甘肃省天水一中2015-2016学年高一数学上学期第二段段中试卷(含解析).1

2015-2016学年甘肃省天水一中高一（上）第二段段中数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．已知全集U={x∈N+|x＜9}，（∁U A）∩B={1，6}，A∩（∁U B）={2，3}，∁U（A∪B）={5，7，8}，则B=（）
A．{2，3，4} B．{1，4，6} C．{4，5，7，8} D．{1，2，3，6}
2．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）
A．9πB．10π C．11π D．12π
3．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为（）A．1 B．2 C． D．
4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）
A．B．C．D．
5．已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）
A．[，） B．（0，）C．（，1）D．（，1）
6．用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是（）
A．πB．2πC．4πD．π
7．下列四个命题中错误的是（）
A．若直线a、b互相平行，则直线a、b确定一个平面
B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面
8．若函数有最小值，则a的取值范围是（）
A．（0，1）B．（0，1）∪（1，2）C．（1，2）D．[2，+∞）
9．在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，点P在线段AD′上运动，则异面直线CP与BA′所成的角θ的取值范围是（）
A．0＜B．0C．0D．0
10．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为（）
A．（﹣，﹣2] B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣，+∞）
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．设f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x3+1，则当x＜0时，f（x）= ．
12．如图直三棱柱ABB1﹣DCC1中，∠ABB1=90°，AB=4，BC=2，CC1=1，DC上有一动点P，则△APC1周长的最小值是．
13．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN是异面直线．
以上四个命题中，正确命题的序号是．
14．如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，AA1=a，∠BAB1=∠B1A1C1=30°，则AB与A1C1所成的角为，AA1与B1C所成的角为．
三、解答题
15．设函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1），函数g（x）=﹣x2+bx+c，且f（4）﹣f（2）=1，g （x）的图象过点A（4，﹣5）及B（﹣2，﹣5）．
（1）求f（x）和g（x）的表达式；
（2）求函数f[g（x）]的定义域和值域．
16．如图，三棱柱A1B1C1﹣ABC的三视图，主视图和侧视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，点M是A1B1的中点．
（Ⅰ）求证：B1C∥平面AC1M；
（Ⅱ）求证：平面AC1M⊥平面AA1B1B．
17．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．
（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；
（2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．
18．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点，AB=AD=1．
（1）求证：EF∥平面PAD
（2）若∠PDA=，求直线AC与平面PCD所成角的正弦值．
四．附加题（每小题10分）
19．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足条件：f（xy）=f（x）f（y）对所有正实数x，y 成立，且f（2）=4，当x＞1时有f（x）＞1成立．
（Ⅰ）求f（1）和f（8）的值；
（Ⅱ）证明：函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；
（Ⅲ）解关于x的不等式：16f（）≥f（x﹣3）
20．（2014•文登市二模）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD 所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=AF=1．
（1）求四棱锥F﹣ABCD的体积V F﹣ABCD．
（2）求证：平面AFC⊥平面CBF．
（3）在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面ADF，并说明理由．
2015-2016学年甘肃省天水一中高一（上）第二段段中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．已知全集U={x∈N+|x＜9}，（∁U A）∩B={1，6}，A∩（∁U B）={2，3}，∁U（A∪B）={5，7，8}，则B=（）
