湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试(一模)数学(文)试题含答案解析

长郡中学2019届第一次适应性考试
数学（文科）试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。

【详解】因为复数是纯虚数，
所以，解得：，
所以复数可化为，
所以复数在复面上对应的点的坐标为.
故选：D
【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。

2.已知集合若，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。

【详解】由得：或.
所以集合.
由得：.
又，所以（舍去）或.
故选：B
【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。

3.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如11，323，4334等.在所有小于150的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
列出所有小于150的三位回文数，从中选取两个得到基本事件总数，再从中找出两个回文数的三位数字之和均大于3的个数即可求解。

【详解】列出所有小于150的三位回文数如下：101,111,121,131,141.
从中任取两个数共有10种情况如下：（101,111），（101, 121），（101, 131），（101, 141），（111, 121），（111, 131），（111, 141），（121,131），（121,141），（131,141）.
两个回文数的三位数字之和均大于3的有：（121,131），（121,141），（131,141）共3种情况.
两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为：.
故选：C
【点睛】本题主要考查了古典概型概率计算，还考查了新概念知识，属于基础题。

4.已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，若右支上有点满是
，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设，，在及中利用余弦定理，分别表示出.再利用双曲线定义列方程即可求解。

【详解】设，，由题可得：,
在中，由余弦定理可得：，整理得：.
在中，由余弦定理可得：，整理得：.
由双曲线定义得：，即：.整理得：.
故选:A
【点睛】本题主要考查了余弦定理及双曲线定义，属于基础题。

5.长郡中学某次高三文数周测，张老师宣布这次考试的前五名是：邓清、武琳、三喜、建业、梅红，然后让五人分别猜彼此名次
邓清：三喜第二，建业第三；
武琳：梅红第二，邓清第四；
三喜：邓清第一，武琳第五；
建业：梅红第三，武琳第四；
梅红：建业第二，三喜第五
张老师说：每人的两句话都是一真一假
已知张老帅的话是真的，则五个人从一到五的排名次序为（）
A. 邓清、武琳、三喜、建业、梅红
B. 邓清、梅红、建业、武琳、三喜
C. 三喜、邓清、武琳、梅红、建业
D. 梅红、邓清、建业、武琳、三喜
【答案】B
【解析】
【分析】
对邓清说的话一真一假分类逐一分析即可得到答案.
【详解】假设邓清说话中：三喜第二为真，建业第三为假.
则：梅红说话中：建业第二为真，三喜第五为假.
这与邓清说话中：三喜第二为真，建业第三为假矛盾.
所以邓清说话中：三喜第二为假，建业第三为真.
则：梅红说话中：建业第二为假，三喜第五为真.
则：三喜说话中：邓清第一为真，武琳第五为假
则：武琳说话中：梅红第二为真，邓清第四为假.
则：建业说话中：梅红第三为假，武琳第四为真.
故选：B
【点睛】本题主要考查了逻辑推理及分类讨论思想，属于基础题。

6.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的的值满足（）
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】
【分析】
由程序框图逐一执行即可求解。

【详解】，,
由程序框图逐一执行得：
.
.
不满足.
.
.
不满足.
.
.
不满足.
…
.
.
满足.
故.
故选：B
【点睛】本题主要考查了程序框图知识及裂项求和方法，还考查计算能力.属于基础题。

7.已知在等比数列中，，则的个位数字是（）
A. B. 7 C. 8 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】
由求得，由求得，即可求得，列出，即可发现它们的个位数字是以4为周期重复出现的，问题得解。

【详解】设等比数列的公比为，首项为
由得：.
解得：.即：，
由得：，所以，所以，
所以：，，，，，，，
由此可得的个位数是以4为周期重复出现的.
所以的个位数字是的个位数字，即的个位数字是：9.
故选：D
【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式，还考查了周期性，属于基础题。

8.函数某相邻两支图象与坐标轴分别变于点，则方程
所有解的和为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点可求得，从而得到，
求出函数及的对称点，从而发现它们都关于点对称，在同一坐标系中，作出
与的图像，结合图像即可求解。

