2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一上学期期中考试数学试卷含详解

2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷
一、填空题
1．设全集∪＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，4，6}，则∁U A＝．
2．不等式＜0的解集是．
3．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{a2+1}，若B⊄A，则实数a的值为．
4．用列举法写出集合A＝{y|y＝x2﹣1，x∈Z，|x|≤1}＝
5．已知不等式x2﹣ax+b≤0的解集为[2，3]，则a+b＝
6．命题“如果a≠0，那么a2＞0”的逆否命题为．
7．已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1，x∈R}，B＝{（x，y）|y＝3﹣x．x∈R}，则A∩B＝．
8．若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件，则a的取值范围为．
9．已知集合A＝{x||x﹣1|≤1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，则实数a的取值集合为
10．已知集合{x|（x﹣2）（x2﹣2x+a）＝0，x∈R}中的所有元素之和为2，则实数a的取值集合为．
11．已知正实数x，y满足x+y＝1，则﹣的最小值是
12．若不等式x+4≤a（x+y）对任意x＞0，y＞0恒成立，则a的取值范围是．
二、选择题
13．“x＞1”是“”成立的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
14．若实数a、b满足条件a＞b，则下列不等式一定成立的是（）
A．＜B．a2＞b2C．ab＞b2D．a3＞b3
15．设集合P＝{m|﹣1＜m≤0}，Q＝{m|mx2+2mx﹣1＜0}对任意x∈R恒成立，则P与Q的关系是（）
A．P⊄Q B．Q⊄P C．P＝Q D．P∩Q＝∅
16．已知集合A＝{1，2，3，…n）（n∈N*}，集合B＝{j1，j2，…j k）（k≥2，k∈N*）是集合A的子集，若1≤j1＜j2＜…＜j m≤n且j i+1﹣j i≥m（i＝1，2，……，k﹣1），满足集合B的个数记为n（k⊕m），则7（3⊕2）＝（）A．9B．10C．11D．12
三、解答题
17．已知x，y是实数，求证：x2+y2≥2x+2y﹣2．
18．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣x﹣12＜0}，B＝{y|y＝，x∈R}，求A∩B，A∪（∁U B）．
19．已知命题p：关于x的一元二次方程x2﹣2x+|m﹣2|＝0有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程x2﹣mx+|a+1|+|a﹣3|＝0对于任意实数a都没有实数根．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．
20．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，集合B＝{x|（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0，m∈R}．
（1）当m＝2时，求集合∁R A和集合B；
（2）若集合B∩Z为单元素集，求实数m的取值集合；
（3）若集合（A∩B）∩Z的元素个数为n（n∈N*）个，求实数m的取值集合．
21．已知集合P的元素个数为3n（n∈N*）个且元素为正整数，将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，即P＝A∪B∪C，A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，其中A＝{a1，a2，…，a n}，B＝{b1，b2，…
b n}，C＝{c1，c2，…，
c n}．若集合A、B、C中的元素满足c1＜c2＜…＜c n，a k+b k＝c k，k＝1，2，…n，则称集
合P为“完美集合”．
（1）若集合P＝{1，2，3}，Q＝{1，2，3，4，5，6}，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；
（2）已知集合P＝{1，x，3，4，5，6}为“完美集合”，求正整数x的值；
（3）设集合P＝{x|1≤x≤3n，n≥2，n∈N*}
①证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是n＝4k或n＝4k+1（k∈N*）
②判断当n＝4时，集合P是否为“完美集合”，如果是，求出所有符合条件的集合C；如果不是，请说明理由．
2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试卷解析
一、填空题
1．【解答】解：全集∪＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，4，6}，
则∁U A＝{1，3，5}．
故答案为：{1，3，5}．
2．【解答】解：∵＜0，
∴（x﹣1）（x+2）＜0，
解得：﹣2＜x＜1，
故不等式的解集是（﹣2，1），
故答案为：（﹣2，1）．
3．【解答】解：若B⊂A，则
①a2+1＝﹣1，a∈∅；
②a2+1＝0，a∈∅；
③a2+1＝2，a＝±1；
∵B⊄A，∴a≠±1．
故答案为：a≠±1．
4．【解答】解：∵|x|≤1，且x∈Z；
∴x＝﹣1，0，或1；
∴x2＝0，或1；
∴y＝﹣1，或0；
∴A＝{﹣1，0}．
故答案为：{﹣1，0}．
5．【解答】解：不等式x2﹣ax+b≤0的解集为[2，3]，
∴方程x2﹣ax+b＝0的实数根为2和3，
∴，
a＝5，b＝6；
∴a+b＝11．
故答案为：11．
6．【解答】解：原命题“如果a≠0，那么a2＞0”，
∴其逆否命题为：“若a2≤0，则a＝0”．
故答案为：若a2≤0，则a＝0．
