08年高教杯全国数学建模比赛b题论文 国家二等奖

高等教育学费标准探讨
西南交通大学
指导老师：薛长虹
参赛队员：吴问其
罗春生
吴微勇
2008年9月22日
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：西南交通大学
参赛队员(打印并签名) ：1. 罗春生
2. 吴问其
3. 吴微勇
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：薛长虹
日期：2008年9月22日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
高等教育学费标准探讨
摘要
本文讨论了高等教育的“学费标准”问题，建立了学费合理性的评价模型，优化模型以及最优的学费收取对策模型，解决了学费合理性的评价问题，设计出了高校学费收取标准的优化方案。

首先，本文对高等教育收费的相关数据进行量化分析，初步确定高等教育学费和各地区人均收入，全国人均GDP，不同类别高校及不同专业的差异，学生培养费用，国家生均拨款的定量关系；并对相关数据进行整理修正和合理性说明。

然后，依据确定出的影响高校学费收取的主要因素，参照《高等学校收费管理暂行办法》和国际标准，得到了四条学费合理性的评判准则。

基于评判准则设计了四个衡量学费合理性的指标，然后采用层次分析法建立了学费合理性的综合评价模型。

运用这个模型对不同的学校类别，专业，地区的高校学费收取标准进行综合评价。

并对其结果做了认真的分析。

在对现实的高校学费作了综合评价之后，本文又寻求建立在学校和学生的综合满意度之上的高校合理学费标准，并将双方满意度都尽可能大作为目标，依照对策论的知识，在博弈中找到双方在学费标准较满意的平衡点。

在忽略其他次要因素的前提下，学生采取与家庭收入相关的的策略，而学校采用与培养经费相关的策略，建立学校与学生关于学费标准的对策论模型，求得了让学校与学生都较满意的均衡方案。

本文建模的思路清晰，指标值和假设的得出有可信的出处，数据有可信来源，数据处理的方法依据充足。

该模型对全国各地高校学费均可进行评价和制定出合理的学费标准。

关键词：生均培养费用，综合评价模型，对策模型，
一、问题重述
高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强。

培养质量是高等教育的一个核心指标，不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应的经费保障。

高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。

过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。

本题要求根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，对数据进行合理的假设和修正，并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。

二、问题分析
2.1对影响“高等教育学费”因素的分析
总的说来，影响学费的因素可以划分为学校方面，学生家庭方面，国家方面以及社会方面，还有专业方面。

下面用一个表格来直观的表示出这些因素的分布。

按照学校类别的不同，比如一、二、三类本科高校及高职专科；按照专业的差异，有冷热门之分，有文科、理科、工科和艺术类的区别；这些都是影响学费的因素，只是在影响的程度上有所不同。

学生方面，当前大量的贫困生因为家庭收入原因而出现交学费困难，及中东西部家庭收入差距，使得高校学费对于不同地区的学生来说有不同的接受程度。

学校方面，教育经费的来源中不确定的主要部分就是学校的自筹款和学费收入部分，在保证学生培养质量的前提下，如果学校的事业经费支出过多，而学校的自筹款又出现不足时，这时增加学费的收入就成为了补充学校财政不足的一个重要途径。

另外，兼顾我国目前的国情，不同地区的发展出现严重的不平衡，比如西部地区相对贫穷落后，而沿海地区经济比较发达，因此在制定学费标准时绝对不能一概而论，需要作出这种不同地区的区分。

结合《高等学校收费管理暂行办法》中制定的标准为学费占生均教育培养成本的比例不得超过25%和国际平均标准：学费占家庭平均年收入的15%～20%左右；学费占人均GDP的10%左右。

本文将各地区人均年收入和地区人均GDP作为重要考虑因素之一。

2.2高校收费的量化
根据一些参考资料我们可以得出
生均培养成本=(人员经费+公用经费+固定资产折旧费)/学生数；
收费标准=生均培养成本×政府确定的收费比例；
本年度收费标准=上年度收费标准×(1+本年度收费标准增长率)；
本年度收费增长牢=本年度费用预算增长数，上年度费用预算数×100％。

上我国目前对教育的投入比例却少于国际的平均标准。

国家的投入不够，而学校又必须办好教育，这样的话自然学生承担的学费就相应增加。

所以，本文在制定学费标准时，首先结合当前很多大学生承担学费吃力，学校的教育经费与学生学费之间存在的矛盾，国家在发展经济中出现地区发展存在巨大差异性的国情等重要的影响因素，以及国家对高等教育投入的不足进行综合考虑；然后再根据学校类别和的不同和专业的差异，进行分类讨论。

