五轴数控系统rtcp及倾斜面加工功能的研究与实现

3.4 RTCP与后置处理 (32)
3.5 本章小结 (35)
第四章五轴倾斜面加工技术研究 (36)
4.1 倾斜面加工控制方案设计 (36)
4.2 倾斜面加工运动学基础 (37)
4.2.1 正向运动学计算 (37)
4.2.2 逆向运动学计算 (43)
4.2.3 相关中间量的转换 (45)
4.3 刀具轴方向控制 (47)
4.4 倾斜面空间轨迹规划 (52)
4.5 本章小结 (52)
第五章五轴机床RTCP和倾斜面加工技术的实现与验证 (53)
5.1 RTCP技术的实现与验证 (53)
5.1.1 RTCP技术的实现 (53)
5.1.2 RTCP技术的验证 (55)
5.2 倾斜面加工技术的实现与验证 (58)
5.2.1 倾斜面加工技术的实现 (58)
5.2.2 倾斜面加工技术的验证 (59)
5.3 本章小结 (62)
第六章总结与展望 (63)
参考文献 (65)
附录A NC代码A-1 (69)
发表论文和参加科研情况说明 (70)
致谢 (71)
图清单
图2-1 双摆头五轴结构机床 (12)
图2-2 双转台五轴结构机床 (13)
图2-3 摆头与转台五轴结构机床 (13)
图2-4 双摆头五轴机床摆头端结构参数 (15)
图2-5 BA双摆头正交五轴机床 (16)
图2-6 双转台五轴机床转台端结构参数 (18)
图2-7 AC双转台正交五轴机床 (19)
图2-8 摆头与转台五轴机床结构参数 (21)
图2-9 BA摆头与转台五轴机床 (22)
图3-1 转动形式不同而引起的误差 (24)
图3-2 平动和转动引起的误差 (26)
图3-3 RTCP功能 (27)
图3-4 RTCP功能模型分析 (27)
图3-5 工件坐标系与工作台坐标系作为编程坐标系 (28)
图3-6 刀具中心点轨迹和控制点轨迹 (31)
图3-7 RTCP模块与后置处理模块 (33)
图4-1 倾斜面加工运动学框架 (37)
图4-2 特性坐标系 (37)
图4-3 Z-X-Z欧拉角定义特性坐标系 (38)
图4-4 X-Y-Z RPY角定义特性坐标系 (39)
图4-5 双向量定义特性坐标系 (40)
图4-6 三点定义特性坐标系 (41)
图4-7 投影角定义特性坐标系 (42)
图4-8 输出角度判定策略 (50)
图4-9 转动角度判定 (51)
图4-10 计算角度及工作范围 (52)
图5-1 CA双摆头正交偏置型五轴机械手 (55)
图5-2 未开启RTCP功能时的动作 (57)
图5-3 开启RTCP功能时的动作 (57)
图5-4 二维平面图形刀路文件 (60)
图5-5 二维刀位文件映射到三维 (60)
图5-6 五轴倾斜面加工示教软件 (61)
表清单
表1-1 国内外数控厂商RTCP功能开发情况 (3)
表1-2 国内外数控厂商倾斜面加工功能开发情况 (6)
表2-1 五轴机床结构形式 (11)
表3-1 工作台坐标系为编程坐标系时的非线性误差补偿量 (30)
表3-2 工件坐标系为编程坐标系时的非线性误差补偿量 (32)
表4-1 五轴机床刀具轴旋转计算基本角度 (48)
字母注释表
英文字母
X, x, X ∆, d X , x p , x d X 轴方向坐标值 (mm) Y , y, Y ∆, d Y , y p , y d Y 轴方向坐标值 (mm) Z, z, Z ∆, d Z , z p , z d
Z 轴方向坐标值 (mm) I, i 刀轴矢量在X 轴方向分量 (mm) J, j 刀轴矢量在Y 轴方向分量 (mm) K, k 刀轴矢量在Z 轴方向分量 (mm)