A．{2，3，4} B．{1，4，6} C．{4，5，7，8} D．{1，2，3，6}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】数形结合；数形结合法；集合．
【分析】根据已知，画出满足条件的韦恩图，数形结合，可得答案．
【解答】解：∵全集U={x∈N+|x＜9}={1，2，3，4，5，6，7，8}，
（∁U A）∩B={1，6}，A∩（∁U B）={2，3}，∁U（A∪B）={5，7，8}，
∴满足条件的韦恩图如下所示：
由图可得：B={1，4，6}，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，韦恩图表示集合关系，难度不大，属于基础题．
2．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）
A．9πB．10π C．11π D．12π
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题．
【分析】由题意可知，几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，依次求表面积即可．
【解答】解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面为
S=4π×12+π×12×2+2π×1×3=12π
故选D．
【点评】本题考查学生的空间想象能力，是基础题．
3．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为（）A．1 B．2 C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【专题】计算题．
【分析】出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为3π，构造方程，可求出直径．
【解答】解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，
则由πl=2πr得l=2r，
而S=πr2+πr•2r=3πr2=3π
故r2=1
解得r=1，所以直径为：2．
故选B
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）
A．B．C．D．
【考点】平面图形的直观图．
【专题】计算题．
【分析】水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．【解答】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，
下底为1+，
S=（1++1）×2=2+．
故选B．
【点评】本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，属基础知识的考查．
5．已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）
A．[，） B．（0，）C．（，1）D．（，1）
【考点】函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由f（x）为（﹣∞，+∞）上的减函数，知（3a﹣1）x+4a递减，log a x递减，且（3a ﹣1）×1+4a≥log a1，从而得，解出即可．
【解答】解：因为f（x）为（﹣∞，+∞）上的减函数，
所以有，解得，
故选A．
【点评】本题考查函数单调性的性质，属中档题．
6．用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是（）
A．πB．2πC．4πD．π
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】求出小圆的半径，然后利用球心到该截面的距离为1，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的体积．
【解答】解：用一平面去截球所得截面的面积为2π，所以小圆的半径为： cm；
已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为：，
所以球的体积为： =4π
故选：C．
【点评】本题是基础题，考查球的小圆的半径，球心到该截面的距离，球的半径之间的关系，满足勾股定理，考查计算能力．
7．下列四个命题中错误的是（）
A．若直线a、b互相平行，则直线a、b确定一个平面
B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面
【考点】平面的基本性质及推论；异面直线的判定．
【专题】证明题．
【分析】根据公理2以及推论判断A和B，由线线位置关系的定义判断C，利用线面垂直的性质定理和异面直线的定义判断D．
【解答】解：A、由两条直线平行确定一个平面判断正确，故A不对；
B、根据三棱锥的四个顶点知，任意三点都不共线，故B不对；
C、若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行，故C对；
D、根据线面垂直的性质定理知，这两条直线平行，即不可能，故D不对．
故选C．
【点评】本题考查了的内容多，涉及到公理2以及推论、由线线位置关系的定义、线面垂直的性质定理和异面直线的定义，难度不大，需要掌握好基本知识．
8．若函数有最小值，则a的取值范围是（）
A．（0，1）B．（0，1）∪（1，2）C．（1，2）D．[2，+∞）
【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】函数思想；换元法；函数的性质及应用．
【分析】令t=x2﹣ax+1（t＞0），则y=log a t，由题意可得a＞1，由二次函数的最值求法，结合t＞0，可得a的范围．
