人教版高中数学教案之集合的概念与运算

集合的概念与运算老师辅导教案
集合的概念与运算
导学目标
1．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
5．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．
夯实基础
1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
2．元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．
4．集合间的基本关系
对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．
若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，则A B)．
若A⊆B且B⊆A，则A＝B．
5．集合的运算及性质
设集合A，B，则A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
设全集为U，则∁U A＝{x|x∈U且x∉A}．
A∩∅＝∅，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩B＝A⇔A⊆B．
A∪∅＝A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪B＝B⇔A⊆B．
A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U．
突破考点
题型一、集合的基本概念
例1
若a ，b ∈R ，集合{1,a ＋b,a}＝{0,b
a
,b}，求b －a 的值．
【解题导引】解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．
【解析】由{1,a ＋b,a}＝{0,b
a ,b}可知a≠0，则只能a ＋
b ＝0，则有以下对应关系：
⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝0，b
a ＝a ，
b ＝1
① 或⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＋
b ＝0，
b ＝a ，
b a ＝1.
②
由①得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝1，符合题意；②无解．
∴b －a ＝2．
变式迁移1
设集合A ＝{1,a,b}，B ＝{a,a 2,ab}，且A ＝B ，求实数a ，b ．
【解析】由元素的互异性知，a≠1，b≠1，a≠0，又由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝
b ，ab ＝1，
解得a ＝－1，b ＝0．
题型二、集合间的关系
例2
设集合M ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2,a ∈R}，N ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2,b ∈R}，则下列关系中正确的是( )
A.M ＝N
B.M N
C.N M
D.M ∈N
【解题导引】一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系．
【答案】A
【解析】集合M ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2,a ∈R}＝{x|x ＝(a －2)2＋1,a ∈R}＝{x|x≥1}， N ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2,b ∈R}＝{y|y ＝(2b ＋1)2＋1,b ∈R}＝{y|y≥1}．∴M ＝N ．
变式迁移2
设集合P ＝{m|－1<m<0}，Q ＝{m|mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立，且m ∈R}，则下列关系中成立的是( )
A.P Q
B.Q P
C.P ＝Q
D.P∩Q ＝∅
【答案】A
【解析】P ＝{m|－1<m<0}，
Q ：⎩
⎪⎨⎪⎧
m<0，Δ＝16m 2＋16m<0，或m ＝0．∴－1<m≤0．∴Q ＝{m|－1<m≤0}．
∴P Q ．
题型三、集合的运算
例3
设全集是实数集R ，A ＝{x|2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x|x 2＋a<0}． (1)当a ＝－4时，求A∩B 和A ∪B ； (2)若(∁R A)∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．
【解题导引】解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性．
【解析】(1)A ＝{x|1
2
≤x≤3}．
当a ＝－4时，B ＝{x|－2<x<2}，∴A∩B ＝{x|1
2≤x<2}，A ∪B ＝{x|－2<x≤3}．
(2)∁R A ＝{x|x<1
2
或x>3}．
当(∁R A)∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A∩B ＝∅． ①当B ＝∅，即a≥0时，满足B ⊆∁R A ；
②当B≠∅，即a<0时，B ＝{x|－－a<x<－a}， 要使B ⊆∁R A ，需－a≤12，解得－1
4≤a<0．
综上可得，a 的取值范围为a≥－1
4
．
变式迁移3
已知A ＝{x||x －a|<4}，B ＝{x||x －2|>3}．
(1)若a ＝1，求A∩B ；
(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．
【解析】(1)当a ＝1时，A ＝{x|－3<x<5}，B ＝{x|x<－1或x>5}．∴A∩B ＝{x|－3<x<－1}．
(2)∵A ＝{x|a －4<x<a ＋4}，B ＝{x|x<－1或x>5}，且A ∪B ＝R ，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a －4<－1
a ＋4>5⇒1<a<3．
∴实数a 的取值范围是(1,3)．
分类讨论思想在集合中的应用
(1)若集合P ＝{x|x 2＋x －6＝0}，S ＝{x|ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可取值组成的集合； (2)若集合A ＝{x|－2≤x≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x≤2m －1}，且B ⊆A ，求由m 的可取值组成的集合． 【答题模板】
(1)P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ； 当a≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1
a
，
为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－1
2．
故所求集合为{0,13,－1
2
}．
(2)当m ＋1>2m －1，即m<2时，B ＝∅，满足B ⊆A ； 若B≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，
则⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
m≥2，m≥－3，m≤3，
∴2≤m≤3．
故m<2或2≤m≤3，即所求集合为{m|m≤3}． 【突破思维障碍】
在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．
【易错点剖析】
(1)容易忽略a ＝0时，S ＝∅这种情况．
(2)想当然认为m ＋1<2m －1忽略“>”或“＝”两种情况．
数学思想
1．下列集合表示同一集合的是( ) A.M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)} B.M ＝{(x,y)|x ＋y ＝1}，N ＝{y|x ＋y ＝1} C.M ＝{4,5}，N ＝{5,4}