A, a, a ∆ A 轴旋转角度值 (°) B, b, b ∆ B 轴旋转角度值 (°) C, c, c ∆
C 轴旋转角度值 (°)
A P 点P 在坐标系A 下的坐标值 (mm) B
P
点P 在坐标系B 下的坐标值 (mm) A B
P
坐标系B 的原点在坐标系A 下的坐标值 (mm) A
B R
坐标系B 相对于坐标系A 的变换矩阵 (3×3)
()Rotx θ 绕X 轴旋转角度θ (3×3) ()Roty θ 绕Y 轴旋转角度θ (3×3) ()Rotz θ 绕Z 轴旋转角度θ (3×3) ()Rotu θ
绕任意轴u 轴旋转角度θ (3×3) A B T
坐标系B 相对于坐标系A 的变换矩阵 (4×4)
1A
B T −
矩阵A B T 的逆
(,,)Trans X Y Z 分别沿X 、Y 、Z 轴平移X 、Y 、Z (4×4)
(,)Rot x θ 绕X 轴旋转角度θ (4×4) (,)Rot y θ 绕Y 轴旋转角度θ (4×4) (,)Rot z θ 绕Z 轴旋转角度θ (4×4) (,)Rot u θ
绕任意轴u 轴旋转角度θ (4×4)
w t T
刀具坐标系相对于工件坐标系的变换矩阵 (4×4) m t T
刀具坐标系相对于机床坐标系的变换矩阵 (4×4) m
w T 工件坐标系相对于机床坐标系的变换矩阵 (4×4)
w t P
刀具中心点在工件坐标系下的位置 (mm) w
t D
刀具轴线矢量在工件坐标系下的姿态
d C
机床各轴运动指令 (mm) f θ
绕第一旋转轴旋转角度θ (°) s θ 绕第二旋转轴旋转角度θ (°) R 刀具相对运动球空间半径 (mm)
r 刀具半径 (mm) RCS 两旋转轴交点坐标系 WCS 刀具中心点坐标系 L, 'L
RTCP 刀具轨迹 (mm) 0S , 0'S CAM 刀具轨迹 (mm) 1S , 1'S 第一旋转轴运动时刀具轨迹 (mm) 2S , 2'S 第二旋转轴运动时刀具轨迹 (mm) 3S , 3'S 机床实际合成运动时刀具轨迹 (mm)
0n •
, 1n •
, 2n •
刀轴矢量
w f T
特性坐标系相对于工件坐标系的变换矩阵
f n
第一旋转轴 s n 第二旋转轴 a θ A 轴旋转角度θ (°) b θ B 轴旋转角度θ (°) c θ
C 轴旋转角度θ (°) 1f θ, 2f θ 第1旋转轴计算基本角度 (°) 1s θ, 2s θ 第2旋转轴计算基本角度 (°) min θ 计算基本角度最小值 (°) max θ 计算基本角度最大值 (°)
希腊字母
α, β, γ
欧拉角(4.2.1.1节)； RPY 角(4.2.1.2节)； 投影角(4.2.1.5节) (°)
英文缩写
RTCP Rotational Tool Center Point, Real-time Tool Center Point rotation TCPM
Tool Center Point Management
TCPC Tool Center Point Control NURBS Non-Uniform Rational B-Splines TCP Tool Center Point
RPY Roll Pitch Yaw
sθsinθ
cθcosθ
s sin a
a
c cos a
a
s sin b
b
c cos b
b
s sin c
c
c cos c
c
第一章绪论
1.1课题研究背景及意义
制造技术及其装备是国民经济和国防建设最基础的生产资料，而数控系统及其周边技术和产业，如CAD/CAM，DNC，FMS，CIMS，MES和MRP-Ⅱ等已成为先进制造工业装备的重要组成部分，其技术水平的高低直接决定了一个地区、一个国家乃至整个世界科技文明发展水平状况。