【解答】解：令t=x2﹣ax+1（t＞0），
则y=log a t，
由于f（x）有最小值，可得a＞1，
即有y=log a t在t＞0递增，
又t=（x﹣）2+1﹣，
当x=时，取得最小值1﹣，
即有1﹣＞0，解得﹣2＜a＜2，
又a＞1，即有1＜a＜2．
故选：C．
【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用复合函数的单调性：同增异减，考查对数函数的单调性，属于中档题．
9．在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，点P在线段AD′上运动，则异面直线CP与BA′所成的角θ的取值范围是（）
A．0＜B．0C．0D．0
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】空间角．
【分析】由A1B∥D1C，得CP与A1B成角可化为CP与D1C成角，由此能求出异面直线CP与BA′所成的角θ的取值范围．
【解答】解：∵A1B∥D1C，
∴CP与A1B成角可化为CP与D1C成角．
∵△AD1C是正三角形可知当P与A重合时成角为，
∵P不能与D1重合因为此时D1C与A1B平行而不是异面直线，
∴0＜θ≤．
故选：D．
【点评】本题考查直线与平面所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．
10．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为（）
A．（﹣，﹣2] B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣，+∞）
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】压轴题；新定义．
【分析】由题意可得h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m 在[0，3]上有两个不同的零点，故有，由此求得m的取值范围．
【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，
故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，
故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，
故选A．
【点评】本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．设f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x3+1，则当x＜0时，f（x）= ﹣x3+1 ．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数y=f（x）是R上的偶函数，可得f（﹣x）=f（x）；当x＜0时，﹣x＞0，f （﹣x）=（﹣x）3+1=﹣x3+1，据此解答即可
【解答】解：据函数y=f（x）是R上的偶函数，
可得f（﹣x）=f（x）；
当x＜0时，﹣x＞0，
f（﹣x）=（﹣x）3+1=﹣x3+1．
故答案为：﹣x3+1．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性质的运用，考查了函数解析式的求法，属于基础题．
12．如图直三棱柱ABB1﹣DCC1中，∠ABB1=90°，AB=4，BC=2，CC1=1，DC上有一动点P，则△APC1周长的最小值是5+．
【考点】点、线、面间的距离计算．
【专题】计算题；数形结合．
【分析】不妨令CP=a，则DP=4﹣a，分别在直角三角形ADC中求AP，在直角三角形C1PC求出C1P，在直角三角形C1CA求出C1A，然后相交求周长．将周长表示为参数a的函数，由于a∈[0，4]，在这个区间上求出周长的最小值即可．
【解答】解：DC上有一动点P，令CP=a，则DP=4﹣a，
由于直三棱柱ABB1﹣DCC1中，∠ABB1=90°，AB=4，BC=2，CC1=1，
∴周长S=AP+C1P+C1A=++
=++
=++
=++
其中是+可以看作平面直角坐
标系中（a，0）与两点（4，﹣2）以及（0，1）两点距离和的最小值，由图形中点（a，0）恰好是过两点（4，﹣2）与（0，1）的直线与x轴的交点时，上式的值最小．
由两点式知过两点（4，﹣2）与（0，1）的直线的方程是3x+4y﹣4=0，其与x轴的交点是（，0），
即当a=时， +的最小值为两点（4，﹣2）与（0，1）的距离，其值为=5，故周长为5+
故答案为5+
【点评】本题考点是点、线、面之间的距离，考查用勾股定理在直角三角形中求两点间的距离，解答本题的关键是找到所求线段存在的直角三角形，由于本题是一个直三棱柱且其两个侧面垂直，这为找出各求各边所在的直角三角形带来了方便，此做法空间想象能力要求较高，解答本题也可以用空间向量法，请做题时比较一下两种方法在求最值方面的异同．
13．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN是异面直线．
以上四个命题中，正确命题的序号是③④．
【考点】棱柱的结构特征．
【专题】作图题；证明题．
【分析】将展开图复原为几何体，如图，根据正方体的几何牲，分别四个命题的真假，容易判断选项的正误，求出结果．
【解答】解：展开图复原的正方体如图，不难看出：
①BM与ED平行；错误的，是异面直线；
②CN与BE是异面直线，错误；是平行线；
③CN与BM成60°；正确；
④DM与BN是异面直线．正确
判断正确的答案为③④
故答案为：③④
【点评】本题考查异面直线的判定，异面直线及其所成的角，空间中直线与直线之间的位置关系，几何体的折叠与展开，考查空间想象能力，是基础题．
