高中数学5-2导数的运算5-2-3简单复合函数的导数课后提能训练新人教A版选择性必修第二册

第五章 5.2 5.2.3
A 级——基础过关练
1．函数f (x )＝sin 2
x 的导数是( ) A ．2sin x B ．2sin 2
x C ．2cos x
D ．sin2x
【答案】D 【解析】y ＝sin 2
x 写成y ＝u 2
，u ＝sin x 的形式．对外函数求导为y ′＝2u ，对内函数求导为u ′＝cos x ，故可以得到y ＝sin 2
x 的导数为y ′＝2u cos x ＝2sin x cos x ＝sin 2x .故选D ．
2．已知函数y ＝cos(ln x )，则y ′＝( ) A ．－sin(ln x ) B ．sin(ln x )
x
C ．－sin(ln x )x
D ．cos(ln x )x
【答案】C 【解析】y ＝cos(ln x )写成y ＝cos u ，u ＝ln x ，y ′＝－sin u ，u ′＝1
x
，
故可以得到y ′＝－sin(ln x )
x
.故选C ．
3．已知函数f (x )＝sin2x
x
，则f ′(x )＝( )
A ．
x cos2x －sin2x
x 2
B ．
x cos2x ＋sin2x
x 2
C ．2x cos2x －sin2x x
2 D ．2x cos2x ＋sin2x
x
2
【答案】C 【解析】因为f (x )＝sin 2x x ，故f ′(x )＝(sin 2x )′x －sin 2x ·x ′
x
2
＝2x cos 2x －sin 2x
x
2
.故选C ． 4．(2022年南京期末)已知f (x )＝2x ＋1＋e －x
，则f ′(0)＝( ) A ．0 B ．2 C ．3
2
D ．－12
【答案】A 【解析】∵f ′(x )＝12(2x ＋1)－12×2＋e －x
×(－1)＝12x ＋1－1e x ，∴f ′(0)
＝1－1＝0.故选A ．
5．曲线y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在x ＝π6处切线的斜率为( )
A ．2
B ．－2
C ．12
D ．－12
【答案】B 【解析】由f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，得f ′(x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝－2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝－2.故选B ．
6．(多选)设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<2π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ的可能取值为( )
A ．π
6
B ．5π6
C ．7π6
D ．11π6
【答案】AC 【解析】f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋5π6.若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则f (0)＋f ′(0)＝0，即0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋5π6，因此φ＋5π6＝k π(k ∈Z )．又因为φ∈(0，2π)，所以φ＝
π6或φ＝7π
6
.
7．曲线y ＝e x
2在点(4，e 2
)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A ．92e 2
B ．4e 2
C ．2e 2
D ．e 2
【答案】D 【解析】∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x 2′＝e x 2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2′＝12e x 2，∴k ＝12e x
2＝12e 2，∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，即y ＝12e 2x －e 2，与坐标轴的交点为(0，－e 2)，(2，0)，∴S ＝12
×|－e 2|
×2＝e 2
.
8．(2021年海南期末)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )在x ＝e 处的导数为1
e
2，则f ′(1)＝________．
【答案】1e 【解析】设g (x )＝f (ln x )，由复合函数的求导法则可得g ′(x )＝1
x
f ′(ln
x )．由题意可得g ′(e)＝1e f ′(1)＝1e 2，解得f ′(1)＝1e
.
9．若f (x )＝(2x ＋a )2
，且f ′(2)＝20，则a ＝________．
【答案】1 【解析】∵f ′(x )＝[(2x ＋a )2
]′＝2(2x ＋a )·(2x ＋a )′＝4(2x ＋a )，∴
f ′(2)＝4×(4＋a )＝20，∴a ＝1.
10．求下列函数的导数． (1)y ＝e 2x ＋1
；
(2)y ＝
1
(2x －1)
3；
(3)y ＝5log 2(1－x )； (4)y ＝sin 3
x ＋sin3x . 解：(1)函数y ＝e
2x ＋1
可看作函数y ＝e u
和u ＝2x ＋1的复合函数，
∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u
)′(2x ＋1)′＝2e u
＝2e 2x ＋1
.
(2)函数y ＝1(2x －1)
3可看作函数y ＝u －3
和u ＝2x －1的复合函数， ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u －3)′(2x －1)′＝－6u －4＝－6(2x －1)－4
＝－6(2x －1)4.
(3)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数， ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(5log 2u )′·(1－x )′＝ －
5u ln 2＝5(x －1)ln 2
. (4)函数y ＝sin 3
x 可看作函数y ＝u 3
和u ＝sin x 的复合函数，函数y ＝sin 3x 可看作函数y ＝sin v 和v ＝3x 的复合函数，
∴y x ′＝(u 3
)′·(sin x )′＋(sin v )′·(3x )′＝3u 2
·cos x ＋3cos v ＝3sin 2
x cos x ＋3cos 3x .