因此，工业发达国家一方面大力发展本国数控技术，抢占科技战略制高点，加速国民经济发展及提升在国际社会的综合竞争力；另一方面对发展中国家进行技术封锁和相关限制政策[1,2]。

如今“MADE IN CHINA”的产品已经遍布全球，这是自十九世纪中叶以来，我国制造业再次重返世界第一，但中国制造同时也表现出质量不可靠，大而不强，附加值低，高耗能，缺乏核心竞争力。

德国政府于2013年4月提出的《德国工业4.0战略计划实施建议》和我国随后提出的“中国制造2025”和“互联网+”等概念为我国结构调整和产业升级提供助力，为实现跨越式发展甚至弯道超车提供可能，以上国家战略都将智能制造作为未来工业的主攻方向[3,4]。

1.2五轴数控加工技术
随着人们生活水平的提高，个性化、定制化和客制化产品的需求日益强烈，针对这种多品种、小批量而且往往空间造型复杂的产品，传统的三轴加工技术和制造方式无法做到快速响应市场的需求。

五轴加工技术以其在加工空间复杂曲线、曲面的独有优势，成为航空航天、海洋船舶、模具加工、汽车制造和国防军工等产业的基础保障。

典型的五轴机床有三个平动轴和两个转动轴，两旋转轴的加入，使得刀具在加工时空间位姿能够灵活多变，可以达到空间任意位置，所以五轴数控机床具有以下特点[5-7]。

1. 空间位姿灵活
五轴数控机床刀具的轴线可以随旋转轴的旋转而发生改变，可以有效的避免刀具干涉问题，尤其适用于大型、异型复杂零件的加工。

2. 加工效率高
传统的三轴机床在加工时，刀具轴的轴线始终保持不变，切削过程中，切触点位置始终变化，这将无法保证切削量处于较大位姿，且当采用球头刀加工时，刀尖点的线速度为零，这将导致切削过程变为挤压过程，严重影响加工质量；而五轴数控机床由于旋转轴的加入，可以做到按实际需求改变刀具与工件的相对位姿，使切触点的线速度最大，提高加工效率和质量。

3. 减少装夹次数
传统的三轴机床，若要实现对复杂零件的加工时，需要配合使用组合夹具等辅助设备，使加工平面与刀具轴线垂直，这一过程不仅耗费大量时间用于装夹工件等繁琐的工序，而且无法确保加工精度。

4. 机床刚度降低
由于在“刀具-工件”运动链上增加了两个空间旋转轴，则两个转动副将不可避免的降低机床刚度，因此，也可能导致相应的偏置、测量等误差，间接影响加工精度。

5. 非线性误差
两个旋转轴的引入，使得实际串联结构机床的运动轴在三维空间线性合成，从而导致刀尖点的运动轨迹偏离编程所规划的理想路径，产生非线性误差，这种误差一般比较小，但是在奇异点将会严重影响加工质量。

6. 加工代码编写及维护要求高
五轴数控机床的刀具不仅位置随运动轴的运动而变化，而且姿态也不断随之改变，这将导致空间运动形式理解起来较为困难，进而对代码的编写要求较高，虽然五轴机床的加工代码都采用自动编程的方式，但同时也对后期的操作、维护人员提出了更高的要求。

1.3相关技术与研究现状
1.3.1五轴数控系统RTCP技术与研究现状
五轴联动串联机床，不仅含有移动副（X，Y，Z轴），而且还加入了转动副（A，B，C轴按一定原则选两个），一方面，对于刀具轴的轴线控制更加灵活多样，以此来达到较好的切削状态，从而有效地避免了刀具干涉，提高了加工零件的复杂度和精度，可以通过一次装卡完成复杂型面（如叶轮、叶片、螺旋锥齿轮、螺旋桨和曲轴等）的加工；另一方面，需要建立的数学模型更加复杂，同时，五个运动轴在三维空间的线性合成，会导致刀尖点的运动轨迹偏离编程所规划的理想路径，这种在串联结构机床中因旋转轴的旋转而导致的误差称之为非线性运动误差，为有效的补偿上述误差就需要RTCP技术[8-11]。