【详解】由函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点，可得：
.解得：.
所以
将代入上式得：=0，解得：=，
又，所以.
所以.
令=，则
所以的图像关于点对称。

令，且=，
解得：.
所以的图像关于点对称.
所以函数与的图像关于点对称.
在同一坐标系中，作出与的图像，如图：
由图可得：函数与的图像在上有两个交点，这两个交点关于点对称.
所以方程有且只有两个零点，且.
所以方程所有解的和为：.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了三角函数图像以及三角函数性质，考查了转化思想及方程思想，考查计算能力，属于中档题。

9.已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面上取三点，其中为侧面的对角线上一点(与对角线端点不重合)，为侧面的一条对角线的两个端点.若以线段为直径的圆过点，则的最小值为（）
A. 4
B.
C. 2
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据长方体的三视图知该长方体的底面是正方形，高为m，画出图形结合图形求出AB的最小值为4，利用直角三角形求出m的最小值．
【详解】解：根据长方体的三视图知，该长方体的底面是边长为2的正方形，且高为m，如图所示；
由题意知，AB为圆O的直径，则AB的最小值为2OP＝4，
此时△ABC为直角三角形，m的最小值为2．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了空间思维及转化能力，考查三视图知识，属于基础题。

10.已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点作直线交抛物线于两点，若
且，则的值为（）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
假设存在，设直线AB的方程为：，代入抛物线方程，可得根与系数的关系，由可求
得，，再利用即可求解。

【详解】当不存在时，直线与抛物线不会交于两点。

当存在时，设直线AB的方程为：，，，
则有：，
联立直线与抛物线方程得：，整理得：，
所以，，所以，
，
又，所以，
整理得：，即：.解得：
因为，所以
又，，代入得：.
解得：
故选：B
【点睛】本题主要考查了韦达定理及向量垂直的坐标关系，考查方程思想及抛物线定义，考查计算能力及转化能力，属于中档题。

11.小明站在点观察练车场上匀速行驶的小车的运动情况，小车从点出发的运动轨如图所示.设小明从点
开始随动点变化的视角为，练车时间为，则函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
过点O作曲线的切线，切点为B,E，再过点O作一直线CD与曲线部分重合，如图，
从图像分析即可得到选项。

【详解】过点O作曲线的切线，切点为B,E，再过点O作一直线CD与曲线部分重合，如图，
当小明从点行驶到点B时，递增，
当小明从点行驶到点C时，递减，
当小明从点C行驶到点D时，为常数，
当小明从点D行驶到点E时，递减，
当小明从点E行驶到点P时，递增，
故选：D
【点睛】本题主要考查了图像特征，考查了分析能力及转化能力，属于基础题。

12.定义，已知为函数的两个零点，若存在整数n满足
，则的值（）
A. 一定大于
B. 一定小于
C. 一定等于
D. 一定小于
【答案】D
【解析】
【分析】
由为函数的两个零点可得：，.令，得到.
即：，将变形为，从而可得.问题得解。

【详解】由题可得：.
又为函数的两个零点，
所以，.
将函数图像往上平移时，开口大小保持不变，如图
当函数图像往上平移时，变大，
即：当时，越大，
又由二次函数的对称性得：当时，最大
令，则：，就是。

又
=
由已知得，所以一定小于，
所以一定小于.
故选：D
【点睛】本题主要考查了韦达定理及方程与函数关系，考查了计算能力及转化能力，属于中档题。

第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在平行四边形中，点是的中点，记，，用，表示，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量的加减法及数乘运算转化求解。

【详解】
=.
又，.
解得：
【点睛】本题主要考查了向量的加减运算、数乘运算，考查转化能力，属于基础题。

14.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可
用小等式组或来表示，设是阴影中任意一点，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用线性规划知识求最值。

【详解】如图，作出直线：，
当直线往上平移至与阴影部分的圆的边界相切时，最大，
此时圆心到直线的距离等于半径1，即：.
解得：
【点睛】本题主要考查了线性规划知识，考查转化能力及直线与圆相切的几何关系，属于基础题。

15.已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意作出如下图形：
由圆方程求出圆心连线斜率为：，计算出圆心距，
再利用外公切线的斜率为7求出圆心连线与公切线的夹角，从而在直角三角形中列方程求得，
联立方程即可求出，，问题得解。

