高中数学(人教A版)必修第二册《第7章 复数》填空题专项练习(含答案解析)

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高中数学（人教A 版）必修第二册《第7章 复数》填空题专
项练习（含答案解析）
一、填空题
1．已知复数1z ､2z 满足123,1==z z ，若1z 和2z 的幅角之差为π3，则1212-=+z z z z ___________.
【分析】
分别设()1113cos isin z θθ=+，222cos isin z θθ=+，可得()()1121223cos isin z z θθθθ=-+-⎡⎤⎣⎦ ，由题意可得12π3θθ-=或12π3θθ-=-，即可得12z z ，再代入112122112122
1111z z z z z z z z z z z z ---==+++计算即可求解.
【详解】 因为123,1==z z ，设()1113cos isin z θθ=+，222cos isin z θθ=+， 所以()()()()()
111122122222223cos isin 3cos isin cos isin cos isin cos isin cos isin z z θθθθθθθθθθθθ++-==++- ()121212122222
3cos cos sin sin i sin cos cos sin cos sin θθθθθθθθθθ++-⎡⎤⎣
⎦=+ ()()12123cos isin θθθθ=-+-⎡⎤⎣⎦
11221122
11z z z z z z z z --=++ 由题意可知12π3θθ-=或12π3θθ-=-， 当12π3θθ-=
时，12ππ33cos isin 332z z ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
，
1122112211z z z z z z z z --=====++，
当12π3θθ-=-
时，12ππ33cos isin 332z z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
1122112211z z z z z z z z --====++
综上所述：1212z z z z -+
2．化简：366384500i i i ++=___________.
【答案】1
【分析】
根据复数的乘方法则计算可得.
【详解】
解：因为2i 1=-，3i i =-，41i =，所以3663845004912941265421i i 1i i i 1i i ⨯⨯+⨯++=+=++=+ 故答案为：1
3．已知复数21i
z =
+，则z =__________．
【分析】
根据复数的除法运算可得1i z =-，结合复数的几何意义即可求出模.
【详解】 由21i z =+，得22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，
所以z ==
4．已知2i z =+，则z =________
【答案】2i -##
【分析】
直接根据共轭复数的概念得答案.
【详解】
i 2z =+
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2i z ∴=-
故答案为：2i -.
5．复数13i 3i
+-的虚部是__________． 【答案】1
【分析】
根据复数除法法则化简即得结果.
【详解】 因为()()()
13i 3i 13i 10i i 3i 3i 3i 10+++===--+（），所以虚部为1. 故答案为：1
6．已知复数z 为纯虚数，若()2i i z a -=+（其中i 为虚数单位），则实数a 的值为___________. 【答案】1
2##
【分析】 先利用复数的除法运算化简i 2i a z +=
-，再根据实部等于0虚部不等于0即可求得a 的值. 【详解】
由()2i i z a -=+可得()()()()()i 2i 212i i 212i 2i 2i 2i 555a a a a a a z ++-+++-+====+--+， 若212i 55a a z -+=+为纯虚数，则2105205
a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩ 可得12a =， 故答案为：1
2.
7．若关于x 的实系数一元二次方程2380-+-=x mx m 有两个共轭虚数根，则m 的取值范围是________．
【答案】()4,8
【分析】
根据关于x 的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，由∆<0求解.
【详解】
因为关于x 的实系数一元二次方程2380-+-=x mx m 有两个共轭虚数根，
所以()()24380m m ∆=---<，
即212320m m -+<，即 ()()480m m --<，
解得 48m <<，
所以m 的取值范围是()4,8，
故答案为：()4,8
8．i 是虚数单位，复数
52i
=-___________. 【答案】2i +##
【分析】
分子分母同时乘以2i +即可得解.
【详解】
()()()52i 52i 2i 2i 2i +==+--+. 故答案为：2i +
9．若复数z 满足()1i 3i z +=+，则=z ___________.