14．如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，AA1=a，∠BAB1=∠B1A1C1=30°，则AB与A1C1所成的角为30°，AA1与B1C所成的角为45°．
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题；数形结合；分析法；空间角．
【分析】BB1与B1C所成的角，就是AA1与B1C所成的角，BB1与B1C所成的角，就是AA1与B1C 所成的角，根据条件即可求出．
【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAB1=∠B1A1C1=30°，
∵AB∥A1B1，A1B1与A1C1所成的角，就是AB与A1C1所成的角，
∴则AB与A1C1所成的角为30°，
∵AA1∥BB1，BB1与B1C所成的角，就是AA1与B1C所成的角，
连接AC，则AC∥A1C1，
∴∠BAC=30°，
∵AA1=a，∠BAB1=30°，
∴AB=a，
∴BC=a，
∴∠BB1C=45°，
∴AA1与B1C所成的角为45°，
故选答案为．30°，45°
【点评】本题考查异面直线及其所成的角，考查空间想象能力，是中档题．
三、解答题
15．设函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1），函数g（x）=﹣x2+bx+c，且f（4）﹣f（2）=1，g （x）的图象过点A（4，﹣5）及B（﹣2，﹣5）．
（1）求f（x）和g（x）的表达式；
（2）求函数f[g（x）]的定义域和值域．
【考点】对数函数的图像与性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）运用条件得出方程求解即可
（2）转化为不等式﹣x2+2x+3＞0求解得出定义域，配方﹣x2+2x+3=﹣（x2﹣1）2+4≤4
利用单调性求解即可．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1），
f（4）﹣f（2）=1，
∴log a=1，a=2，
∴f（x）=log2x，
∵g（x）的图象过点A（4，﹣5）及B（﹣2，﹣5）．
∴即b=2，c=3，
∴函数g（x）=﹣x2+2x+3；
（2）函数f[g（x）]=log2（﹣x2+2x+3），
∵﹣x2+2x+3＞0，
∴﹣1＜x＜3，
定义域：（﹣1，3），
∵﹣x2+2x+3=﹣（x2﹣1）2+4≤4，
∴log2（﹣x2+2x+3）≤log24=2，
即值域为：（﹣∞，2]．
【点评】本题考察函数的定义，性质，转化为不等式问题，配方思想，属于简单的综合题目．
16．如图，三棱柱A1B1C1﹣ABC的三视图，主视图和侧视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，点M是A1B1的中点．
（Ⅰ）求证：B1C∥平面AC1M；
（Ⅱ）求证：平面AC1M⊥平面AA1B1B．
【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．
【专题】证明题；空间位置关系与距离．
【分析】（I）由三视图确定直观图的形状，连接A1C，设A1C∩AC1=O，连接MO，证明MO∥B1C，利用线面平行的判定，可得B1C∥平面AC1M；
（II）先证明C1M⊥平面AA1B1B，再证明平面AC1M⊥平面AA1B1B．
【解答】证明：（I）由三视图可知三棱柱A1B1C1﹣ABC为直三棱柱，底面是等腰直角三角形且∠ACB=90°，连接A1C，设A1C∩AC1=O．连接MO，由题意可知A1O=CO，A1M=B1M，所以MO∥B1C．∵MO⊂平面AC1M，B1C⊄平面AC1M
∴B1C∥平面AC1M；
（II）∵A1C1=B1C1，点M是A1B1的中点
∴C1M⊥A1B1，
∵平面A1B1C1⊥平面AA1B1B，平面A1B1C1∩平面AA1B1B=A1B1，
∴C1M⊥平面AA1B1B
∵C1M⊂平面AC1M
∴平面AC1M⊥平面AA1B1B．
【点评】本题考查线面平行，考查面面垂直，解题的关键是掌握线面平行的判定，掌握面面垂直的证明方法．
17．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．
（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；
（2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；函数最值的应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）若f（x）＜0恒成立，则m=0或，分别求出m的范围后，综合讨论结果，可得答案．
（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，则
恒成立，结合二次函数的图象和性质分类讨论，综合讨论结果，可得答案．
【解答】解：（1）当m=0时，f（x）=﹣1＜0恒成立，
当m≠0时，若f（x）＜0恒成立，
则
解得﹣4＜m＜0
综上所述m的取值范围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（2）要x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，
即恒成立．
令﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
当 m＞0时，g（x）是增函数，
所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0，
解得．所以
当m=0时，﹣6＜0恒成立．
当m＜0时，g（x）是减函数．
所以g（x）max=g（1）=m﹣6＜0，
解得m＜6．
所以m＜0．
综上所述，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．