RTCP（Rotational Tool Center Point，旋转刀具中心点）的概念最早由意大利FIDIA提出，具体的解释是刀轴轴线的旋转中心点是刀具中心点（若加上空间半径补偿，则为刀尖点），而不是刀座（或称为刀架）的控制点或旋转轴的交点，即RTCP在一定程度上可以理解为一种三维空间的长度补偿方式。

美国PA公司将其类似的技术也称之为RTCP（Real-time Tool Center Point rotation，实时刀具中心点旋转），德国HEIDENHAIN开发出的RTCP技术则称为TCPM（Tool Center
Point Management，刀具中心点管理），还有一些厂商将其类似的功能称之为TCPC（Tool Center Point Control，刀具中心点控制）。

即使世界各地的数控厂商取名不一，但功能大同小异。

德国SIEMENS在其高档数控产品810D/840D中利用TRAORI指令调用五轴转换功能。

德国HEIDENHAIN在其iTNC530上利用M128开启和M129复位TCPM功能。

日本FANUC在30i/31i/32i中开发了当机床结构为双摆头时，利用角度A、B、C指定刀具轴方向的G43.4指令和利用坐标值I、J、K指定刀具轴方向的G43.5指令；当机床结构为双转台或摆头转台时，G43.4指令代表编程坐标系为空间固定不动的工件坐标系，G43.5指令代表编程坐标系为固联在转台上随工作台一起转动的工作台坐标系。

台湾新代科技和广州数控则开发出类似于FANUC的G43.4指令。

华中数控在其HNC-08M数控系统中添加了刀具三维空间长度补偿的G43.4和G44.4指令，同时编程坐标系通过M128/M129开启/关闭工作台坐标系，系统默认为工件坐标系。

具体情况如下表1-1所示。

表1-1 国内外数控厂商RTCP功能开发情况
Table 1-1 Development of RTCP function of NC manufacturers at home and abroad
项目SIEMENS HEIDENHAIN FANUC 新代科技广州数控华中数控产品型号810D/840D iTNC530 30i/31i/32i 200 25i/218 08
启动指令TRAORI M128 G43.4
/G43.5
G43.4 G43.4
G43.4
/G44.4
(+M128)
终止指令TRAFOOF M129 G49 G49 G49
G49 (+M129)
不具备RTCP的机床在处理空间复杂曲线、曲面的时候，则需要额外使用CAM系统的后置处理，弄清工件坐标系、刀具坐标系和机床坐标系三者的相互转换，以此获得各轴相应的运动指令，而在五轴串联机床中，因引入了两个旋转轴，若机床结构为正交，则刀具旋转中心为两旋转轴交点，所以刀具的位姿也因此而随之产生改变。

若旋转半径（刀尖点到旋转中心的长度）发生变化，则CAM 程序不能继续使用，进而影响实际加工。

当开启RTCP功能时，刀具的旋转中心为刀尖点，不会随着刀具的长度、位姿发生改变而改变，与CAM系统刀位文件形式相同，且各运动轴、机床、工件等的偏置、安装误差等可以保存到内部专用寄存器，由数控系统完成CAM系统后置处理中的运动变换等功能，所以由CAM系统生成的程序可以多次使用，而不用理会具体的机床结构，从而有效的保障零件加工时的效率和精度。

由上及相关文献、文档可知，广义RTCP具有以下功能[12,13]：
1. RTCP有效时，刀尖点位置不随旋转轴的旋转而改变；
2. 数控系统可以直接指令刀尖点速度；
3. 具有多坐标运动变换功能；
4. 具有旋转轴、工件、夹具等偏心处理功能；
5. 具有运动轴的前瞻控制功能。