【答案】2+i +2
【分析】
根据复数的除法运算先求出z ，进而求出z .
【详解】 由题意，()()3i 1i 3i 42i 2i 2i 1i 22
z z +-+-====-⇒=++. 故答案为：2i +.
10．已知方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根α，β，若3αβ-=，则m 的值是
___________. 【答案】52
【分析】
由已知结合实系数一元二次方程两个虚根互为共轭复数，设出α的代数形式，代入计算作答.
【详解】
因α，β是方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根，设i(,R)a b a b α=+∈，则i a b β=-， 由3αβ-=得：|i (i)||2|3a b a b b +--==，解得3||2
b =， 又2(i)(i)0a b a b m ++++=，即22()(2)i 0a b a m ab b -++++=，因R m ∈，
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于是得：22020
a b a m ab b ⎧-++=⎨+=⎩，解得12a =-，52m =， 所以m 的值是52
. 故答案为：52
11．已知()12i i z +=（i 为虚数单位），则z =___________.
【答案】1i +##
【分析】
根据复数代数的四则运算计算即可.
【详解】
()i 12i z +=,()()()
()212=1111i i i i i i i i i 1z -∴==
-=+++-. 故答案为：1i z =+. 12．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若
i 2i a -+为实数，则i a +的模为________．
【分析】 根据复数的乘除法运算求出
i 2i a -+，再根据i 2i a -+为实数求出a ，从而可得出答案. 【详解】 解：()()()()()i 2i 212i i 2i 2i 2i 5
a a a a ----+-==++-， 因为
i 2i a -+为实数，所以20a +=，所以2a =-，
则i 2i a +=-+=
13．已知m R ∈，复平面内表示复数22i (56)()--++m m m m 的点在虚轴上，则m=_____________．
【答案】1-或6
【分析】
根据复数的几何意义得对应点的坐标在虚轴上，解方程求得结果.
【详解】
复数对应点的坐标为2(56m m --，2)m m +，
若点在虚轴上，
则2560m m --=，解得1m =-或6m =．
故答案为：1-或6.
14．若i 是虚数单位，则12i 2i
++的虚部为___________. 【答案】35
## 【分析】 先化简12i 2i
++，然后可求虚部. 【详解】 因为()()()()12i 2i 12i 43i 2i 2i 2i 5
+-++==++-， 所以虚部为35
. 故答案为：35
##0.6. 15．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,5)-.则(1i)z -=___________.
【答案】28i --##
【分析】
根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.
【详解】
在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,5)-，则35i z =-，
所以(1i)(1i)(35i)28i z -=--=--.
故答案为：28i --
16．写出一个同时满足下列条件的复数z =________.①5z =；②复数z 在复平面内对应的点在第四象限.
【答案】34i z =-（答案不唯一）
【分析】
根据复数的几何意义以及模长公式得出答案.
【详解】
不妨令34i z =-，则5z ==，复数z 在复平面内对应的点()3,4-位于第四象限，满足①②，故34i z =-符合题意（答案不唯一）.
故答案为：34i z =-（答案不唯一）
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17．已知复数2i 2i
z -=
+（i 为虚数单位），则z 的模为______． 【答案】1
【分析】 利用复数的除法运算求出复数z 即可计算作答.
【详解】 依题意，2(2i)34i 34i (2i)(2i)555z --===-+-
，则||1z =， 所以z 的模为1.
故答案为：1
18．已知i
为虚数单位，复数11z =，在复平面中将1z 绕着原点逆时针旋转165°得到2z ，则2z =______.
