高中数学人教A选修2-1 2-4-2 抛物线的简单几何性质 课件(17张)

2
( p 0)
(2 2) 2 p 2 p 2
因此所求抛物线标准方程为： y 2 4 x
变式：求顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴， 并且经过点(2, 2 2 )的抛物线的标准方程。
例 2： 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 4 x 的焦 点 F ,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
焦点
准线
x
y
o
x
y
o
x
﹒
o
y
x
一、探索新知 如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1、
有
范围
y
由抛物线y2 =2px（p>0）
2 px y 0 p0
2
o
F(
p ,0 ) 2
x
所以抛物线的范围为 x 0, y R
x0
2、
对称性
y
( x, y)
关于x轴
对称
( x, y )
高二数学选修2-1
抛物线的简单几何性质
问题1：椭圆、双曲线都有哪些性质？
椭圆：范围、对称性、顶点、离心率。 双曲线：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。
问题2：如何研究得到这些性质？
通过方程得到;通过图形得到。
问题3 抛物线的标准方程和图形各是什么？
P的几何意义是什么？
﹒ ﹒ ﹒
y
图 形
o
标准方程
AB = (x1 - x2 )2 +(y1 - y 2 )2 = 8
法二:活用定义,运用韦达定理,计算弦长. 解法2 F(1 , 0), l的方程为：y x 1
y x 1 2 x 6x 1 0 2 y 4x
⇒x1 + x2 = 6, x1x2 = 1
|AB |= |AF|+ |BF |
p ,0 ) 2
x
即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点（0，0）.
4、
离心率
y
P(x,y)
抛物线上的点到 焦点的距离和它到准 线的距离之比，叫做 抛物线的离心率。
由定义知， 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为
o
p F ( ,0 ) 2
x
e=1.
图形
Байду номын сангаас标准方程
2
范围
对称性
关于x 轴 对称
e=1
x 2 py y 0, ( p 0) x R
2
e=1
二、典例精析
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标 原点，并且经过点M（２， 2 2），求它的标准方程.
解:
因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经 过点M（２， ）， 2 2
所以设方程为： y 2 2 px 又因为点M在抛物线上：
关于x 轴 对称
顶点
离心率 e=1
y 2 px x 0, ( p 0) y R
y 2 px x 0, ( p 0) y R
2
(0,0)
(0,0) (0,0) (0,0)
e=1
x 2 py y 0, ( p 0) x R
2
关于y 轴 对称 关于y 轴 对称
= |AA1 |+ |BB1 |
y
6
A1
5
4
A
3
2
1
=(x1+1)+(x2+1)
=x1+x2+2=8
B1
-1 -2
F
O
1 2 3 4 5 6 7 8
x
B
学习小结
1、抛物线的几何性质 2、求过一点的抛物线的方程 3、求抛物线的弦长
课堂检测 斜率为-2的直线 经过抛物线 y2＝ 8x的焦点，且与抛物线相交于A、 B两点，求 线段AB的长 ．
o
p F ( ,0 ) 2
若点(x,y)在抛物线上, 即满足
y2 = 2px 则 (-y)2 = 2px 即点(x,-y) 也在抛物线上,
x
故抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴
对称.
3、
顶点
y

定义：抛物线与 它的对称轴的交点叫 做抛物线的顶点。
o
F(
y2 = 2px (p>0)中， 令y=0,则x=0.
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
解法1
F(1 , 0),
l的方程为：y x 1
y x 1 2 x 6x 1 0 2 y 4x
x1 3 2 2 x2 3 2 2 或 y1 2 2 2 y2 2 2 2