高等学校收费管理暂行办法>中的标准
《高等学校收费管理暂行办法》中制定的标准为学费占生均教育培养成本的比例不得超过25％；
国际平均标准：学费占家庭平均年收入的15％～20%左右；学费占人均GDP10％左右。

三、资料的收集与分析
高等教育生均成本是高等教育经济学的核心概念之一,它是指高等学校为实现教育的基本职能(不包括其他职能),并达到教学质量的基本标准,在一定的会计期间(一年)所必须发生的,平均用于每个学生的直接支出和应计费用的总和。

高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局,培养质量是高等教育的一个核心指标，不同的学科、专业其质量需要有相应的经费保障。

高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。

学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。

3.1 生均培养成本的核算思路
国家发展改革委2005年6月8日印发《高等学校教育培养成本监审办法（试行）》的通知（发改价格〔2005〕1008号）第五条规定：高校教育培养成本由人员支出、公用支出、对个人和家庭的补助支出和固定资产折旧四部分构成。

实践中,教育单位在进行生均培养成本核算中采用的方法比较常用有的两种。

一是匡算法，匡算法是根据教育单位培养费用的实际支出对教育单位生均培养成本进行估算的一种核算方法。

它认为：
生均培养成本=生均教育事业费支出+生均教育基建支出+生均其它支出中用于培养费用
二是实算法，实算法是按照企业进行成本核算的成熟经验和制度规定进行教育单位生均培养成本核算的一种方法。

采用实算法有许多的不明确、不确定因素，与现行教育单位执行的会计制度也不相符。

因此，我国目前的教育成本核算应属于匡算范围，采用匡算法核算教育单位的生均培养成本更切合实际。

我国大多数教育单位在进行生均培养成本核算中，基本上是以教育支出替代教育成本，但本文具体考虑到基础建设支出中有很大一部分被用作食堂，收费场地，店铺等赢利手段，所以放弃原有的匡算法认为教育单位培养成本就是其生均教育事业费支出生均教育基建支出和生均其它支出中用于培养费用的总和的观点，重新定义：
生均培养成本=生均教育事业费支出
（其中：生均教育事业费支出=个人部分(人员费用)+公用部分(公用支出)）则根据根据这一原则我们参考以下统计数据：
(1) 2006年中央普通本科学校生均事业性经费支出（见参考文献[1]）；
(2) 2006年地方普通本科学校生均事业性经费支出（见参考文献[1]）；
分别作为各地区2006中央普通本科（重本），地方普通本科（一般本科）
的生均培养成本（如下表1）。

(3) 2006年预算内中央普通本科学校生均事业性经费支出（见参考文献[1]）；
(4) 2006年预算内地方普通本科学校生均事业性经费支出（见参考文献[1]）。

分别作为各地区2006中央普通本科（重本），地方普通本科（一般本科）的生均国家拨款（如下表2）。

因为本文分析对象主要是距今最近的2007年，考虑到2007年教育投入费用比2006年增长了47%，居民消费比2006年增长了12.9%，则体现在个人支出及公共支出有相应幅度的增长。

考虑高等院校和生均国家拨款比2006年增长47%，人均的培养费用比2006年增长12.9%，得到2007年的数据，部分数据整理如下：
3.2 家庭人均收入和人均GDP
根据国际平均标准，合理的学费应占家庭平均年收入的15％～20%左右，学费占人均GDP的10％左右，所以要将各地区家庭人均收入以及各地区人均GDP 的作为收费合理与否的一个评价因素和制定学费的限制条件。

3.2.12007年全年农村、城镇家庭总收入
根据地区的不同和城乡差别会导致家庭人均收入的差别，从而影响对学费的评价，所以对人均收入的数据收集时要充分考虑地区和城乡差别。

根据国家统计局资料我们选取了《各地区农村居民家庭平均每人现金收入(2007年1-3季度)》（国家统计局资料中无全年的相关统计数据，固选取统计时间长的1-3季度）得到全国各省，直辖市和自治区的2007年农村居民家庭平均每人现金收入的前三季度的和。