【答案】
【分析】
结合复数的几何意义，特殊角的三角函数值，即可得解．
【详解】
解：11z =
在复平面内对应的点为(A ，所以
2OA =，且OA 与x 轴正方向的夹角为60︒，
将其逆时针旋转165︒后落在第三象限，且与x 轴负半轴的夹角为6016518045︒+︒-︒=
︒，
所以对应的点为(，
所以2z =
．
故答案为：．
19．设i 为虚数单位，则
3i 1i
+=+________. 【答案】2i -##
【分析】
根据复数代数形式的除法运算法则计算可得；
【详解】
解：()()()()2
223i 1i 3i 33i i i 2i 1i 1i 1i 1i +-+-+-===-++-- 故答案为：2i -
20．已知复数2i 1i
z +=-，则复数z 的虚部为________
【答案】3
2
##
【分析】
根据复数除法运算得
13
i
22
z=+，进而得答案.
【详解】
解：
()()
()()
2i1i
2i13i13
i 1i1i1i222 z
++
++
====+ --+
所以复数z的虚部为3 2
故答案为：3 2
21．已知复数
1i
3i
a
z
+
=
+
为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数=
a______．
【答案】3
-【分析】
应用复数的除法化简z，再根据其为纯虚数可得
30
310
a
a
+=
⎧
⎨
-≠
⎩
，即可求参数a.
【详解】
由题设，
1i(1i)(3i)(3)(31)i
3i(3i)(3i)10
a a a a
z
++-++-
===
++-
为纯虚数，
∴
30
310
a
a
+=
⎧
⎨
-≠
⎩
，可得3
a=-.
故答案为：3
-.
22．复数
i
1i-
（i是虚数单位）的共轭复数是________．
【答案】
11
i 22 --
【分析】
先利用复数的除法化简，再利用复数的共轭复数概念求解.【详解】
因为复数
()
()()
i1i
i11
i
1i1i1i22
+
==-+
--+
，
所以复数
i
1i-
（i是虚数单位）的共轭复数是
11
i
22
--，
故答案为：
11
i 22 --
23．若复数i(1i)
z=-，则||z=___________.
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【分析】
根据复数乘法整理成复数一般形式，再由复数模的定义即可求得
【详解】
2i(1i)=i i 1i z =--=+
，所以||z
24．一颗标有数字16~的骰子连续郑两次，朝上的点数依次记为a b ､，使得复数()()i 4i a b b a +-为实数的概率是___________. 【答案】112
【分析】
本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子连续掷两次，共有66⨯种结果，满足条件的事件是使复数()()i 4i a b b a +-为实数，进行复数的乘法运算，得到2b a =的结果，列举出所有情况，得到概率．
【详解】
解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子连续掷两次，共有6636⨯=种结果，
满足条件的事件是使复数()()i 4i a b b a +-为实数，
()()22i 4i 5(4)i a b b a ab a b +-=--，
要使()()i 4i a b b a +-是一个实数，
有2240a b -=，
224a b ∴=，
2b a ∴=，或2b a =-，因为0a >，0b >，所以2b a =
有1a =，2b =；2a =，4b =；3a =，6b =，共有3种结果，
∴由古典概型得到概率313612P ， 故答案为：112
． 25．已知复数z 满足(2i)12i z ⋅+=+，则z =_______.
【答案】43i 55
+ 【分析】
由复数的除法运算即可求解.
【详解】
由(2i)12i z ⋅+=+可得()()()()212i 2i 12i 23i 2i 43i 43i 2i 2i 2i 5555
z +-++-+=====+++-， 故答案为：43i 55
+. 26．已知复数()()22612i z a a a a =+-+--（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数=a _______．
【答案】2
【分析】
根据题意得2260120a a a a ⎧+-=⎨--≠⎩
，再解方程即可得答案. 【详解】
解：因为复数()()22612i z a a a a =+-+--（i 为虚数单位）为纯虚数
所以2260120a a a a ⎧+-=⎨--≠⎩
，解得2a = 故答案为：2
27．已知复数32i z =+（i 为虚数单位），则2z 的虚部为______．
【答案】12
【分析】
先求出2z ，然后可得其虚部，得到答案.