目前在FANUC、SIEMENS等较为知名的高档产品中，RTCP技术已较为成熟，但因涉及核心技术及商业机密等问题，鲜见相关技术资料。

国内数控系统厂商虽然也进行了大量研究，但实际商用效果还不是很好。

国内相关科研机构和高校也在该方面也有较多成果。

陈良骥[14]提出了一种五轴双摆头机床的刀具长度补偿方法，但没有对非线性误差进行分析。

赵薇[11]给出了6种以工件坐标系为编程坐标系的非线性误差补偿公式，但并未考虑工作台坐标系的情况。

张香玲[15]对比分析了机床坐标系和工件坐标系，从数学建模和加工效果两个方面，指出基于机床坐标系的不足。

乔志峰[16]基于双NURBS曲线对AC双转台、CA双摆头和AC 摆头与转台机床的非线性误差，从三维空间的角度给出了一种具有自适应精度的控制方法。

章永年[17]研究了AB双摆头五轴机床RTCP功能开启时，实际加工的干涉情况。

支劲章[13]从运动学解耦的角度，详细地分析了实际刀具中心点运动轨迹是一条空间曲线，而不是理想的圆弧或平面曲线，给出了RTCP技术在工作台坐标系下的补偿公式，并将其推广到非正交情况，但并未对其提出的理论进行实验仿真及加工验证。

刘峰[18]在蓝天数控系统上开发了基于后加减速的插补级别RTCP功能，对进给速度进行控制，同时可以做到运动的平滑处理。

邓梦[19]分析了开启RTCP时，伺服系统对实际加工中的刀具底端中心点运动路径的影响。

董杰[20]以单一方程式描述切削平面上任意切触点与刀具底端的中心点间相互对应关系，推导出机床与刀具两端独立运动链的运动转换关系式，完成逆向运动学分析，获得五轴机床各轴运动量。

邱婉婷[21]研究了针对短线段长旋转、长线段短旋转、短线段短旋转、长线段长旋转四种形式路径的五轴插补算法，并使用S型加减速针对TCP以及旋转轴进给速度进行平滑化。

Sun Y W[22]研究了一种基于双重NURBS曲线的自适应进给速度调度的插补方法，可连续、准确地描述刀具底端的中心点的位置和刀轴矢量。

Beudaert X[23,24]也对双重NURBS曲线进行RTCP 插补，针对NURBS曲线及G01路径提出一种同时满足TCP以及五轴急行限制的五轴离线插补算法。

Lin M T[25]提出了调整伺服控制的方式来实现五轴联动的动态匹配，用于改善切削轨迹轮廓特性，同时对稳态轮廓误差(SSCE) 模型的分析，得到TCP的轮廓图包括三个行为：调幅单圈，双圈和偏置，并且[26]加入基于五轴命令的迭代学习控制(FCILC) 的新方法以改善TCP功能。

其后[27]其又提出了一种具有实时预读功能的TCP插补器构架，该构架可以针对TCP搭配旋转
轴NC代码生成满足TCP急行限制的速度规划，同时满足特定时间的实时插补需求。

Gebhardt M[28]又将温度引起的热误差引入到TCP功能中。

综上所述，国外相关技术资料比较罕见，从说明书等资料可以看出广义的RTCP/TCP功能不仅仅包括坐标变换功能，还涉及前瞻、偏置、伺服控制、加减速、平滑插补和热误差等功能。

本文以五轴机床正逆运动学变换公式为基础，从运动学解耦的角度，对非线性误差进行三维空间定性分析，进而研究RTCP补偿其过程。

1.3.2五轴数控系统倾斜面加工技术与研究现状
五轴加工技术从同时参与联动的轴的个数来看，可将其分为五轴联动加工技术和五轴定位加工（也称为3+2加工）技术，其中五轴定位加工以其编程方便和不涉及五轴联动带来的各种误差等优点，占据五轴数控加工市场不可动摇的地位。

五轴数控系统倾斜面加工是五轴定位加工的重要组成部分，在实际生产加工中，常要在一个倾斜面上完成铣削、钻孔或镗孔等加工工序，或要实现一次装夹在不同的空间倾斜面上实现以上一种或者多种加工工序。

若采用三轴联动加工，则需要配合使用组合夹具等辅助设备，这一过程不仅耗费大量时间用于装夹工件等繁琐的工序，而且无法确保加工精度。

若选用五轴联动加工，一方面编程和调试要求比较高，影响加工效率；另一方面在加工过程中，旋转轴未被锁定，降低了机床刚度，可能会导致机床产生抖动及带来非线性误差问题，进一步影响加工精度。