在评价中，各种数据均是以年为时间单位，所以在以下两个假设下求出2007年前全年农村家庭总收入。

假设：（1）2007年农村每个月家庭人均月收入相同。

（2）由我国的独生子女生育政策假设我国的每个家庭都是由父母和子女组成的三口之家。

则可以得：
2007年全年农村家庭总收入=2007年前三季度农村家庭人均收入×（4/3）×3（口人）
3.2.2 高校生源的家庭均收入。

以北京为例，2007年来至农村的生源与来值城市的生源的比为：1：3；由此得到北京生源的家庭平均收入为：35214；
3.2.3 人均GDP
人均国内生产总值，也称作“人均GDP"，常作为发展经济学中衡量经济发展状况的指标，是重要的宏观经济指标之一，它是人们了解和把握一个国家或地区的宏观经济运行状况的有效工具。

将一个国家核算期内（通常是一年）实现的国内生产总值与这个国家的常住人口（目前使用户籍人口）相比进行计算，得到人均国内生产总值。

是衡量各国人民生活水平的一个标准，为了更加客观的衡量，经常与购买力平价结合。

人均GDP的表示：
人均GDP = 总产出（即GDP总额，社会产品和服务的产出总额）/总人口
3.3地域分类讨论
参照国家标准《国民经济行业分类与代码》的基本分类为依据，和国家经济管理工作习惯用法，对国有资产年报统计初步分为六类。

对于学费等经济数据的统计分析经常将各地区常按经济带划分，根据人均GDP 及乡村城镇家庭2007年人均年收入，和地域分布的知识可将中国经济区域划分为：
东部地区：北京、天津、辽宁、上海、江苏、浙江、福建、山东、广东和海南等10个省市；
中部地带：包括山西、吉林、、河北、黑龙江、安徽、江西、河南、湖北、湖南等9省；
西部地带：包括重庆、四川、贵州、云南、西藏、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆、广西、内蒙古等12个省、自治区。

3.4不同专业和学校的学费分类
按照当前实际，专业的分类很细，本文从大的方面把握，按照专业收费特点把专业分为：（1）普通专业，包括文史，理工等一般类专业，收费较低；
（2）热门专业，包括医学、外语、软件、信息类等每年报考人数
多，学费处于中等档次的专业；
（3）艺术类专业，包括艺术设计、广播电视编导、表演、播音等
专业等，学费较高。

学校分类：普通本科、重点本科（中央院校）和民办高校。

普通高校和民办高校学费基本相同
参考《全国高校2007年本科生每人每年学费标准（元/学年）》确定不同地区学费方法：（1）有明确数据时，直接确定学费，如天津市，一般专业4200元，则天津市本科高校一般专业学费为4200；
（2）数据模糊时，如4000元-5000元，则采用取平均值的方法，取学费为4500元；
（3）数据缺失时，如一般专业4200元，… ，艺术类10000元，则根据邻近地区数据确定热门专业相当一般专业的向上浮动百分比，如20%，怎
热们专业学费为4200×（1＋20%）=5040元，补全数据。

四、模型假设
4.1 生均事业性费用与生均培养费用以及生均教育成本等价。

4.2生均投入费用是生均计划内事业性经费与生均所得社会捐赠，学校自筹
经费的和
4.3在考虑某类型高校中，忽略单个学校的偏差对总体平均的影响，例如在
北京地区清华大学的年投入经费约为36亿远远大于其他学校，但在考虑北京地区的高校投入经费时只考虑其平均值。

4.4 各类搜集的资料内容可靠真实。

五、符号说明
1f ……………………….高校学费。

2f ……………………….生均教育成本（生均事业性经费）。

3f ……………………….生均教育投入经费（生均预算内事业性经费及学校自筹
资金与社会捐赠资金的生均值之和）。

4f ……………………….学生所在地的家庭人均年收入。

5f ………………………..学生所家庭所在地的人均GDP
六、模型的建立及求解
6.1 评价模型建立
6.1.1 问题分析
首先确立评价学费合理性的影响因素，《高等学校收费管理暂行办法》中制定的标准为学费占生均教育培养成本的比例不得超过25％；国际平均标准：学费占家庭平均年收入的15%～20%左右；学费占人均GDP10％左右。