7．【解答】解：A∩B＝{（x，y）|}＝{（1，2）}．
故答案为：{（1，2）}．
8．【解答】解：若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件，
则a≤1，
故答案为：a≤1
9．【解答】解：A＝{x|0≤x≤2}，
①B＝∅，a＝0，
②B≠∅，B＝{}，
0＜≤2，≥，
∴a≥1，
故实数a的取值集合为[1，+∞）∪{0}．
故答案为：[1，+∞）∪{0}．
10．【解答】解：∵集合{x|（x﹣2）（x2﹣2x+a）＝0，x∈R}中的所有元素之和为2，∴x2﹣2x+a＝0的解为x＝0或无解，
∴a＝0或Δ＝4﹣4a＜0，
解得a＞1．
∴实数a的取值集合为{a|a＝0或a＞1}．
故答案为：{a|a＝0或a＞1}．
11．【解答】解：正实数x，y满足x+y＝1，
则﹣＝＝
＝（）[x+（y+1）]﹣4
＝（5+）﹣4＝
当且仅当且x+y＝1即y＝，x＝时取得最小值是/
故答案为：
12．【解答】解：∵不等式x+4≤a（x+y），x＞0，y＞0，
∴a≥＝，
令＝t＞0，可得：f（t）＝．
f′（t）＝＝＝．可知：t＝时函数f（t）取得最大值，＝4．
f（0）＝0．
∴0＜f（t）≤4．
∵不等式x+4≤a（x+y）对任意x＞0，y＞0恒成立，
∴a的取值范围是a≥4．
故答案为：[4，+∞）．
二、选择题
13．【解答】解：若x＞1，则0＜，则成立，即充分性成立，
若当x＜0时，成立，但x＞1不成立，即必要性不成立，
即“x＞1”是“”成立的充分不必要条件，
故选：A．
14．【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、a＝1，b＝﹣1时，有＞成立，故A错误；
对于B、a＝1，b＝﹣2时，有a2＜b2成立，故B错误；
对于C、a＝1，b＝﹣2时，有ab＜b2成立，故C错误；
对于D、由不等式的性质分析可得若a＞b，必有a3＞b3成立，则D正确；
故选：D．
15．【解答】解：∵集合P＝{m|﹣1＜m≤0}，
Q＝{m|mx2+2mx﹣1＜0}对任意x∈R恒成立，
∴Q＝{m|﹣1＜m≤0}．
∴P与Q的关系是P＝Q．
故选：C．
16．【解答】解：由题意可得n＝7，k＝3，m＝2，那么集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}；
集合B＝{j1，j2，j3}，1≤j1＜j2≤7，j i+1﹣j i≥2满足集合B的个数列罗出来，
可得：{1，3，5}，{1，3，6}，{1，3，7}，{1，4，6}，{1，4，7}；{1，5，7}，{2，4，6}，{2，4，7}，{2，5，7}，{3，5，7}，
故选：B．
三、解答题
17．【解答】证明：因为x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0，可得x2≥2x﹣1，
y2﹣2y+1＝（y﹣1）2≥0，可得y2≥2y﹣1，
所以x2+y2≥2x+2y﹣2．
18．【解答】解：A＝{x|﹣3＜x＜4}；
∵x4+1≥2x2；
∴；
∴B＝{y|y≥2}；
∴A∩B＝[2，4），∁U B＝{y|y＜2}；
∴A∪（∁U B）＝（﹣∞，4）．
19．【解答】解：（1）命题p：关于x的一元二次方程x2﹣2x+|m﹣2|＝0有两个不相等的实数根，可得Δ＝12﹣4|m﹣2|＞0，
解得﹣1＜m＜5；
（2）命题q：关于x的一元二次方程x2﹣mx+|a+1|+|a﹣3|＝0对于任意实数a都没有实数根，
可得﹣x2+mx＝|a+1|+|a﹣3|，
由|a+1|+|a﹣3|≥|a+1﹣a+3|＝4，
可得﹣x2+mx﹣4≥0无实数解，
可得Δ＝m2﹣16＜0，即﹣4＜m＜4，
命题p和命题q中有且只有一个为真命题，
可得或，
即有4≤m＜5或﹣4＜m≤﹣1．
20．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}＝{x|x≥2或x≤﹣1}，集合{x|（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0，m∈R}＝{x|[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＜0}
（1）当m＝2时，集合∁R A＝{x|﹣1＜x＜2}；
集合B＝{x|x＞1或x＜}；
（2）因为集合B∩Z为单元素集，且0∈B，
所以，解得m＝0，
当m＝0时，经验证，满足题意．
故实数m的取值集合为{0}
（3）集合（A∩B）∩Z的元素个数为n（n∈N*）个，等价于（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0在（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）上有整数解
，所以令f（x）＝（1﹣m2）x2+2mx﹣1，
依题意有1﹣m2≤0或或，
解得m＜﹣或m＞0．
21．【解答】解：（1）将P分为集合{1}、{2}、{3}，满足条件，是完美集合．
将Q分成3个，每个中有两个元素，若为完美集合，则a1+b1＝c1、a2+b2＝c2，Q中所有元素之和为21，21÷2＝c1+c2＝10.5，不符合要求；
（2）若集合A＝{1，4}，B＝{3，5}，根据完美集合的概念知集合C＝{6，7}，若集合A＝{1，5}，B＝{3，6}，根据完并集合的概念知集合C＝{4，11}，
若集合A＝{1，3}，B＝{4，6}，根据完并集合的概念知集合C＝{5，9}，
故x的一个可能值为7，9，11中任一个；
（3）①证明：P中所有元素之和为1+2+…+3n＝
＝a1+b1+c1+a2+b2+c2+…+a n+b n+c n＝2（c1+c2+…+c n﹣1+c n），
∵c n＝3n，∴＝c1+c2+…+c n﹣1+3n，
∴＝c1+c2+…+c n﹣1，等号右边为正整数，
则等式左边9n（n﹣1）可以被4整除，
∴n＝4k或n﹣1＝4k，即n＝4k或n＝4k+1；
②p是完美集合，A＝{1，4，3，2}，B＝{6，5，8，10}，C＝{7，9，11，12}
或A＝{1，2，4，3}，B＝{5，8，7，9}，C＝{6，10，11，12}
或A＝{2，4，3，1}，B＝{6，5，7，11}，C＝{8，9，10，12}．。