B 级——能力提升练
11．已知函数f (x )＝ln(2x －1)＋3xf ′(1)，则f ′(1)＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2
D ．3
【答案】B 【解析】因为f (x )＝ln(2x －1)＋3xf ′(1)，所以f ′(x )＝2
2x －1＋3f ′(1)，
令x ＝1，可得f ′(1)＝2
2×1－1
＋3f ′(1)，解得f ′(1)＝－1.
12．(多选)若直线y ＝1
2x ＋b (b ∈R )是曲线y ＝f (x )的切线，则曲线y ＝f (x )可以是( )
A ．f (x )＝x 3
＋2x 2
＋8 B ．f (x )＝tan x C ．f (x )＝x e x
D ．f (x )＝ln 1
2x ＋1
【答案】AC 【解析】因为直线y ＝1
2x ＋b (b ∈R )是曲线y ＝f (x )的切线，直线的斜率为
12，所以y ＝f (x )在某点处的导数值为12.由f (x )＝x 3＋2x 2＋8，可得f ′(x )＝3x 2＋4x ，令f ′(x )＝3x 2＋4x ＝12，即6x 2＋8x －1＝0，因为Δ＝82
－4×6×(－1)>0，所以f ′(x )＝12
有解，
故选项A 正确；由f (x )＝tan x ，可得f ′(x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin x cos x ′＝cos 2x ＋sin 2
x cos 2x ＝1cos 2
x ，令f ′(x )
＝
1cos 2x ＝12
，可得cos 2x ＝2无解，故选项B 不正确；由f (x )＝x e x ，可得f ′(x )＝e x ＋x e x
＝e x (x ＋1)，令f ′(x )＝e x (x ＋1)＝12
，即2x ＋2＝e －x ，作出y ＝2x ＋2和y ＝e －x
的图象如下．
所以f ′(x )＝12有解，故选项C 正确；由2x ＋1>0，可得x >－1
2，所以f (x )＝
ln
12x ＋1的定义域为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，＋∞，由f (x )＝ln 12x ＋1，可得f ′(x )＝－22x ＋1，令f ′
(x )＝－22x ＋1＝12，可得x ＝－52不满足x >－12，所以f ′(x )＝－22x ＋1＝12无解，故选项D 不
正确．故选AC ．
13．已知函数f (x )＝x e
x －a
，曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处的切线方程为y ＝3x ＋b ，则
a ＋
b ＝________．
【答案】－2 【解析】由题得y ′＝(x ＋1)e x －a
，所以y ′|x ＝a ＝a ＋1＝3，所以a ＝2，
所以f (x )＝x e
x －2
，所以f (2)＝2·e
2－2
＝2，所以切点为(2，2)，将(2，2)代入切线方程得b
＝－4，所以a ＋b ＝－2.
14．(2022年济宁期中)已知函数f (x )＝ln x 2x ＋a 且f ′(1)＝12，则a ＝________，曲线y
＝f (x )在x ＝e 处的切线斜率为________．
【答案】0 0 【解析】由f (x )＝ln x
2x ＋a ，得f ′(x )＝1x ·(2x ＋a )－2ln x (2x ＋a )2＝2＋a
x －2ln x (2x ＋a )2
.∵f ′(1)＝12，∴2＋a (2＋a )2＝12，得a ＝0，∴f (x )＝ln x 2x ，f ′(x )＝2－2ln x 4x 2＝1－ln x
2x
2
，则f
′
(e)＝1－ln e 2e
2
＝0，即曲线y ＝f (x )在x ＝e 处的切线斜率为0. 15．已知函数f (x )＝x 3
－4x 2
＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． 解：(1)因为f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，所以f ′(2)＝1. 又因为f (2)＝－2，
所以曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2， 即x －y －4＝0.
(2)设切点坐标为(x 0，x 3
0－4x 2
0＋5x 0－4)， 因为f ′(x )＝3x 2
－8x ＋5，
所以切线方程为y －(x 3
0－4x 2
0＋5x 0－4)＝(3x 2
0－8x 0＋5)·(x －x 0)， 即y ＝－2x 3
0＋3x 2
0x －8x 0x ＋4x 2
0＋5x －4.
因为(2，－2)在切线上，所以－2＝6x 2
0－2x 3
0－16x 0＋4x 2
0＋6.整理得(x 0－2)2
(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1.
当x 0＝2时，f ′(x 0)＝1，此时所求切线方程为x －y －4＝0； 当x 0＝1时，f ′(x 0)＝0，此时所求切线方程为y ＋2＝0.
故经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.。