2020-2021高三数学下期末试题带答案(12)

2020-2021高三数学下期末试题带答案(12)
一、选择题
1．给出下列说法：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
2．
()()3
1i 2i i --+=（ ）
A ．3i +
B ．3i --
C ．3i -+
D ．3i - 3．若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ）
A ．6
B ．8
C ．26
D ．42
4．设双曲线22
22:1x y C a b
-=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别
交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若22
0MF NF ⋅=u u u u v u u u u v
，22MF NF =u u u u v u u u u v ，则双曲线C 的离心率为( ). A ．2 B ．3
C ．5
D ．6
5．设集合，，则
=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．设F 为双曲线C ：22
221x y a b
-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径
的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A 2 B 3C ．2
D 5
7．若双曲线22
221x y a b
-=3，则其渐近线方程为（ ）
A ．y=±2x
B ．y=2x
C ．1
2
y x =±
D ．22
y x =±
8．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ） A ．
22
B ．1
C 2
D ．2
9．在[0,2]π内，不等式3
sin x <的解集是（ ）
A ．(0)π，
B ．4,33ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
C ．45,33ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．5,23ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
10．如图所示的组合体，其结构特征是（ ）
A ．由两个圆锥组合成的
B ．由两个圆柱组合成的
C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的
D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的
11．定义运算()()
a a
b a b b a b ≤⎧⊕=⎨
>⎩，则函数()12x
f x =⊕的图象是（ ）． A ． B ．
C ．
D ．
12．在△ABC 中，AB=2，AC=3，1AB BC ⋅=u u u r u u u r
则BC=______ A 3B 7
C 2
D 23二、填空题
13．复数()1i i +的实部为 ．
14．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1
()tan 2
g x x =
的图象交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为__________．
15．若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上存在单调增区间，则实数a 的取值
范围是_______.
16．已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________ 17．若45100a b ==，则1
22()a b
+=_____________． 18．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则
b
a
的取值范围是__________．
19．若函数2()1ln f x x x a x =-++在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的最小值是__________．
20．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos
2
x
π的值介于1[0,]2
的概率为 ．
三、解答题
21．已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，m ，n 为实数. （1）若1m =，1n =-，求12z z +的值； （2）若21
2z z =，求m ，n 的值.
22．设()34f x x x =-+-.
（Ⅰ）求函数()2()g x f x =-的定义域；
（Ⅱ）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围.
23．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、02000:步，（说明：“02000:”表示大于或等于0，小于2000，以下同理），B 、20005000:步，C 、50008000:步，D 、800010000:步，E 、
1000012000:步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所
示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在20008000:的人数；
（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在800010000:的微信好友中，按男女比例分层抽取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．
24．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.
25．在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点
A ，
B 的极坐标分别为()
π42，
，5π224⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）．
（1）求直线AB 的直角坐标方程；
（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值． 26．已知0,0a b >>. (1)求证：
211ab a b
≥
+ ；
(2)若a b >，且2ab =，求证：22
4a b a b
+≥-．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
①②③根据定义得结论不一定正确.④画图举出反例说明题目是错误的. 【详解】
解：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;
②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图（1）所示;
③不一定．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图（2）所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;
④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等． 故答案为:A
【点睛】
(1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力;
(2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定; (3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可．
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
先分别对分子和分母用乘法公式化简，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即得最后结果. 【详解】 由题意得，复数()()()3
1i 2i 13i i 13i 3i i i
i i
--+-+⋅-+===----⋅．故应选B
【点睛】
本小题主要考查复数的乘法和除法的运算，乘法的运算和实数的运算类似，只需要记住
2i 1=-.除法的运算记住的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，这一个步骤称为分母实
数化，分母实数化的主要目的是将分母变为实数，然后将复数的实部和虚部求出来.属于基础题.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
2
a b
+≤转化为指数运算即可求解。

【详解】
由基本不等式可得22a b +≥3a b +=，所以22a b +≥=（当且仅当3
2
a b ==等号成立） 故答案为：D 【点睛】
本题考查了用基本不等式求指数中的最值，比较基础。

4．B
解析：B 【解析】 【分析】
本道题设2MF x =,利用双曲线性质,计算x ，结合余弦定理，计算离心率，即可． 【详解】
结合题意可知,设22,,2,MF x NF x MN x ===则
则结合双曲线的性质可得,21122,2MF MF a MF MN NF a -=+-=
代入,解得22x a =,所以12
222,22NF a a NF a =+=,0
1245F NF ∠= 对三角形12F NF 运用余弦定理,得到
(
)(
)
()()()
2
2
2
0222222222222cos45a a
a
c a a a ++-=+⋅,解得3c
e a
=
= 故选B. 【点睛】
本道题考查了双曲线的性质，考查了余弦定理，关键利用余弦定理，解三角形，进而计算x ，即可，难度偏难．
5．B
解析：B 【解析】 试题分析：集合
，故选B.
