山东省菏泽第一中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案

高二数学下学期期末考试试题(文科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.i 是虚数单位，
i
i
-1= A.i 2
12
1+ B.i 2
12
1+- C 。

i 2
12
1- D 。

i 2
121--
2。

设集合A=｛—1，0，1｝，B={x|x 〉0},则A B=
A 。

｛-1,0｝ B.｛-1} C 。

{0,1｝ D 。

{1｝ ≥理是这样的:对于可导函数f （x ）,若0)(0
='x f ,则x=0
x 是函数f(x)的极
值点,因为f （x ）=3
x 在x=0处的导数值为0，所以x=0是f （x ）=3
x 的
极值点，以上推理中( ）
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误 D 。

结论正确
4。

用反证法证明命题：“已知a 、b 是自然数，若a+b ≥3，则a 、b 中至少有一个不小于2”提出的假设应该是( ）
A.a 、b 至少有二个不小于2 B 。

a 、b 至少有一个不小于
2
C.a 、b 都小于2
D. a 、b 至少有一个小于2
5．
已知x 、y 的值如图所示，如果y 与x 呈现线性相关且回归直线方
程为y=bx+2
7，则b=
A 。

21-
B 。

21 C.101
- D. 10
1
6. 函数f （x ）的导函数()x f ',满足关系式()x x f x x
x f ln 3)(2
-'+=,则)2(f '的值为
A.47 B 。

-47 C.49 D 。

-4
9
7。

执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值为
A 。

7
B 。

6 C.5 D.4
8.
某班主任对全班50名学生进行了作业量调查，数据如下表；
根据表中数据得到
k=
059.526
242327981518502
≈⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯）
（,因为P(024.52
≥k
)=0，025
则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为
A.97.5％
B.95％ C 。

90％ D.无充分根据
9.
甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了
满分，回答如下：甲说:是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话。

事实证明：在这三名同学中,只有一人说的是假话,那么满分的同学是
A 。

甲
B 。

乙
C 。

丙 D.不确定 10.已知f （x ）是偶函数,且f （x ）在［0，+∞)上是增函数,如果
)2()1(-≤-x f ax f 在
x ∈［2
1,1]上恒成立,则实数a 的取值范围是
A.[—2,0］ B 。

［-5，0］ C.[0，2] D.［0，5］
第II 卷（非选择题 共100分）
注意事项：第II 卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置。

二．填空题（本大题共4个小题,每小题5分，共20分。

） 11.设x
x x f ln )(=，若1)(0
='x f ，则0
x = 。

12.已知
3
2
2322=+
，
833833=+
,15
4
4
1544=+，…,依此规律，若a b a b 88=+，
则a 、b 的值分别是 。

13。

设函数()6ln -+=x x x f 的零点为0
x ,则不等式0
x x ≤的最大整数解
释 。

14。

①归纳推理是由一般到一般的推理；②归纳推理是由部分到整体的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到特殊的推理；
⑤类比图例是由特殊到一般的推理； 正确的是 . 15。

已知函数())1(1
2≠--=
a a ax
x f 若f(x ）在（0，1］上是减函数，则实数
a 的取值范围是 。

三．解答题:本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16。

（本小题满分12分） 计算下列各式的值;
（I ）
3
1022
3
2712.0412-
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛π；
（Ⅱ)16log 3log 3log 6log
)279(log 3422
2
3
⨯+-+⨯
17。

(本小题满分12分) 已知函数f （x ）=x a ax x
ln )1(2
12
-+-。

（I) 当a=2,求函数f(x ）的图象在点(1,f （1）)处的切线方程； （Ⅱ）当a 〉2时，求函数f(x ）的单调区间。

18。

（本小题满分12分）
（I ）求证：
6275<+；
(Ⅱ）已知a 〉0，b>0且a+b>2，求证:a
b b a ++1,1中至少有一个小于2.
19。

（本小题满分12分） 已知函数4)1()(2
++-=x m x x f 。

（I ） 当x ∈(0,1］时，若m 〉0,求函数F(x)=f （x)—（m-1）x 的最小
值;
(Ⅱ）若函数G(x ）=()x
f 2的图象与直线y=1恰有两个不同的交点A （1,1
x ）
B （1,2
x ）（3021
<<<x x
）,求m 的取值范围。

