第2章_动力系统及稳定性分析

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式(2.2)中,V = lθ 是摆球的切向速度，g 是重力
加速度。在无阻尼条件下摆球总能量 H 应保持 不变：
图 2.1 简单保守系统：无阻尼 单摆
H = 1 ml 2 (θ )2 + g(1 − cosθ )ml = 常数 (2.3) 2
这里,广义坐标 q = θ ；广义动量 P = mV = mlθ 。
应为正值，故必有矢量 f 的散度小于零，即：
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第 2 章 动力系统及稳定性分析
∑ div( f ) = n ∂fi ≺ 0
i =1 ∂xi
(2.15)
严格说，散度 div( f )小于零是耗散系统的必要条件，而非充要条件；但一
般地，我们也用它估计系统是否耗散的。 2.2 动力系统稳定性理论的一些基本概念[2,3] 2.2.1 平衡状态
无摩擦简谐振子也是守恒系统，如图 2.2 所示。质量为 m 的振子 A，经一
根完全弹性的弹簧 P 系在 B 点。设作用在振子 A 上的弹簧力 F 的大小与 A 对其
平衡位置的位移 x 成线性关系：
1
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F=-kx
(2.4)
k 是弹簧的弹性系数。质点 A 的位能
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第2章 动力系统及稳定性分析
混沌是非线性动力系统的内秉随机性。系统进入混沌状态要经历一个失稳、 分叉稳定，再失稳、再分叉，直到转入混沌的过程。每一次失稳一分叉都使系统 发生“相变”，出现一个与前一稳定状态截然不同的新的时空结构，即自组织现 象。对非线性系统进行稳定性分析是认识系统自组织过程的前提。 2.1 守恒系统和耗散系统 2.1.1 守恒系统（conservation system）
Ep 即为:
∫ EP
=
x Fdx′ = − 1 kx2
0
2
(2.5)
质点的动能 Ek 为:
Ek
=
1 m(x)2 2
(2.6)
图 2.2 简单保守系统：无摩擦质量-弹簧简谐 振动系统
若振子在接触面上的运动是无摩擦的，则它的总能量 H Hamilton 函数保持
不变：
H
=
Ep
+ Ek
= − 1 kx2 2
特征方程为
λ3 + 6λ2 + 11λ + 6 = 0
或
(λ + 1)(λ + 2)(λ + 3) = 0
它有 3 个特征根： λ 1 = −1, λ 2 = −2, λ 3 = −3 。 线性系统理论指出，线性定常系统(2.22)的解 Φ(t; x 0 ,t0 ) 是以其系数矩阵 A 的
n 个特征根为指数的指数函数的线性组合，即解 Φ(t; x0 ,t0 ) 包含指数函数 eλ1t ,eλ2t ,...,eλnt 。显然，特征根 λ i 在复数平面上的分布位置决定了上述指数函数的曲
迹
图 2.3 相轨迹 P1, P2 是两条封闭曲线（椭圆），反映了 2 个无阻尼单摆都是守
恒系统，其总能量维持不变的特点；椭园 P2 P1，反映了单摆 2 的能量大于单
摆 1。如果 Hamilton 函数中自由度 n=2，相空间就是一个相平面(phase plan)。
相轨迹虽然描述了动力系统的演变过程，但它并不就是系统解的轨迹，更不
与保守系统不同，耗散系统的相空
间体积在不断演化中是逐渐压缩的。仍以单摆为例，如果考虑阻尼作用，单摆的
相轨迹将如图 2-4 所示。即由于它的总能量不断损耗，摆球最终将停止在垂直位
置，在相平面上的相轨迹形成一条以原
点 O(0,0)为稳定平衡位置的螺旋线。图
θ
2-5 是它的摆角θ 随时间 t 变化的轨迹。
定，也只是围绕统计平衡状态上下波动的 Lyapunov 意义下的稳定，而非渐近稳
定。
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2.3 线性动力系统的稳定性分析方法
在这里，我们只介绍定常系统的渐近稳定性，以期提供稳定性分析的最基本
概念。以下文中所提的稳定性均指渐近稳定性。
系统(2.8)若是线性定常的，则它进一步可写为
Ax 形式， x = Ax , A 为系数矩阵。当 A 满秩时，系统只有唯一的平衡状态。如