【详解】根据题意作出如下图形：
AB为两圆的公切线，切点分别为A,B.
当公切线AB与直线平行时，公切线AB斜率不为7，即
不妨设
过作AB的平行线交于点E，则：，且
,
直线的斜率为：，
所以直线AB与直线的夹角正切为：.
在直角三角形中，，所以，
又,整理得：，
解得：，又，解得：，，
所以=.
【点睛】本题主要考查了圆的公切线特点及两直线夹角公式，还考查了解三角形知识及计算能力、方程思想，属于中档题。

16.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则，，必须满足
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由整理得：，从而可判断，利用余弦定理得，整理得：，再利用不等式的性质即可得解。

【详解】因为,
所以,
整理得：,所以,即边最大，
又，所以，整理得：.
所以，
又，，
所以.即：
【点睛】本题主要考查了两角和差的正弦、余弦公式，考查了余弦定理及不等式的性质，考查了转化思想，属于中档题。

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：60分
17.设正项数列的前项和，且是与的等比中项，其中.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，记数列的前项和为，求证：.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由是与的等比中项列方程整理，可得出：数列是首项为1，公差为1的等差数列，问题得解。

（Ⅱ）整理，代入的表示式子即可求解。

【详解】解：（Ⅰ）∵是与的等比中项，
∴，
等时，，∴.
当时，，
整理得.
又，∴，
即数列是首项为1，公差为1的等差数列.
∴.
（Ⅱ），
∴
.
【点睛】本题主要考查了法的应用及等差数列概念，通项公式，还考查了数列裂项求和，属于基础题。

18.随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：
个人所得税税率表（调整前）个人所得税税率表（调整后）
免征额3500元免征额5000元
级数全月应纳税所得额税率（%）级数全月应纳税所得额
税率
（%）1不超过1500元部分31不超过3000元部分3
2超过1500元至4500元的部
分
102
超过3000元至12000元的部
分
10
3超过4500元至9000元的部
分
203
超过12000元至25000元的部
分
20
（1）假如小红某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记表示总收入，表示应纳的税，试
写出调整前后关于的函数表达式；
（2）某税务部门在小红所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：
收入（元）
人数304010875
先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；
（3）小红该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小红算一下调整后小红的实际收入比调整前增
加了多少？
【答案】（1）调整前关于的表达式为，调整后关于的表达式为
（2）
（3）220元
【解析】
【分析】
（1）对收入的范围分类，求出对应的表达式即可。

（2）列出7人中抽取2人共21种情况，找出不在同一收入人群的有12种结果，问题得解。

（3）计算出小红按调整起征点前应纳个税为元，小红按调整起征点后应纳个税为元，问题得解。

【详解】解：（1）调整前关于的表达式为，
调整后关于的表达式为.
（2）由频数分布表可知从及的人群中按分层抽样抽取7人，其中中占3人，分别记为，中占4人，分别记为1，2，3，4，再从这7人中选2人的所有组合有：，，，，，，，，，，，，，，，12，13，14，23，24，34，共21种情况，
其中不在同一收入人群的有：，，，，，，，，，，，，共12种，所以所求
概率为.
（3）由于小红的工资、薪金等税前收入为7500元，
按调整起征点前应纳个税为元；
按调整起征点后应纳个税为元，
由此可知，调整起征点后应纳个税少交220元，
即个人的实际收入增加了220元，
所以小红的实际收入增加了220元.
【点睛】本题主要考查了分段函数模型及古典概型概率计算，以及分段函数模型应用，考查转化能力及计算能力，属于基础题。

19.如图，在多边形中（图1），为长方形，为正三角形，现以为折痕将
折起，使点在平面内的射影恰好在上（图2）.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若点在线段上，且，当点在线段上运动时，求三棱锥的体积.
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）3
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用点在平面内的射影恰好在上，过P作AD的垂线段PO，由此证得，再计算出
，，从而证得，命题得证。