分别从这几条标准中提取出以下四条准则:
(1)学费不得超过生均教育成本的25%；
(2)学费与国家生均拨款及学校自筹资金与社会捐赠资金的生均值之和不得少于生均教育成本
(3)学费不得超过学生家庭收入的20%
(4)学费不得超过学生所在地人均GDP 的10%； 用数学语言表示： (1)120.25f f ≤用1A 表示； (2)132f f f +≤用2A 表示；
(3)120.2f f ≤用3A 表示； (4)150.1f f ≤用4A 表示；
本文以1234,,,A A A A 准则，12345,,,,f f f f f 为方案，学费合理性指标A 为目标建立层次分析模型；
6.1.2 方案层和准则层
方案层取为12345{,,,,}f f f f f ；对于准则 1234,,,A A A A 将其归一化，仍用
1234,,,A A A A 表示：
1212110.250.25/f f A f f ≤⎧=⎨
⎩其他；
2132132
1()/f f f A f f f ≤+⎧=⎨
+⎩其他
；
13331
1
15
A 1/5
f f f f
⎧≤
⎪⎪=⎨
⎪⎪⎩其他
；
14441
10.150.15/f f A f f ≤⎧⎨
⎩其他
；
其中1A 234,,A A A 分别是对四个准则的等价，显然当满足四个准则个准则时1A 234,,A A A 对应的值也越大，于是选取准则层为}{1234,,,A A A A ;并把学费的合理性作为目标，用A 表示学费的合理性指标。

采用线性加权法得到综合评价模型函数：
11223344A A A A A w w w w =+++；
(A 值越大表示学费满足准则的情况越好，学费越合理)
其中(1,2,3,4)i w i =为(1,2,3,4)i A i =所对应的权系数，并且有4
11i i w ==∑；
权重系数的生成见模型求解。

6.1.3 成对比较阵的确定及权系数的确定 首先建立比较尺度，比较尺度是由客观与主观的判断给定的，本文选用1-9
在对最终指标的影响上，由于4A 都是国际标准没有考虑到中国地区的差异的严重性对应的权系数相对较低，而2A 高校能够正常教学的基本保障，在对合理性指标A 的影响上2A 对A 值的影响绝对强于4A 对A 值的影响，于是取
2A :4A =8:1;1A 是我国制定的一个学费与培养成本比例的标准，其对A 值的影响稍强于4A 对A 值的影响，取1A :4A =2:1；3A 是家庭收入与学费之间的比值的一个标准，代表的是学生对学费的可支付能力，其对合理性指标A 的影响强于4A ，取3A :4A =4:1;对于2A ,3A 学校能否正常的运作是前提条件,其对指标A 的影响稍强于学生的支付能力对指标A ，取2A :3A =3:1;对于1A ,3A 学生支付学费的能力直接影响到学生对学费的满意程度而学生的满意程度直接影响到学费合理性指标A 的取值，而学费与培养成本之间的比值对对最终指标值A 的影响是间接的，于是3A 对A 值的影响应该是稍强于1A ，取1A :3A =1:2;对于1A ,2A 学校对于学费的满意度直接影响到了最终的A 值,1A 对最终指标值A 的影响是间接的，但是1A 对
2A 的取值有一定的影响，在对学费合理性指标A 的影响上2A 强于1A ，取
1A :2A =1:4;于是得到1234,,,A A A A 的成对比较阵：
111242
4138121431111284B ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
；（注：B 中数据是综合大量资料中专家的观点认定。

）
调用Matlab 的eig()函数，计算得出：B 的最大特征根 4.02λ=，一致性指标0.00691n CI n λ-=
=-，一致性比率0.00770.01CI
CR RI
==<,这里的RI 为随机一致性指标，其中当4n =时有，0.90RI =所以B 通过了一致性检验。

又由
BW =W λ,得归一化的特征向量(0.1287,0.5731,0.2337,0.0644)W =，于是得到综
合评价模型函数：
12340.12870.57310.23370.0644A A A A A =+++
6.1.4 结果及结果分析
按照第一部分对数据的统计分析本文选定北京、上海、天津；中部的河北、安徽、湖南；西部的四川、重庆、甘肃来做评价。

由附件1中的这九个省市各个性质高校的各个类型的专业的学费，各省市的生均成本费用，各省市的生均投入资金，各省市的城镇和农村的家庭收入情况以及各省市的人均GDP 各省市的教育经费指标值，在计算某地区的某类高校的某个专业在某省市的城镇或农村（生源）的学费合理性指标值时只需要将高校的某类专业的学费1f ，高校所在地的生均教育成本2f ，生均投入经费3f ，以及生源所在地的家庭收入4f 与人均GDP 5f 带入评价指标中即可。