因此，此时就需要开发一种专门针对倾斜面加工的五轴倾斜面加工功能，该功能既能实现工件坐标系和刀具坐标系的相对转动，又能保证在加工过程中旋转轴处于锁定状态，满足一次装夹完成多种加工工序的需求。

目前国内外一些大型数控系统厂商都已经实现了基本的倾斜面加工功能，德国SIEMENS在其810D/840D系列产品中添加了类似G54，G55的FRAME功能（直译为框架功能）和3+2加工功能的CYCLE800；德国HEIDENHAIN在其高档数控产品iTNC530中也开发了PLANE功能；日本FANUC在其Series 30i/31i/32i CNC产品中分别开发了按五种常规方式定义特性坐标系的G68.2指令、按刀具轴方向的方式定义特性坐标系的G68.3功能、按能实现多增量叠加定义特性坐标系的G68.4指令和能实现刀具轴始终垂直于倾斜面的G53.1指令；台湾新代科技也在其泛用控制器10系列和串列21系列和200系列中可选配类似FANUC的G68.2、G68.3和G53.1指令，同时开发出倾斜面加工教导功能；广州数控也在其中高档加工中心系统GSK 218MC和高档数控系统25i开发出类似FANUC的G68.2和G53.1指令；华中数控在HNC-08M数控系统中将其开发的三点、双矢量、空间角和欧拉角建立的特性坐标系分别命名为G68.1、G68.2、
G68.3和G68.4指令，以及在刀具轴方向控制时，只有旋转轴运动，直线轴不作补偿运动的G53.1指令和移动旋转轴的同时，直线轴作补偿运动的G53.2指令。

具体情况如下表1-2所示。

表1-2 国内外数控厂商倾斜面加工功能开发情况
Table 1-2 Development of tilted working plane command of NC manufacturers at home and
abroad
项目SIEMENS HEIDENHAIN FANUC 新代科技广州数控华中数控产品型号810D/840D iTNC530 30i/31i/32i 10/21/200 25i/218 08
启动指令
FRAMES
/CYCLE800
PLANE
SPATIAL
G68.2
/G68.3
/G68.4
+G53.1
G68.2
/G68.3
+G53.1
G68.2
+G53.1
G68.1
/G68.2
/G68.3
/G68.4
+G53.1
/ G53.2
终止指令
G53/G153
/SUPA/G500
PLANE RESET G69/G69.1 G69 G69 G69
由表1-2可以看出德国SIEMENS和HEIDENHAIN等欧美数控系统厂商属于一个类似于高级编程语言的体系，FANUC等属于另一个G代码的体系，而且SIEMENS、HEIDENHAIN和FANUC等所研发的倾斜面加工指令比较全面，不仅能实现基本的欧拉角、RPY角、投影角、双矢量和三点等方式描述特性坐标系，而且可以实现多种不同指令叠加描述及针对不同机床的偏置进行补偿的功能。

国内数控厂商基本处于跟踪研究和技术突破阶段，虽开发出了基本的指令，但加工方式、加工精度和系统稳定性等方面与上述数控系统厂商还是存在不小的差距。

国内一些科研机构及高校也在五轴倾斜面加工领域做了大量有益的相关工作，黄真[29]系统而全面的介绍了12种欧拉角及其描述空间姿态的形式，并使用“脊线”的概念来描述运动平面的位姿特性。

辛舟[30]分析了类似投影角和三点方式描述倾斜面特性坐标系的方式，并分别将其与工程上常用的空间复合角进行转换。

卜霄菲[31]分别对典型的三种五轴数控机床进行运动学分析，并通过三种不同的方式定义了倾斜面上的特性坐标系，实现了倾斜面到平面的转化，但其将刀轴控制转化为欧拉角的方式，并不具有通用性。

段舒文[32]利用五轴框架运算技术，在工件坐标系下通过欧拉角、空间角、投影角、矢量和空间三点五种方式定义了空间特性坐标系，但并未将其内部算法进行详细阐述。

代星[33]对逆向运动学的双解问题结合实际机床的工作行程区间进行了研究，但其并没有考虑旋转角度相等的情况和其他结构类型机床的判定策略，因此不能很好的推广到其他结构类型机床。

