江西省临川区第一中学高三数学上学期第一次月考试题

临川一中高三数学（文科）月考试卷
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，在答题卷相应题目的答题区域内作答． 1．设{|1},{|ln(1)}A x y x B y y x ==-==+，则A B =I （ ） A ．{|1}x x >- B ．{|1}x x ≤ C ．{|11}x x -<≤ D ．∅
2．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域（ ） A ．[]-37，
B ．[]-14，
C ．[]-55，
D ． []05
2
， 3．命题“存在04,2
<-+∈a ax x R x 使，为假命题”是命题“016≤≤-a ”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．若幂函数a mx x f =)(的图像经过点)2
1
,41(A ，则它在点A 处的切线方程是（ ）
A ．02=-y x
B ．02=+y x
C ．0144=+-y x
D ．0144=++y x 5．将函数sin(4)6
y x π
=-
图象上各点的横坐标伸长到原的2倍，再向左平移
4
π
个单位， 纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ） A 12
x π
=
B. 6
x π
=
C 3
x π
=
D 12x π
=-
6．函数x
x
y 24cos =
的图象大致是（ ）
7．已知定义在R 上的偶函数，()f x 在0x ≥时，()ln(1)x
f x e x =++，若()()1f a f a <-，则a 的取值范围是（ ）
A ．(),1-∞
B ．1
(,)2-∞ C ．1(,1)2
D ．()1,+∞ 8．下列四个命题：
○
1x∈(0, ＋∞), (
12)x ＜(13)x
； ○2x∈(0, 1), lo g 12x ＞log 13
x ； O
y
x O
y
x O
y
x
O y
x
A B C
D
○
3
x∈(0, ＋∞), (
12)x
＞log 12x ； ○
4x∈(0, 1
3), (12)x ＜log 13
x. 其中真命题是（ ）
A ．○1○3
B ．○2○3
C ．○2○4
D ．○3○4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷相应题目的答题区域内作答．
13.若函数()x
x k k x f 2
12⋅+-=在其定义域上为奇函数，则实数=k ． 14．定义在R 上的奇函数()f x 满足3()(),(2014)2,2
f x f x f -=+=则(1)f -= ．
15. 已知命题2:
121
x
p x ->-，命题2:210(0)q x x m m ++-≤>，若非p 是非q 的必要不充分条件，那么实数m 的取值范围是 .
16．对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2
x x f x f x x π⎧∈⎪
=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：
①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*
()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；
③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点；
④对任意0x >，不等式2
()f x x
≤
恒成立． 则其中所有真命题的序号是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．在答题卷相应题目的答题区域内作答．
17．（本小题满分10分）已知集合}2733|{≤≤=x
x A ，}1log |{B 2>=x x ．
（1）分别求B A I ，()R C B A U ；
（2）已知集合{}
a x x C <<=1，若A C ⊆，求实数a 的取值集合．
18．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点11()A x y ，在单位圆O 上，xOA α∠=，且 62ππα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，． （1）若11
cos()3
13
π
α+
=-
，求1x 的值； （2）若22()B x y ，也是单位圆O 上的点，且3
AOB π
∠=
．过点A B 、分别做x 轴的垂线，垂
足为C D 、，记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S ．设()12f S S α=+，求函数()
f α的最大值．
19．（本小题满分12分）已知函数()x a
f x x b
+=+（a 、b 为常数）． （1）若1=b ，解不等式(1)0f x -<； （2）若1a =，当[]1,2x ∈-时，2
1
()()
f x x b ->+恒成立，求b 的取值范围．
20．（本小题满分12分）如图甲，⊙O 的直径2AB =，圆上两点,C D 在直径AB 的两
AB 折起，使两个半圆所在
的平面互相垂
的中点．P 为AC 上的动点，根据图乙
（1）求点D 到平面ABC 的距离；
（2）在BD 弧上是否存在一点G ，使得FG ∥平面ACD ？若存在，试确定点G 的位置；若不存在，请说明理由． 21．（本题满分12分）如图，O 为坐标原点，点F 为抛物线C 1：)0(22>=p py x 的焦点，且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2：122=+y x 相切于点Q ．
（Ⅰ）当直线PQ 的方程为02=--y x 时，求抛物线C 1的方程； （Ⅱ）当正数p 变化时，记S 1 ，S 2分别为△FPQ，△FOQ 的面积，求2
1
S S 的最小值． 22．（本小题满分12分）设()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，函数()g x 与()f x 的图象关于y 轴对称，且当(0,1]x ∈时，2()ln g x x ax =-． （1）求函数()f x 的解析式；
（2）若对于区间(]0,1上任意的x ，都有|()|1f x ≥成立，求实数a 的取值范围．
x
y
O
F P
Q
高三数学（文科）月考试卷参考答案
一、 选择题（每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B
D
A
C
A
A
B
C
B
D
A
B
二、
填空题（每小题5分，共20分）
13. 1± 14．2- 15. 4m ≥ 16．○1○3○4 三、解答题（共70分）