考点：集合的交集运算.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】
设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，
又||PQ OF c ==Q ，||,2
c
PA PA ∴
=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2
c OA =
． ,22c c P ⎛⎫
∴ ⎪⎝⎭
，又P 点在圆222x y a +=上，
22244c c a ∴+=，即2222
2,22c c a e a
=∴==． 2e ∴=A ．
【点睛】
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
7．B
解析：B 【解析】
22
3a b +=b y x a =±，计算得2b a =方程为2y x =.
【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】
根据渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线，可得a b =，所以c 2a = 则该双曲线的离心率为 e 2c
a
==， 故选C ． 【点睛】
理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.
9．C
解析：C 【解析】
根据正弦函数的图象和性质，即可得到结论． 【详解】
解：在[0，2π]内，
若sin x 3
2
-
＜，则43π＜x 53π＜， 即不等式的解集为（43π，53
π）， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查利用三角函数的图象与性质解不等式，考查数形结合的思想，属于基础题．
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案. 【详解】
根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选D. 【点睛】
本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值， 因此函数()1,0
122,0x
x
x f x x >⎧=⊕=⎨
≤⎩
， 只有选项A 中的图象符合要求，故选A.
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
2222149||||cos ()122BC AB BC AB BC B AB BC AC +-⋅=-⋅=-+-=-=u u u r u u u r Q
|BC ∴
故选：A 【点评】
本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.
二、填空题
13．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部 解析：1-
【解析】
复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-. 考点：复数的乘法运算、实部.
14．【解析】【分析】画出两个函数图像求出三个交点的坐标由此计算出三角形的面积【详解】画出两个函数图像如下图所示由图可知对于点由解得所以【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像考查三角函数图像交点坐
解析：
4
【解析】 【分析】
画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积. 【详解】
画出两个函数图像如下图所示，由图可知()()0,0,π,0A C ，对于B 点，由sin 1
tan 2y x y x =⎧⎪
⎨=⎪⎩
，
解得π3B ⎛ ⎝⎭
，所以1π2ABC S ∆=⨯=.
【点睛】
本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查三角函数面积公式，属于中档题.
15．【解析】【分析】【详解】试题分析：当时的最大值为令解得所以a 的取值范围是考点：利用导数判断函数的单调性
解析：1
(,)9
-+∞
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：2
211()2224f x x x a x a ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝
⎭'．当23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，()f x '的最大值为
22239f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，令2209a +>，解得19a >-，所以a 的取值范围是1,9⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
．
考点：利用导数判断函数的单调性．
16．【解析】【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i∴|z|故答案为【点睛】对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其 10
【解析】 【分析】
利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【详解】
解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ，
∴|z
|==
．
【点睛】
对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b
(,)a b 、共轭复数为a bi -．
17．【解析】【分析】根据所给的指数式化为对数式根据对数的换地公式写出倒数的值再根据对数式的性质得到结果【详解】则故答案为【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质属于基 解析：2
【解析】
【分析】
根据所给的指数式，化为对数式，根据对数的换地公式写出倒数的值，再根据对数式的性质，得到结果．
【详解】
45100a b ==Q ，
4log 100a ∴=，5log 100b =，
10010010012log 42log 5log 1001a b
∴+=+==， 则1222a b ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭ 故答案为2
【点睛】
本题是一道有关代数式求值的问题，解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质，属于基础题．
18．【解析】【分析】【详解】因为为锐角三角形所以所以所以所以所以
解析：
【解析】
【分析】
【详解】
因为ABC ∆为锐角三角形，所以02202B A A B πππ⎧<=<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，所以046
3A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，
所以(,)64A ππ∈，所以sin 2cos sin b B A a A
==
，所以b a ∈. 19．【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立根据分离变量的方式得到在上恒成立利用二次函数的性质求得的最大值进而得到结果【详解】函数在上单调递增在上恒成立在上恒成立令根据二次函数的 解析：18
【解析】
【分析】
由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立，根据分离变量的方式得到22a x x ≥-在()0,∞+上恒成立，利用二次函数的性质求得22x x -的最大值，进而得到结果.
【详解】
Q 函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增
()210a f x x x '∴=-+
≥在()0,∞+上恒成立 22a x x ∴≥-在()0,∞+上恒成立 令()22g x x x =-，0x > 根据二次函数的性质可知：当14
x =时， ()max 18g x = 18a ∴≥，故实数a 的最小值是18
本题正确结果：
18 【点睛】
本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，关键是能将问题转化为导函数的符号的问题，通过分离变量的方式将问题转变为参数与函数最值之间的关系问题.