D.M ＝{1,2}，N ＝{(1,2)}
【答案】C
2．已知集合M ＝{x|－3<x≤5}，N ＝{x|－5<x<5}，则M∩N 等于( ) A.{x|－5<x<5}
B.{x|－3<x<5}
C.{x|－5<x≤5}
D.{x|－3<x≤5}
【答案】B
【解析】画数轴，找出两个区间的公共部分即得M∩N ＝{x|－3<x<5}．
3．设集合A ＝{(x,y)|x 24＋y 2
16＝1}，B ＝{(x,y)|y ＝3x }，则A∩B 的子集的个数是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【答案】A
【解析】易知椭圆x 24＋y 2
16＝1与函数y ＝3x 的图象有两个交点，所以A∩B 包含两个元素，故
A∩B 的子集个数是4个．
4．集合M ＝{y|y ＝x 2－1,x ∈R}，集合N ＝{x|y ＝9－x 2,x ∈R}，则M∩N 等于( ) A.{t|0≤t≤3}
B.{t|－1≤t≤3}
C.{(－2,1),(2,1)}
D.∅
【答案】B
【解析】∵y ＝x 2－1≥－1，∴M ＝[－1,＋∞)．
又∵y ＝9－x 2，∴9－x 2≥0．∴N ＝[－3,3]．∴M∩N ＝[－1,3]． 5．已知集合A ＝{1,3,a}，B ＝{1,a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝＿＿＿＿＿． 【答案】－1或2
【解析】由a 2－a ＋1＝3，∴a ＝－1或a ＝2，经检验符合．
由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a ＝－1或2．
解答集合问题时应注意五点：
1．注意集合中元素的性质——互异性的应用，解答时注意检验．
2．注意描述法给出的集合的元素．如{y|y ＝2x }，{x|y ＝2x }，{(x,y)|y ＝2x }表示不同的集合． 3．注意∅的特殊性．在利用A ⊆B 解题时，应对A 是否为∅进行讨论．
名师点津
明确考向
4．注意数形结合思想的应用．在进行集合运算时要尽可能借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用V enn图表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍．5．注意补集思想的应用．在解决A∩B≠∅时，可以利用补集思想，先研究A∩B＝∅的情况，然后取补集．
一、选择题
1．满足{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是()
A.2
B.3
C.4
D.8
【答案】B
【解析】A＝{1}∪B，其中B为{2,3}的子集，且B非空，显然这样的集合A有3个，即A＝{1,2}或{1,3}或{1,2,3}．
2．设P、Q为两个非空集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P,b∈Q}．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是()
A.9
B.8
C.7
D.6
【答案】B
【解析】P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P＋Q中元素的个数是8．
3．集合P＝{x∈Z|0≤x<3}，M＝{x∈Z|x2≤9}，则P∩M等于()
A.{1,2}
B.{0,1,2}
C.{1,2,3}
D.{0,1,2,3}
【答案】B
【解析】由题意知：P＝{0,1,2}，M＝{－3,－2,－1,0,1,2,3}，∴P∩M＝{0,1,2}．
4．设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5,x∈R}．若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是()
A.{a|0≤a≤6}
B.{a|a≤2或a≥4}
C.{a|a≤0或a≥6}
D.{a|2≤a≤4}
【答案】C
【解析】由|x－a|<1得－1<x－a<1，即a－1<x<a＋1．
由图可知a＋1≤1或a－1≥5，所以a≤0或a≥6．
5．设全集U是实数集R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|2
x－1
≥1}，则右图中阴影部分所表示的集合是()
精题精练
A.{x|－2≤x<1}
B.{x|－2≤x≤2}
C.{x|1<x≤2}
D.{x|x<2}
【答案】C
【解析】题图中阴影部分可表示为(∁U M)∩N ，集合M 为{x|x>2或x<－2}，集合N 为 {x|1<x≤3}，由集合的运算，知(∁U M)∩N ＝{x|1<x≤2}．
二、填空题
6．设集合A ＝{1,2}，则满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数是＿＿＿＿＿． 【答案】4
【解析】由题意知B 的元素至少含有3，因此集合B 可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}． 7．设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x<1}，若A∩(∁U B)＝{m|m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝＿＿＿＿＿．
【答案】{2,4,6,8}
【解析】A ∪B ＝{x ∈N *|lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(∁U B)＝{1,3,5,7,9}，∴B ＝{2,4,6,8}． 8．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2,a 2＋4}，A∩B ＝{3}，则实数a ＝＿＿＿＿＿． 【答案】1
【解析】∵3∈B ，由于a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，即a ＝1．
三、解答题
9．集合A ＝{x|x 2＋5x －6≤0}，B ＝{x|x 2＋3x>0}，求A ∪B 和A∩B ．
【解析】∵A ＝{x|x 2＋5x －6≤0}＝{x|－6≤x≤1}．B ＝{x|x 2＋3x>0}＝{x|x<－3或x>0}． 如图所示，
∴A ∪B ＝{x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3或x>0}＝R ．
A∩B ＝{x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3或x>0}＝{x|－6≤x<－3,或0<x≤1}．
10．已知集合A ＝{x|0<ax ＋1≤5}，集合B ＝{x|－1
2<x≤2}．若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．
【解析】当a ＝0时，显然B ⊆A ； 当a<0时， 若B ⊆A ，如图，
则⎩⎨⎧
4a ≤－12
，－1
a >2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a≥－8，a>－12.
∴－1
2<a<0；
当a>0时，如图，
若B ⊆A ，则⎩⎨⎧
－1a ≤－12
，4
a ≥2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a≤2，
a≤2.
∴0<a≤2． 综上知，当B ⊆A 时，－1
2
<a≤2．
11．已知集合A ＝{x|x －5
x ＋1≤0}，B ＝{x|x 2－2x －m<0}，
(1)当m ＝3时，求A∩(∁R B)；
(2)若A∩B ＝{x|－1<x<4}，求实数m 的值．
【解析】由x －5
x ＋1
≤0，所以－1<x≤5，所以A ＝{x|－1<x≤5}．
(1)当m ＝3时，B ＝{x|－1<x<3}，则∁R B ＝{x|x≤－1或x≥3}，所以A∩(∁R B)＝{x|3≤x≤5}． (2)因为A ＝{x|－1<x≤5}，A∩B ＝{x|－1<x<4}，所以有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8． 此时B ＝{x|－2<x<4}，符合题意， 故实数m 的值为8．。