目前对于五轴倾斜面加工的研究主要集中在正向定义特性坐标系方式上，本文以正向定义特性坐标系为基础，并对逆向运动学及中间相关量的转化进行研究，完善运动学环，对输入指令的验证及教导功能的进一步开发具有显著意义。

1.4课题主要研究内容
由上述各小节可知，五轴数控系统RTCP和倾斜面加工技术对于提高五轴加工的精度、光滑度和效率等方面具有重要意义，课题将针对以下几点进行研究：
1.对五轴数控机床空间刀位点位姿用齐次坐标变换矩阵来描述，并分别分析三大类五轴结构机床的特点，建立其运动学模型，以此为基础进一步研究刀具坐标系、机床坐标系和工件坐标系三者之间关系，同时给出通用五轴数控机床的正逆解计算公式，为后续章节的进一步研究提供运动学基础；
2.从运动学解耦的角度，定性分析五轴机床非线性误差的起因，随之引出RTCP技术，并对其技术解决方案进行详细分析，将编程坐标系为工作台坐标系和工件坐标系两种方式进行对比，给出对应的非线性误差补偿公式及其实现主体，最后将五轴数控系统内部的RTCP模块和CAM系统的后置处理模块进行对比；
3.对五轴倾斜面加工控制方案进行设计，建立工件坐标系与特性坐标系的转换关系式，将三维空间编程加工问题转化为二维平面问题。

围绕五轴倾斜面加工运动学基础，进一步完善整个运动学链，实现运动学闭环，逆向求解旋转轴所需的角度，并对双解问题给出输出角度判定策略；
4.对五轴数控系统RTCP和倾斜面加工技术相关算法进行编程实现和仿真、机床试验验证。

第二章 五轴数控机床运动学建模
五轴联动数控机床的加工由数控系统控制，空间工件和刀具可通过4×4的齐次坐标变换表示的位姿来描述。

当数控机床在执行加工任务时，上、下位机根据CAM 系统生成的NC 代码对末端执行器（工件和刀具）在机床坐标系、刀具坐标系和工件坐标系等中的位置及姿态进行控制，即为正向运动学问题，为问题分析。

在已知末端执行器的位置和姿态，对五轴控制指令中平动轴和旋转轴的运动变量进行求解过程，即为逆向运动学问题，为问题综合。

五轴机床的正逆向运动学变换关系式是五轴加工的基础。

2.1 五轴机床空间描述
数控机床加工工件的本质是通过空间工件与刀具之间的相对运动来实现的，所以对于空间工件与刀具位姿（位置和姿态）的描述是所有类型机床的运动控制基础。

在实际多轴加工中，刀具常采用以下两种姿态的描述形式：一是刀具底端中心点坐标值（位置X ，Y ，Z ）和刀轴矢量在XYZ 方向的分量（姿态I ，J ，K ）的组合，二是刀具底端中心点坐标值（位置X ，Y ，Z ）和刀具轴矢量从初始状态旋转到指定状态的角度值（姿态A ，B ，C ）的组合，两者之间也可以通过下节的正逆解公式相互转换。

五轴机床的位姿存在着相对运动状态与相对静止状态，其中相对静止又是相对运动的特殊情况，因此分析相对运动的情况即可。

坐标系既包含有位置，又含有姿态，所以空间可以用坐标系来完整描述。

根据位姿是否相同，可分为平移运动（姿态相同）和旋转运动（位置相同）。

2.1.1 普通坐标变换
1. 平移运动变换：
=A
A B B P P P +
(2-1)
此时，坐标系的姿态相同，公式(2-1)中的A P 和B P 分别表示点P 处于坐标系A 和坐标系B 中3×1的位置，A B P 表示坐标系B 的原点处于坐标系A 中3×1的位置。

[]=T
A
B P x y z
(2-2)
2. 旋转运动变换：
=A A B B P R P
(2-3)。