果 A 为位奇异矩阵（不满秩），则系统有无穷多个平衡状态。对非线性系统，可
有一个或多个平衡状态。
2.2.2 Lyapunov（李雅普诺夫）意义下的稳定性
设以平衡状态 xe 为中心的 n 维球的半径为 R，则球域内诸点都满足
如果 Hamilton 函数（或系统的能量）保持不变, 则该系统是保守系统。
最简单的保守系统是没有阻尼作用的单摆,
如图 2.1 所示。设摆长为 l ，摆角为θ ，
摆球质量为 m, 则摆的 Hamilton 函数 H 为其动能
θ
与势能之和：
H= 1 mV 2 + mgl(1 − cosθ )
(2.2)
(2.19)
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x0 − xe ≤ δ
(2.20)
的所有各点的一个球域；而
S(ε) 是包含有使
Φ(t; x0 ,t0 ) − xe ≤ ε
(t ≥ t0 )
(2.21)
ε
δ
的所有各点的另一个球域。如
果不论实数 ε,δ 多么小，对应 于每一个 S(ε) ，都存在一个 S(δ ) ，使得 t → ∞ 时，从 S(δ )
图 2.6 三种平衡状态的稳定性
a.Lyapunov 意义下稳定的平衡状态; b.渐近稳定的平衡状 态;c. 不稳定平衡状态)
出发的轨迹不离开 S(ε) ，那么 xe 是在 Lyapunov 意义下稳定的平衡状态。 2.2.3 渐近稳定性
如果平衡状态在 Lyapunov 意义下是稳定的，且从域 S(δ ) 出发的任意一个解，
θ
量空间称为相空间 (phase space)；动力
系统在相空间中的时间变化曲线，表征
θ
了系统的演化过程，称为相轨迹(phase trajectory)。右图 2.3 是无阻尼单摆在相
空间 (θ,θ) 中的相轨迹,画出 −π ≤ θ ≤ π 的部分。
图 2.3 无阻尼单摆相空间 (θ ,θ ) 的相轨
+
1 m(x)2 2
= 常数
(2.7)
其中，广义坐标 q=x；广义动量 P = mx 。
守恒系统是一个非常广泛的概念，在各个领域中都可以找到守恒系统的实
例，由 Maxwell 方程描述的光在真空中传播的过程就是守恒系统在电磁领域中的
一个实例。
矢量 {qi },{Pi }(i = 1,2,...n) 张成的矢
∆xi
+ ...... +
d (∆xn ) dt
n i≠n
∆xi
或
∏ d (∆Ω) dt
=
n i =1
∆xi
[
d
(∆x1 dt
)
(
∆x1
)
−1
+
d
(
∆x2 dt
)
(
∆x
2
)
−1
+......+
d
(
∆x dt
n
)
(
∆xn
)
−1
]
考虑式(2.9)，则式(2.11)为:
∑ d (∆Ω) dt
=
∆Ω
n i=1
刚体的力学运动可以用最一般化的形式描述：
qi
=
∂ ∂
H Pi
,
Pi
=
−
∂ ∂
H qi
(2.1)
这里，矢量 qi (i = 1,2,...n) 是广义坐标； Pi (i = 1,2,...n) 是广义动量；n 是自由度;
H = H(qi , Pi ) 是系统的 Hamilton 函数，如不显含时间，则等于系统的总能量。
在 t → ∞ 的时都不离开 S(ε) 且收敛于 x e ，那么 xe 是渐近稳定的平衡状态。 2.2.4 不稳定性
不论实数 ε,δ 多么小，总能找到 S(δ ) 上的一个初始状态 x0 ，使得由这一状 态出发的轨迹总要脱离开 S(ε) ，则 xe 是不稳定平衡状态。在平面上表示这三种 平衡状态的稳定性, 如图 2.6 a~c 所示：a 是 Lyapunov 意义下稳定的平衡状态；
耗散系统的一般形式是含有 n 个变
量的一阶微分方程组：
x = f (x,t), x(0) = x0
x = [x1 , x2 ,... xn ]τ
, f = [ f1 , f 2 ,..., f n ]τ
(2.8)
图 2.5 阻尼单摆摆角θ 随时间 t 的变化
轨迹
变量的下画线“—”指示该变量是矢量或矩阵；“τ ”表示转置。如果 fi 是不显 含时间 t 的关于 xi 的多项式，则系统(2.8)称为自治(时不变)系统。以下将证明， 耗散系统(2.8)右端项的散度 div( f )小于零，这个性质常用来判断动力系统的耗 散性[1]。
行星和地球的运动。但到本世纪五十～六十年代，由于 Kolmogorov，Armold 和