20．【解析】试题分析：由题意得因此所求概率为考点：几何概型概率 解析：13
【解析】 试题分析：由题意得
1220cos
,[1,1]112232222333
x
x x x x x πππππππ≤≤∈-⇒≤≤-≤≤-⇒≤≤-≤≤-或或，因此所求概率为22(1)13.1(1)3-=--
考点：几何概型概率 三、解答题
21．（1
（2）0,1.m n =⎧⎨=⎩
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出()()121212i z i z i +=-++=-，即可得到模长；
（2）根据21
2z z =，化简得()2212m i n ni -=--，列方程组即可求解. 【详解】
（1）当1m =，1n =-时112z i =-，21z i =+，
所以()()121212i z i z i +=-++=-，所以
12z z +==. （2）若212z z =，则()
221m i ni -=-， 所以()2212m i n ni -=--，所以2122m n n
⎧=-⎨-=-⎩解得0,1.m n =⎧⎨=⎩ 【点睛】 此题考查复数模长的计算和乘法运算，根据两个复数相等，求参数的取值范围. 22．（Ⅰ）59[,
]22；（Ⅱ）1(,2[,)2
-∞-⋃+∞）． 【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）先用零点分段法将()f x 表示分段函数的形式，然后再求定义域；（Ⅱ）利用函数图象求解． 试题解析：（Ⅰ）72,3
()34{1,3427,4
x x f x x x x x x -<=-+-=->剟，它与直线2y =交点的横坐标
为52和92
， ∴不等式()g x 59[,
]22
． （Ⅱ）函数1y ax =-的图象是过点(0,1)-的直线， 结合图象可知，a 取值范围为1
(,2)[,)2
-∞-⋃+∞．
考点：1、分段函数；2、函数的定义域；3、函数的图象．
23．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
35． 【解析】
【分析】
（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人，由此能求出400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数．
（Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数：男6人，女3人，共9人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人，由此能求出其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．
【详解】
（Ⅰ）由题意，所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人， 所以400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数约为2640026040
⨯=人； （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数中，根据频率分布直方图可知，男生人数所占的频率为0.1520.3⨯=，所以男生的人数为为200.36⨯=人，根据柱状图可得，女生人数为3人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人．再从这6位微信好友
中随机抽取2人进行采访，基本事件总数2615n C ==种，
至少1个女性的对立事件是选取中的两人都是男性， ∴其中至少有一位女性微信好友被采访的概率：2426315
C P C =-=． 【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的求解，以及分层抽样等知识的综合应用，其中解答中认真审题，正确理解题意，合理运算求解是解答此类问题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
24．(1) 通项公式为2n a = 或42n a n =-;(2) 当2n a = 时，不存在满足题意的正整数
n ；当42n a n =- 时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.
【解析】
【详解】
（1）依题意，2,2,24d d ++成等比数列，
故有()()22224d d +=+，
∴240d d -=，解得4d =或0d =.
∴()21442n a n n =+-⋅=-或2n a =.
（2）当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ；
当42n a n =-，∴()224222n n n S n ⎡⎤+-⎣⎦
==.
令2260800n n >+，即2304000n n -->，
解得40n >或10n <-（舍去），
∴最小正整数41n =.
25．（1）340x y -+=；（2）
5
【解析】
【分析】 （1）求得()04A ，
，()22B --，，问题得解． （2）利用直线AB 和曲线C 相切的关系可得：圆心到直线A B 的距离等于圆的半径r ，列方程即可得解．
【详解】
（1）分别将()π42A ，，()
5π4B ，转化为直角坐标为()04A ，，()22B --，， 所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=．
（2）曲线C 的方程为r ρ=（0r >），其直角坐标方程为222x y r +=．
又直线A B 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切，
所以圆心到直线A B 的距离等于圆的半径r .
又圆心到直线A B
=r ． 【点睛】
本题主要考查了极坐标与直角坐标互化，还考查了直线与圆相切的几何关系，考查计算能力及点到直线距离公式，属于中档题．
26．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1) 已知0,0a b >>直接对11a b
+使用均值不等式； (2)不等式分母为-a b ，通过降次构造-a b ，再使用均值不等式．
【详解】
证明：
(1)2 “”11a b a b ≤===+时取； (2)()()()
2222244 4a b ab a b a b a b a b a b a b a b -+-++===-+≥=----
，当
且仅当11a b ==
-+
或11a b ==--
【点睛】
“一正二定三相等”，不能直接使用均值不等式的化简变形再用均值不等式．。