 〕 n 〔 r ) 表 示 } Z ! 戈 r 内既 是 f ( , ( z 类 似于 H y m 的 记 号 与讨 论 以 : z : 同时 又 是 践 ) 的 零 点与 甲 ( ) 的极 点 的 数 目 按 照 它 们 在 f, ( ) 一
, ,
,
)一 b ( z ) b (: )
(
2
) 的零 点
于是有
N ` 一
毒
) > N
(
。
,
一
f
二
二 ,
。
f
,
~
;, -
-
一 二下
-
、
叮 -二z )
、
T
(
z
) 一 b (
一
.
/ f)
一
止、
t
/
\
_ 1
. `
1
、
/
.
) 另 一方 面
,
N
(r )
+
(
n
一 2 ) N (
r
,
+
o
r {T(
,
—
f)
a
(z )
心
}
( 2 )
n
r ( n
r
,
f)
=
m (
f ,
z )一 (
f a
(: )
.
取
b 无 穷多 次 f (
z
定理
a
B
) 于开平 面超 越 亚纯
,
)
3 为整数
,
则
f ,
(: ) f (
)`
取 任 意 有 穷 复数
,
笋 O 无 穷 多次
本 文 利 用与 杨 乐 在 〔 2 〕中所 使用 的 类 似方 法
定理
1
,
对 上 述 两个 定 理 进 行 了改 进
一
2
。
、
r ) T心
,
f )
。
《 了(
r
,
甲)一 N
。
(
r
)
+
o
{T (
r
,
f )
。
}
(
r
,
至 多除 去 一 线 性 测 度 为
’
有 穷 的 集合
b ( z
其中 N
(
r
) 为相 应 于 1 r 0
,
(
r
) 的密 指 量 犷 而 n
f ,
) 为
1
。
2
}<
r
内 f,
(
z
)
-
)的 零点 且 非 f ( z ) 的 零 点数
零 陵师专 学报 ( 自然 科学 版
1 9
8 9 年第 3 期
关 于 亚 纯 函 数 的 两 个 性 质
黄
裕
(一 )
民
1 9 5 9年
,
W
.
不H
z
.
a
y m
a
n
在 〔 1 〕中 曾得 到
,
定返 A
私 月 有有穷 复数
设f ( 设
。
) 于 开平 面 超 越 亚 纯
。
n
)
n
5
为整 数
,
a
沪 o
,
O
,
则
z