【详解】
由复数32i z =+，则()2232i 912i 4512i z +=+-=+=
所以2z 的虚部为12
故答案为：12
28．已知i 是虚数单位，若
()2i i ,1i
a b a b +=+∈+R ，则()lg a b +的值为______. 【答案】0
【分析】
运用复数四则运算及复数相等的定义即可得解.
【详解】 因为()()2i 212i i i 312i +-+-==+i i 3122a b =-=+， 所以31,,122
a b a b ==-+=，()lg 0a b +=. 故答案为: 0
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29．已知a ∈R ，复数3(3i)(12i)z a =+--+的实部与虚部相等，则=a ___________.
【答案】2
【分析】
根据复数的相关概念列式，解方程.
【详解】
因为3(3i)(12i)(31)7i z a a =+--+=++，
所以317a +=，
解得2a =，
故答案为：2.
30．设i 是虚数单位，若复数()i 1i
a z a =
+∈+R 是实数，则a 的值为______． 【答案】2
【分析】
根据复数的运算法则，将原复数式子化简，因为该复数是实数，故得到使得其虚部为0即可.
【详解】 复数()()()1i i=i 1i 1i 1i a a z -=++++- 1i 22a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
因为原复数是实数，故得到1022
a a -
=⇒= 故答案为：2 31．在复平面上，A 、B 表示复数α、β)(0α≠对应的点，若)(1i βα=+，则AOB ∠=______． 【答案】4
π 【分析】
利用三角形式的复数除法表示即可得出答案.
【详解】
0α≠，)(1i βα=+，
1i cos sin 44βππα⎫∴=+=+⎪⎭， ∴AOB ∠=4
π.
故答案为：4
π 32．若1i -是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个根，则p q ⋅=______．
【答案】4-
【分析】
将1i -代入方程可得()()2i 0p q p +-+=，即可求出.
【详解】
因为1i -是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个根，
所以()()2
1i 1i 0p q -+-+=，即212i i i 0p p q -++-+=，
整理得()()2i 0p q p +-+=， 所以020p q p +=⎧⎨+=⎩，解得22
p q =-⎧⎨=⎩，则4p q ⋅=-. 故答案为：4-.
33．已知i 是虚数单位，若复数()i 1i z =⋅+，则z =____________.
【分析】
化简复数，再代入模长计算公式即可.
【详解】
化简原式，得()2i 1i i i 1i =⋅+=+=-+z ，所以z =
34．()()12i 34i +÷-=______. 【答案】12i 55
-+ 【分析】
根据复数的四则运算规则计算即可.
【详解】
根据复数的四则运算规则得，
原式=()()()()12i 34i 12i 12i 12i 34i 34i 34i 555
+++-+===-+--+ 故答案为：12i 55
-+.
试卷第13页，共35页 35．复数()i 1i +的虚部为______．
【答案】1
【分析】
利用复数乘法计算公式化简后，即得复数的虚部.
【详解】
()2i 1i i i 1i +=+=-+，所以复数()i 1i +的虚部为1.
故答案为：1
36．若复数z 满足：22240z az a -++=，且|z |
a ＝_____．
【答案】±1
【分析】
设z ＝x +y i (x ,y ∈R )是22240z az a -++=的一个根，由复数的性质可得i z x y =-是另外一个根，进而可得22||4z z z a =⋅=+，即可求a 的值．
【详解】
设z ＝x +y i (x ,y ∈R )是22240z az a -++=的一个根， ∴i z x y =-是22240z az a -++=的另一个根， 由22||4z z z a =⋅=+＝5，即a 2＝1，解得a ＝±1；
故答案为：±1．
37．已知复数z 满足：2i i 0z ++
=（i 为虚数单位），则||z =___________.