例如在计算北京地区中央高校的一般专业在北京城镇(生源)的学费的合理性指标值时，从附录1中 得出
15500f =，235590f =，330055f =474264f =，557431f = 算得
10.9991A =,20.9990A =,31A =,41A =；
0.9992A =;即北京地区中央高校的一般专业在北京城镇(生源)的学费的合理性的综合评判函数值为0.9992。

按照这种方法，本文采用matlab 编程可以计算出任意高校的的任意专业在任意地区的学费合理性评价指标值。

但是对于单独的值对问题分析的意义不大，于是首先考虑各省市高校的某类专业在全国范围内(分农村和城市)的平均的学费合理性评价指标值。

对于某省市的高校在全国范围内的评价指标本文采用对东，中，西部的几大典型省市的评价指标值的平均来计算，即是：
1
n
ki
i k A
A n
==
∑=1
n
ki
i k A
A n
==
∑；（k A 表示某一个高校的某个专业收费在全国的平均合
理度，ki A 表示某一个高校的某个专业收费在某一地区i 的合理性指标的值） 在东部选取：北京，上海，天津；
在中部选取:：河北，安徽，湖南； 在西部选取：四川，重庆。

甘肃；
本文采用matlab 编程计算出九个省市在全国（生源）的评价指标值，从结果可以看到九个省市的中央院校的收费相对合理大多在0.9左右，只有湖南省的中央
虽然这些指标值相对于其他省市的对应值来讲比较低，但是这一系列指标值仍是比各省市地方院校和专科高职院校都要高。

所以中央院校的收费显然是各类院校中最合理的。

采用平均值的方法分别计算出东部，中部，西部的各类院校收费的指标值。

得到下表：
表9. 中部高校：
从以上结果可以发现，全国的各类院校的各个专业的学费中，东部院校的相应的学费更加合理。

这主要是因为我国东部经济发达，国家对与东部高校的拨款更多，社会对高校的捐赠资金更多，东部高校对于学费的依赖程度相对较低。

而中、西部院校由于国家拨款和社会捐资较少，学校常常要向学生征收相对较高的学费以补充教育经费的不足。

西部的中央院校的学费比中部的中央院校的学费更合理，造成这种结果的主要原因是西部的消费水平比较低导致培养学生的成本相对较低，学校不需要向学生征收很高的学费，而学生也能够承受这样的学费。

于是西部的学费就显得更合理。

中部的专科高职类院校的学费比西部的专科高职类学校的学费更合理，主要
原因是由于中部的经济相对于西部来说更发达，而专科高职类学校的学费受到地方的财政收入的影响较大，财政年收入越高投入教育的资金也会越高，这样就缓解了生源与学校在学费上的对立程度，使得学费容易被两方面所接受，于是所得到的合理性指标A 值也会越大。

（程序及详细结果见附录2）
6.2最优的合理学费收取对策模型 6.2.1 问题分析
从学校和学生对高校学费收取策略的满意度出发，来讨论最优的学费收取方案。

学生的满意度，是建立在自身家庭经济承受能力的基础上对高校学费的满意程度，而学校的满意度则是基于学生培养质量对高校学费的满意程度。

两者的关系是相互关联的。

如果学费过高，那么学生的经济负担过重，一方面势必影响学生的学习，从而降低了学校的学生培养质量，另一方面会迫使学生家庭生活开支紧张，这也是学校不乐意看到的局面；如果学费过低，学生的培养质量达不到要求，学生的满意度自然也不会很高。

因此，必然存在一种最优的学费收取对策，使得学生与学校的满意度达到均衡。

6.2.2对策模型的建立
将学生的满意度和学校的满意度作为假想的局中人，分别设为α，β， 不妨
α
开始采取的策略分别为取平均家庭收入的1α、2α、….、p α(百分比)作为
他的p 种β决策，采取的策略为生均培养成本的1β、2β、…、q β（百分比）作为他的q 种决策，
α
的某种策略对β的某种策略形成的满意度指标，用来表示
双方的综合满意度，根据学费评价模型，综合满意度即A ，
12340.12870.57310.23370.0644A A A A A =+++ ，
121211
0.250.25/f f A f f ≤⎧=⎨
⎩其他；
2132132
1()/f f f A f f f ≤+⎧=⎨
+⎩其他
；
13331
1
15
A 1/5
f f f f
⎧≤
⎪⎪=⎨
⎪⎪⎩其他
；
14441
10.150.15/f f A f f ≤⎧⎨
⎩其他
；。