（Ⅱ）求出点到底面的距离，利用计算，问题得解。

【详解】解：（Ⅰ）过点作，垂足为.
由于点在平面内的射影恰好在上，
∴平面.
∴.
∵四边形为矩形，∴.
又，∴平面，
∴.
又由，，可得，同理.
又，∴，∴，且，
∴平面.
（Ⅱ）设点到底面的距离为，
则.
由，可知，
∴.
又，
∴.
【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质、线面垂直的判定，考查了转化思想，体积计算，考查计算能力，属于基础题。

20.已知椭圆的左、右焦点分别为且椭圆上存在一点，满足
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知分别是椭圆的左、右顶点，过的直线交椭圆于两点，记直线的交点为，是否存在一条定直线，使点恒在直线上?
【答案】（1）（2）存在，点在定直线上
【解析】
【分析】
（1）对三角形应用余弦定理即可求得，结合椭圆定义求得，问题得解。

（2）设，，，利用及列方程，整理得：，由整理得：，从而表示出，联立直线与椭圆方程，
由韦达定理得：，代入上式得：，解得：，问题得解.
【详解】（1）设，则内，
由余弦定理得，
化简得，解得，
故，
∴，得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）已知，，设，，，
由，①
，②
两式相除得.
又，
故，
故，③
设的方程为，代入整理，
得，恒成立.
把代入③，
得，
得到，故点在定直线上.
【点睛】本题主要考查了余弦定理及椭圆的定义、简单性质，还考查了两点斜率公式及转化思想，还考查了韦达定理及方程思想，考查计算能力，属于中档题。

21.设函数.
(1)求函数的极值点个数；
(2)若，证明.
【答案】（1）2个（2）详见解析
【解析】
【分析】
(1)由是奇函数，把问题转化成的极值点个数问题，求出，把的正负问题转化成
正负来处理，求出，判断的单调性，结合函数零点判断方法即可判断在区间上存在唯一的使.在上不存在使得，问题得解。

(2)利用（1）中的结论可知：在区间内恒成立.令，可将问题转化成
，问题得证。

【详解】解：（1）因为为奇函数，其图像关于原点对称，所以只需考虑上的极值点个数，
，时，
.
令，，
∴当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴.
取，，
∴在区间上存在唯一的使.
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增.
又为奇函数，
∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴的极值点共2个.
（2）由（1）可知在区间内单调递减，且恒成立.
∴时，，
即得.
又令，
得.
∴
【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的极值，还考查了奇函数的特点及转化思想，函数零点判断，还考查了不等式的应用及等比数列求和，属于难题。

（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.曲线的参数方程为（t为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线关于对称．
(1)求极坐标方程，直角坐标方程；
(2)将向左平移4个单位长度，按照变换得到与两坐标轴交于两点，为上任一点，求
的面积的最大值.
【答案】（1），：；（2）.
【解析】
【分析】
(1)消整理，即可得到的普通方程，利用即可得极坐标方程，利用消得到
，利用曲线关于对称即可求得，即可求得直角坐标方程。

(2)求出的方程，，求出，利用参数方程可设，表示出点P到直线的距离，利用辅助角公式即可求得到的距离的最大值，问题得解。

【详解】解：（1）：（t为参数），消去，得.
又，代入得：.
∴
.
：化为：，又关于：对称，
∴，∴，∴：.
（2）向左平移4个单位长度得：，按
变换后得：.
∴：，∴令，，∴.
易得：：，设到的距离为.
则.
当时，有最大值.
∴.
【点睛】本题主要考查了直角坐标方程与极坐标方程互化，考查了平移，伸缩变换，还考查了椭圆参数方程的应用及点到直线距离公司，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题。

23.已知．
(1)解关于的不等式；
(2)对任意正数，求使得不等式恒成立的的取值集合.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】
(1)对的范围分类，分段表示出，即可求解。

(2)利用基本不等式即可求得的最小值，把问题转化成，对的范围分类即可求解。

【详解】解：（1），
由解得或.
（2）∵.
当时等号成立，即知.
解不等式，
分情况讨论：①当时，，故；
②当时，，故；
③当，满足.
∴的取值集合为.
【点睛】本题主要考查了含两个绝对值的不等式解法及基本不等式得应用，考查了分类思想及转化思想，考查计算能力，属于中档题。