【分析】
根据复数代数形式的乘除运算及共轭复数定义求出z ，再根据复数模的公式计算可得；
【详解】
解：因为2i i 0z ++
=，所以2i i z +=-，所以()22i i 2i 12i i i z ++===-+--，所以12i z =--，所以
z =
=38．已知i 是虚数单位，复数
3i 1i
++＝______． 【答案】2i -##
【分析】
利用复数的除法法则化简复数
3i 1i
++即可求解. 【详解】 ()()()()2
3i 1i 3i 3i 3i i 2i 1i 1i 1i 2
+-++--===-++-. 故答案为：2i -.
39．设x ∈R ，记[]x 为不大于x 的最大整数，{}x 为不小于x 的最小整数．设集合{}|23,A z z z C =≤⎡⎤≤∈⎣⎦,{}{}
|23,B z z z C =≤≤∈，则A B 在复平面内对应的点的图形面积是______
【答案】5π
【分析】 依题意表示出集合{}|24,A z z z C =≤<∈，{}|13,B z z z C =<≤∈，从求出A B ，再根据复数的几何意义求出复数z 的轨迹，即可得解；
【详解】 解：依题意由23z ≤⎡⎤≤⎣⎦，所以24z ≤<，由{}23z ≤≤，所以13z <≤，所以{}{}|23,|24,A z z z C z z z C =≤⎡⎤≤∈=≤<∈⎣⎦，
{}{}
{}|23,|13,B z z z C z z z C =≤≤∈=<≤∈，所以{}|23,A B z z z C =≤≤∈
设()i ,z x y x y R =+∈，由23z ≤≤，所以23≤≤，所以2249x y ≤+≤，所以复数z 再复平面内对应的点为在复平面内到坐标原点的距离大于等于2且小于等于3的圆环部分，
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所以圆环的面积()22325S ππ=-=
故答案为：5π
40．若|2|2z +=，则|14i |z --取值范围是______
【答案】[3，7]
【分析】
根据复数的几何意义z 对应的点在以()2,0-为圆心，2为半径的圆上，求出z 对应的点到()1,4的距离的最值即可.
【详解】
根据复数的几何意义可得|2|2z +=表示z 对应的点在以()2,0-为圆心，2为半径的圆上，
则|14i |z --表示z 对应的点到()1,4的距离，设为d ，
则()2,0-到()1,4-
5=，
所以min 523d =-=，max 527d =+=，
所以|14i |z --取值范围是[]3,7.
故答案为：[]3,7.
41．在复数范围内因式分解：41x -=______
【答案】()())1i ((1i )x x x x +-+-
【分析】
利用二倍角公式及2i 1=-计算可得；
【详解】
解：()()()()()()()()422222111i 111i i x x x x x x x x x -=+-=--=+-+-
故答案为：()()()()11i i x x x x +-+-
42．设a ∈C ，a ≠0，化简：
i 1i a a -+=______ . 【答案】－i
【分析】
根据复数的运算法则计算即可. 【详解】
()()()()()
22221i i 1i i i i i 1i 1i 1i 11a a a a a a a a a a a a -+------====-++-++，
故答案为：－i.
43．设m R ∈，如果复数2(i)(1i)m m ++是实数，则m =______
【答案】1-
【分析】
根据复数代数形式的乘法及复数为实数的充要条件得到方程，计算可得；
【详解】
解：复数223(i)(1i)()(1)i m m m m m ++=-++是实数，
310m ∴+=，解得1m =-，
故答案为：1-．
44．设a R ∈，复数134i z =-，22i z a =+，若
12z z
是纯虚数，则a =______ 【答案】83 【分析】 利用复数的除法运算化简求出
12
z z ，再根据纯虚数的定义即可求出. 【详解】
因为134i z =-，22i z a =+， 则()()()()21222234i 2i 34i 36i 4i 8i 3846i 2i 2i 2i 444
a z a a a a z a a a a a a -----+-+====-++-+++， 因为12z z 是纯虚数，所以2238044604
a a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪-+-≠+⎩=+，解得83a =. 故答案为：83
. 45．设a ∈R ，若(3a 2-2a -1)＋(9a 2-1)i 是纯虚数，则a ＝______.