18．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点，AB=AD=1．
（1）求证：EF∥平面PAD
（2）若∠PDA=，求直线AC与平面PCD所成角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．
【专题】空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（1）取PD中点M，连结AM，FM，证明MF∥AE，四边形AEFM为平行四边形，然后证明EF∥平面PAD
（2）连结AM，CM，说明∠ACM就是直线AC与平面PCD所成的角，通过解三角形可得sin∠ACM．【解答】（1）证明：取PD中点M，连结AM，FM，
∵MF∥CD，MF=CD，AE∥CD，AE=CD，
∴MF∥AE，MF=AE，
∴四边形AEFM为平行四边形
所以AM∥EF，AM⊂平面PAD，
∴EF∥平面PAD
（2）解：连结AM，CM，由条件知AM⊥PD，CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AM，PD∩CD=D
所以AM⊥平面PCD，
∴∠ACM就是直线AC与平面PCD所成的角
经计算得AM=，
∴sin∠ACM=．
【点评】本题考查直线与平面平行与垂直的判断与应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力．
四．附加题（每小题10分）
19．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足条件：f（xy）=f（x）f（y）对所有正实数x，y 成立，且f（2）=4，当x＞1时有f（x）＞1成立．
（Ⅰ）求f（1）和f（8）的值；
（Ⅱ）证明：函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；
（Ⅲ）解关于x的不等式：16f（）≥f（x﹣3）
【考点】抽象函数及其应用；指、对数不等式的解法．
【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）利用赋值法，代入计算求f（1）和f（8）的值；
（Ⅱ）利用单调性的定义证明函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；
（Ⅲ）利用单调性，将不等式化为具体不等式，即可得出结论．
【解答】（Ⅰ）解：∵f（xy）=f（x）f（y），∴f（1×2）=f（1）f（2），
∵f（2）=4，∴f（1）=1，
f（4）=f（2）f（2）=16，f（8）=f（2）f（4）=64；
（Ⅱ）证明：设x1＞x2＞0，则＞1，
∵当x＞1时有f（x）＞1成立，
∴f（）＞1，
∴f（x1）=f（x2•）=f（x2）f（）＞f（x2）
∴函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；
（Ⅲ）解：16f（）≥f（x﹣3）可化为f（4×）≥f（x﹣3），
∵函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，
∴4×≥x﹣3＞0，
∴﹣1≤x≤，
∴不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．
【点评】本题考查了抽象函数的应用，考查函数的单调性，考查了数学转化思想方法，是中高档题．
20．（2014•文登市二模）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD 所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=AF=1．
（1）求四棱锥F﹣ABCD的体积V F﹣ABCD．
（2）求证：平面AFC⊥平面CBF．
（3）在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面ADF，并说明理由．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的判定．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）由题意求出四棱锥F﹣ABCD的高，然后求四棱锥F﹣ABCD的体积V F﹣ABCD．
（2）要证平面AFC⊥平面CBF．只需证明AF垂直平面CBF内的两条相交直线BC、BF即可；（3）在线段CF上是存在一点M，取CF中点记作M，设DF的中点为N，连接AN，MN，MNAO为平行四边形，即可说明OM∥平面ADF．
【解答】解：（1）∵AD=EF=AF=1∴∠OAF=60°
作FG⊥AB交AB于一点G，则
∵平面ABCD⊥平面ABEF
∴FG⊥面ABCD（3分）
所以
（2）∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面A BCD∩平面ABEF=AB，
∴CB⊥平面ABEF，
∵AF⊂平面ABEF，
∴AF⊥CB，
又∵AB为圆O的直径，
∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．
∵AF⊂面AFC，∴平面AFC⊥平面CBF；
（3）取CF中点记作M，设DF的中点为N，连接AN，MN
则MN，又AO，则MN AO，
所以MNAO为平行四边形，（10分）
∴OM∥AN，
又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF，
∴OM∥平面DAF．（12分）
【点评】本题是中档题，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，考查棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的性质，平面与平面垂直的判定，常考题型．。