高中数学(苏教版选修2-2)配套习题第一章 导数及其应用1.2.3 Word版含解析

简单复合函数的导数
明目标、知重点.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如(＋)的导数)．
．复合函数的概念
一般地，对于两个函数＝()和＝()，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为＝()和＝()的复合函数，记作＝(())．
．复合函数的求导法则
复合函数＝(())的导数和函数＝()，＝()的导数之间的关系为′＝′·′.即对的导数是对的导数与对的导数的乘积．
探究点一复合函数的定义
思考观察函数＝及＝(＋)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？
答
＝是由＝及＝相乘得到的；而＝(＋)是由＝＋与＝(>－)经过“复合”得到的，即可以通过中间变量表示为自变量的函数，所以＝(＋)称为复合函数．
思考对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？
答
复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出＝()；再根据内层的主体函数结构找出函数＝()，函数＝()和＝()复合而成函数＝(())．
思考在复合函数中，内层函数的值域与外层函数的定义域有何关系？
答⊆.
小结要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将
其分拆成几个基本初等函数的方法．
例指出下列函数是怎样复合而成的：
()＝(＋)；()＝(－＋)；
()＝.
解()＝(＋)是由函数＝，＝＋复合而成的；
()＝(－＋)是由函数＝，＝－＋复合而成的；
()＝是由函数＝，＝复合而成的．
反思与感悟分析函数的复合过程主要是设出中间变量，分别找出和的函数关系，和的函数关系．
跟踪训练指出下列函数由哪些函数复合而成：
()＝；()＝；()＝ (＋)．
解()＝，＝；
()＝，＝；
()＝，＝＋.
探究点二复合函数的导数
思考如何求复合函数的导数？
答
对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：()弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；()利用求导法则分层求导；()最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第()步回代的过程．
例求下列函数的导数：
()＝(－)；()＝；
()＝(－＋)；()＝＋.
解()原函数可看作＝，＝－的复合函数，则′＝′·′＝()′·(－)′＝·＝(－)；
()＝＝(－)－可看作＝－，＝－的复合函数，则′＝′·′＝(－)－·(－)＝(－)－＝；。