17. （1）3327x ≤≤Q 即13333x ≤≤，13x ∴≤≤，∴{
}3
1≤≤=x x A ，
2log 1x >Q ，即22log log 2x >，2x ∴>∴{}2B x x =>，{}|23A B x x ∴⋂=<≤；
{}2R C B x x =≤，{}|3R C B A x x ∴⋃=≤
（2）由（1）知{
}3
1≤≤=x x A ，当A C ⊆
当C 为空集时，1a ≤
当C 为非空集合时，可得 31≤<a 综上所述3a ≤
18. （1）由三角函数的定义有1cos x α=，∵11cos()()3
1362
π
ππ
αα+=-
∈，，，
∴sin()3
π
α+
=
∴ 1cos cos ()33x ππαα⎡
⎤==+-⎢⎥⎣
⎦
cos()cos
sin()sin 3333ππ
ππαα=+
++
1111
13226
=-⋅+=
． （2）由1sin y α=，得111111
cos sin sin 2224S x y ααα===．
由定义得2cos()3x πα=+，2sin()3y πα=+，又5()()62326
πππππ
αα∈+∈由，，得，，于是，
22211cos()sin()2233
S x y ππ
αα=-=-++12sin(2)43πα=-+
∴ 12112()sin 2sin(2)443f S S πααα=+=-+
=1122sin 2(sin 2cos cos 2sin )4433
ππ
ααα-+
=3sin 228αα-
12cos 2)2αα-
)6
πα-，
5()2()62666πππππαα∈-∈由，，可得，，262
ππ
α-=于是当
，即max ()3f παα==
时， 19. （1）∵()x a f x x b +=+，1=b ，∴()1x a
f x x +=+，∴()()11(1)11
x a x a f x x x -+-+-==
-+，
∵(1)0f x -<，∴
10x a
x
-+<，等价于()10x x a --<⎡⎤⎣⎦， ①10a ->，即1a <时，不等式的解集为：(0,1)a -， ②当10a -=，即1a =时，不等式的解集为：∅， ③当01<-a ，即1>a 时，不等式的解集为：(1,0)a -，
（2）∵1a =，2
1
()()
f x x b ->
+， ∴211()(1)1()x x b x x b x b +->⇔++>-++ （※） 显然x b ≠-，易知当1x =-时，不等式（※）显然成立； 由[]1,2x ∈-时不等式恒成立，当12x -<≤时，11
1(1)11
b x x x x >-
-=-++++， ∵10x +>，∴
()()11
121211
x x x x ++≥⋅+=++， 故1b >-． 综上所述，1b >-．
20. （1）ADO ∆中，AO DO =，且3
OAD π
∠=，∴AO DO AD ==．
又E
是
AO 的中点，∴DE AO ⊥．又∵ABC AOD ⊥面面，且
=ABC AOD AO I 面面DE AOD ⊂面，
∴DE ABC ⊥面．∴DE 即为点D 到ABC 面的距离．
又33132DE AO AB =
⋅=⨯=．∴点D 到ABC 面的距离为3．
（2）BD 弧上存在一点G ，满足DG GB =，使得FG ∥ACD 面． 8 理由如下：
连结,,OF FG OG ，则ABC ∆中，,F O 为,BC AB 的中点．∴FO ∥AC ． 又∵FO ACD ⊄面，AC ACD ⊂面，∴FO ∥ACD 面 ∵3
BAD π
∠=
，且G 为BD 弧的中点，∴3
BOG π
∠=
．∴AD ∥OG ．
又OG ACD ⊄面，AD ACD ⊂面,∴OG ∥ACD 面．
且FO OG O =I ，,FO OG FOG ⊂面．∴FOG 面∥ACD 面． 又FG FOG ⊂面∴FG ∥ACD 面．
21. （Ⅰ）设点)2,(200p x x P ，由)0(22
>=p py x 得，p x y 22=，求导p
x y ='， ……2分
因为直线PQ 的斜率为1，所以10
=p
x 且0222
00=--p x x ，解得22=p ， 所以抛物线C 1 的方程为y x 242=．
（Ⅱ）因为点P 处的切线方程为：)(2002
0x x p
x p x y -=-，即0222
00=--x py x x ， 根据切线又与圆相切，得r d =，即
1442
2020=+-p x x ，化简得22
040
44p x x +=， 由04420
4
2
>-
=
x x p ，得20>x ，由方程组200222201
x x py x x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，解得)24,
2(20
0p x x Q -，
所以2
0000
||2
=(2)2P Q x PQ x x x p
=-=-
=-，
点)2
,0(p
F 到切线PQ
的距离是204x d =
==，
所以3
2010||1(2)216x S PQ d x p =⋅=-，0
2221x p
x OF S Q ==，
所以424200001242
200(2)(2)82(4)x x x x S S p x x --==-322344
24)4(2)2(202
0202020+≥+-+-=--=x x x x x ， 当且仅当4
424202
0-=-x x 时取“＝”号，即2242
+=x ，此时，222+=p ， 所以
2
1
S S 的最小值为223+． 22. （1） ∵ ()g x 的图象与()f x 的图象关于y 轴对称，
∴ ()f x 的图象上任意一点(,)P x y 关于y 轴对称的对称点(,)Q x y -在()g x 的图象上． 当[1,0)x ∈-时，(0,1]x -∈，则2()()ln()f x g x x ax =-=-- ∵()f x 为[1,1]-上的奇函数，则(0)0f =．
当(0,1]x ∈时，[1,0)x -∈-，2()()ln f x f x x ax =--=-+
∴22
ln()(10),()0(0),ln (01).x ax x f x x x ax x ⎧---<⎪
==⎨⎪-+<⎩≤≤
（1）由已知，1
()2f x ax x
'=-+．
①若()0f x '≤在(]0,1恒成立，则211
202ax a x x -+⇒≤≤．
此时，1
2
a ≤，()f x 在(0,1]上单调递减，min ()(1)f x f a ==，
∴ ()f x 的值域为[,)a +∞与|()|1f x ≥矛盾．
②当1
2
a >
时，令1()20(0,1]f x ax x x =-+=⇒=，
∴
当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，
当x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴
2min 11()ln(2)22
f x f a a ==-+=+． 由|()|1f x ≥，得11e
ln(2)1222a a +⇒≥≥．
综上所述，实数a 的取值范围为e
2
a ≥。