20。

（本小题满分13分） 已知函数()b ax x x
x f ++-=23
23
4的图象在点P （0,f （0））处的切线方程为
y=2x+1。

（I ）求实数a 、b 的值； (Ⅱ)设()()1
2-+
=x m
x f x g 是［1，+∞)上的增函数， （i ）求实数m 的最大值;
（ii)当m 取最大值时,是否存在点Q ，使得过点Q 的直线能与曲线y=g （x ）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由。

21．（本小题满分14分） 已知函数
()⎪⎩⎪⎨⎧><++=0
,0,22
x e x a x x x f x 其中
a 是实数，设A （)(,1
1
x f x )B()(,2
2
x f x )为该
函数图象上的两点，且21
x x
<。

（I ） 指出函数f （x ）的单调区间；
（Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且02
<x ，
求21x x -的最小值；
(Ⅲ）若函数f （x ）的图象在点A,B 处的切线重合，求a 的取值范围。

文科试题答案
一。

选择题
1—5 BDACB 6—10 BDABC
二．
填空题
11．1 12．63 8 13. 4 14.②③④ 15 (,0)(1,2]-∞
三 解答题
16．解：（1）原式=32
21
2
-3
3311(3)25--
⎡⎤⎛⎫
⎛⎫+-+⎢⎥ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦ =3
325132⎛⎫
+-+ ⎪⎝⎭
=3308=2438 —--6
分
（2)原式=()()2232322243log 33log 3+log 2log 3log 3log 4⎡⎤⨯+-+⨯⎢⎥⎣⎦
=()()263
243log
33log 2log 32log 4⎡⎤⨯++⨯⎣⎦=8
3log 312++
=()3
8log 312++ =812++=11 -———-—-——-—-—------—-—-—--—--—
——----—--—-12分
17．解：（1）当2a =时，()2
12ln 2
f x x
x x =-+，
()()()113
'2,12,'1022
f x x f f x ∴=-+∴=-=-=，
-—-———-———-———-—
—3分
∴函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为3
2
y =-
.—-———--—-—--——--—5分
(2)由题知，函数()f x 的定义域为()0,+∞，——-----———————-—-6分
()()()()2
1111'x ax a x x a a f x x a x x x
-+--+--=-+==， 令()'0f x =，解得1
21,1x
x a ==-,——-----——--—-—---8分
由于2a >时，所以11a ->，在区间()0,1和()1,a -+∞上()'0f x >；在区间
()1,1a -上()'0f x <,故函数()f x 的单调递增区间是()0,1和()1,a -+∞，单调递减区间是()1,1a -。

-—-—--—-—————-———12分
18试题解析：（Ⅰ）证明：因为
75+和62都是正数，所以为了证明
6275<+,
只要证
22)62()75(<+
，
只需证：2435212<+，
即证： 635< ，
即证:
3635<
，
因为3635<显然成立，所以原不等式成立．-——-——-————-——--—-——————---——--—---6分
（Ⅱ）证明：假设11,
b
a a
b
++都不小于2，则112,
2b
a
a
b
++≥≥
0,0,12,12,
a b b a a b >>∴+≥+≥ 112()
a b a b ∴+++≥+， 即
2
a b +≤
这与已知2>+b a 矛盾，故假设不成立，从而原结论成立。

—-——---————-—--——----—12分 19．．解：（Ⅰ）()2
()()124F x f x m x x mx =--=-+，(0,1]x ∈
对称轴x m =()0m >, ---—-——-———--—-----—--—————--—---—--
————-—--——1分 ①当01m <≤时,2min
()()4F x F m m ==-————--——-—---—--—-—--—--—-
—3分
②当1m >时,min
()(1)52F x F m ==------—————--——---—--———-——-
—-—-5分
∴min
2
52(1)()
4(01)m m F x m m ->⎧=⎨-<≤⎩——----——--—--—--——--—-—-—————-—-——----—-—-—6分
(Ⅱ)
2
()(1)4
()22f x x m x G x -++==与直线
12y ==恰有两个不同的交点
12(,1),(,1)A x B x )30(21<<<x x ⇔关于x 的方程2(1)40x m x -++=在)3,0(上有两个不等
的实数根—--—--—-—-—---—-—--———--———-—--—————-————-———-—-—-—---———--——-———————-—--——-——--—-—-----—8分
2()(1)4f x x m x =-++
则⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧>++-=>=<+<>-+=∆04)1(39)3(04)0(3
21
0016)1(2m f f m m , 解得3103<<m , ∴)3
10
,3(∈m ．—--—--—---—-—-—---———--——--————--—--—--—----—-———---—12分 20．解：(Ⅰ）由a x x x f +-=44)(2
'
及题设得⎩⎨⎧==1
)0(2
)0('f f 即⎩⎨
⎧==12b a 。