Moser 等人的工作，发现保守系统中的不可积系统，在不满足 KAM 定理两条件
的情况下，也可能出现随机性（即混沌运动），而且会出现无穷层次的自相似结
构。只有保守系统中的可积系统不可能出现混沌运动。
2.1.2 耗散系统（Dissipative System）
x = Ax
(2.22)
其中 A 是 n 行 n 列（n×n）的常系数矩阵,其特征根 λ i (i=1,2,…n)由它的特征方程 决定：
λI − A = 0
(2.23)
例 1 设矩阵
0 1 0
A
=
0
0
1
,
则其特征方程的行列式为
−6 −11 −6
λ −1 0 λ I − A = 0 λ −1
6 11 λ + 6
(∆xi
) −1
d (∆xi dt
)
∑ =
∆Ω
n i =1
[∆(
dxi dt
)
/
∆xi
]
∑n
= ∆Ω
∆f i
i=1 ∆xi
∑n
= ∆Ω
∂f i
i=1 ∂xi
注意到
∆xi
(t)
=
∂xi (t) ∂xi (t0 )
∆xi
(t0 )
式(2.12)还可写成：
∑ d (∆Ω) dt
=
∆Ω
n i =1
[ ∂xi (t0 ) ∂xi (t)∆xi (t0 )
d dt
(∂xi
(t ))]
(2.9) (2.10) (2.11)
(2.12) (2.13) (2.14a)
考虑到
∂xi (t) dt
=
fi
, 则有
∑ d (∆Ω) = ∆Ω n ∂fi
dt
i=1 ∂xi
(2.14b)
耗散系统的相空间体积是压缩的，即 d (∆Ω) ≺ 0 ；而在式(2.14b)中相空间体积 ∆Ω dt
设 Φ(t; x 0 ,t0 ) 是 以 x 0 ,t0 为 初 始 条 件 的 系 统 (2.8) 的 解 ( 状 态 转 移 矩 阵 ) ， Φ(t0 ; x 0 , t0 ) = x 0 。如果对所有的 t，总存在着：
x = f (xe,t) = 0
(2.16)
则称 xe 为系统的平衡状态。如果系统(2.8)是线性常微分方程组，即 f (x,t) 可写为
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系统(2.8)的相空间体积 ∆Ω 可以用 ∆xi 的乘积表示:
n
∆Ω = ∏ ∆xi i=1
相空间体积的变化率 d (∆Ω) 可写为: dt
∏ ∏ ∏ d(∆Ω) dt
=
d (∆x1 ) dt
n i ≠1
∆xi
+
d (∆x2 ) dt
n i≠2
x − xe ≤ R 式中 x − x e 为欧几里德（Euclid）范数，它等于
(2.17)
1
x − x e = [(x1 − x1e )2 + ( x2 − x2e )2 +......+( xn − xne ) 2 ]2
当 n=2 时， x = [x1 , x2 ]τ ,其范数为
(2.18)
x − x e = ( x1 − x1e ) 2 + ( x2 − x2e ) 2 它表示相平面 (x1 , x2 ) 中，以平衡点 x e (x1e , x2e ) 为中心的园的半径。 设 ε,δ 是正实数。 S(δ ) 是包含有使
一般说来，如果动力系统的总能量是不断消耗的，则这个系统必定是耗散系
统。引起能量损失的原因之一是摩擦。
θ
自然界中的系统，绝大多数是耗散的，
河流是典型的耗散系统。河道平面形态
θ
的曲折蜿蜒，沙波的起伏，床沙的粗化，
都是引起河流能量损失的边界形态方面
的原因。 图 2.4 阻尼单摆相空间 (θ ,θ ) 的相轨迹
b 是渐近稳定的平衡状态；c 是不稳定平衡状态。
2.2.5 对河流系统平衡状态及稳定性的理解
如果把一条河流的纵比降 J，河宽 B，水深 h，断面平均流速V ，床沙粒径 d
等参数当作式(2.8)中的状态变量 x , 那么讨论河流过程所使用的“平衡状态”，
应理解为河段长时段统计平均意义下的平衡状态。河流系统的这一平衡点的稳
能与空间物体运动轨迹相混淆。
守恒系统在相空间中的体积（phase space volme）既不会膨胀，也不压缩， 因为它的能量是守恒的。

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很长时间以来，守恒系统的运动都被认为无随机性可言：初始条件一经确定，
系统就按一定的轨道准确运动。唯因如此，天体力学家才能根据计算，精确予言