-———---———---3分
（Ⅱ）（ⅰ）由1
21223
4)(23
-+
++-=x m
x x x
x g 得2
2
'
)12(2244)(--
+-=x m x x
x g 。

()g x 是),1[+∞上的增函数, '()g x ∴0≥在),1[+∞上恒成立——-—----—--——5
分 即0)12(21)12(2
2
≥--
+-x m
x 在),1[+∞上恒成立.
设t x =-2
)
12(,则),1[+∞∈t
即不等式021≥-+t
m t 在),1[+∞∈t 上恒成立
所以t t m +≤2
2在[1,)+∞上恒成立。

令t t
y +=2
，[1,)t ∈+∞，可得2min =y ,故m 的最大值为1.—————--—--—-
—--—-8分
（ⅱ）方法一:由(ⅰ）得1
21
1223
4)(23
-+
++-=x x x x
x g ，其图像关于点)35,21(Q 成
中心对称。

证明如下：
1
21
12234)(23-+++-=
x x x x x g ∴1
)1(21
1)1(2)1(2)1(34)1(23--+
+-+---=-x x x x x g
1
21
37223423--+-+-=x x x x
因此，3
10)1()(=-+x g x g .—-—-—---—--—————--——--——------—--————----——--——11分
上式表明，若点(,)A x y 为函数()g x 在图像上的任意一点，则点)
3
10,1(y x B --也一定在函数()g x 的图像上。

而线段AB 中点恒为点)3
5,21(Q ，由此即知
函数()g x 的图像关于点Q 成中心对称。

这也就表明，存在点)3
5,21(Q ,使得过点Q 的直线若能与函数()g x 的图
像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。

—--—-——--—-—-————13分 方法二：由（ⅰ）得1
21
1223
4)(23
-+
++-=x x x x
x g ， 将函数()g x 的图像向左平移21个长度单位，再向下平移3
5
个长度单位，所得图像相应的函数解析式为x
x x x h 21
3
4
)(3
+
+=,(,0)(0,)x ∈-∞+∞。

由于)()(x h x h -=-，所以)(x h 为奇函数，故)(x h 的图像关于坐标原点成中心对称.
由此即得,函数()g x 的图像关于点)3
5,21(Q 成中心对称。

-————-—-—
----———-—-11分
这也表明，存在点)3
5,21(Q ，是得过点Q 的直线若能与函数()g x 的图像围
成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等.-——-——--———---—-13分
21．解：（I ）函数)(x f 的单调减区间)1,(--∞，函数)(x f 的单调增区间
),0(),0,1[+∞-；—-—————---——-—-——4
分
（II)由导数的几何意义知，点A 处的切线的斜率为)(1'
x f ，点B 处的切
线的斜率为)(2'
x f
，函数)(x f 的图象在点B A ,处的切线互相垂直时，有
)(1'x f 1)(2'-=x f ,
当0<x 时,1)22)(22(2
1
-=++x
x ，∵021<<x x ，∴0221<+x ，0222>+x ---6分
∴)]22()22([2
1
211
2+++-=-x x x x
1)22)(22(21=++-≥x x ∴所以12
x x -最小值为1
；———-—-——-———-—-——9分
(III ）当021
<<x x
或210x x <<时，)()(2'1'x f x f ≠，故210x x <<
当01
<x 时，函数)(x f 在点))(,(11x f x A 处的切线方程为
))(22()2(11121x x x a x x y -+=++--—-———----10
分
当02
>x
时，函数)(x f 在点))(,(22x f x B 处的切线方程为
)(222x x e e y x x -=-;—-—-——--——11分
两直线重合的充要条件是⎩⎨⎧-=-+=2
1
212222
2x a e x e x e x x x ，由此知2ln 02<<x 所以14
)12(222222
2
2222
22
1
+-=-+-=-+=x x x x x x x e x e e x e e e x e x a
学必求其心得，业必贵于专精 令14
)(2+-=x x xe e x h )2ln 0(<<x 则
)22(2)('--=x e e x h x x 令 )22()(--=x e x x ϕ，则 02)('<-=x e x ϕ，又0)0(<ϕ，所以0)(<x ϕ 所以)(x h 单调递减，2ln 22)2(ln ,4
5)0(-==h h ，所以452ln 22<<-a .—-—----—————--—-—14分。