【答案】1
【分析】
纯虚数实部为零，虚部不为零，据此可求a 的值.
【详解】
由题知2232101910a a a a ⎧--=⇒=⎨-≠⎩
， 故答案为：1.
46．已知复数(23)z i i =-，则复数z 的虚部为______
【答案】3
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【分析】
根据复数的除法运算法则，计算出复数z 的值，然后求出复数z 的共轭复数z ，最后写出z 的虚部.
【详解】
(23)23z i i i =-=--，
23z i ∴=-+， 所以复数z 的虚部为3.
，答案为：3.
47．已知z C ∈，若()i 2z z z z +=-=，则z =______
【答案】1i -##
【分析】
设i z a b =+，根据已知可求出,a b .
【详解】
设i z a b =+，则i z a b =-， 则22z z a +==，解得1a =， 由()i 2i i 22z z b b -=⋅=-=，解得1b =-.
所以1i z =-.
故答案为：1i -.
48．计算：12i +=_______
【分析】
根据复数模的计算公式计算可得；
【详解】
解：12i =+
49．复数5
12i 2i z -=
+的实部为______. 【答案】0
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
解：512i 12i (12i)(2i)5i i 2i 2i (2i)(2i)5
z -----=====-+++- 所以复数512i 2i z -=
+的实部为0； 故答案为：0
50．已知复数z 满足()1i 34i z +=-（其中i 为虚数单位），则||z =________
【分析】 将式子变形再运用复数的运算法则得到341712i i z i ---=
=+，根据复数模的公式求得结果即可.
【详解】
复数z 满足()1i 34i z +=-，变形得到()()()()134********i i i i z i i i -----=
==+-+
||z =
51．设i 为虚数单位，若复数()()12i 2i z =+-，则z 的实部与虚部的和为___________.
【答案】7
【分析】
利用复数的乘法化简复数z ，即可求得结果.
【详解】
因为()()12i 2i 43i z =+-=+，因此，复数z 的实部与虚部之和为437+=. 故答案为：7.
52．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=___________.
【答案】2i -+
【分析】
根据复数的乘法运算求解即可.
【详解】
由题意知，12z i =+，
则i i (12i)2i z ⋅=⋅+=-+，
故答案为：2i -+
53．已知复数z 的虚部为1，且||2z =，则z 在复平面内所对应的点z 到虚轴的距离为
试卷第19页，共35页 ___________.
【分析】
由题意设z 对应点为(,1)x 且22||1z x =+，
结合已知可得||=x ，即知z 在复平面内所对应的点z 到虚轴的距离.
【详解】
由题意，设z 对应点为(,1)x ，则22||14z x =+=，
∴23x =
，则||=x
∴z 在复平面内所对应的点z
54．在复平面xoy 内，复数12z ,z 所对应的点分别为12Z Z 、，对于下列四个式子：（1）2211 z z =；（2）1212z z z z ⋅=⋅；（3）2211OZ OZ =；（4）1212OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅，其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号）
【答案】（2）（3）
【分析】
结合复数运算对四个式子进行分析，由此确定正确答案.
【详解】
221111i,2i,2z z z =+==，所以（1）错误.
()()121,1,1,1Z Z -，12120,2OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅=，所以（4）错误. 设()()1212i,i,,,,z a b z c d Z a b Z c d =+=+，
()12i z z ac bd ad bc
⋅=-++=
12z z ⋅2）正确. 222211OZ OZ a b ==+，所以（3）正确. 故答案为：（2）（3）
55．设复数z 满足1z z =+，且
11
z z -+是纯虚数，试写出一个满足条件的复数：z =___________.
【答案】12- 【分析】
设出复数z 的代数形式，由1z z =+求出z 的实部，然后由11
z z -+是纯虚数列式即可计算作答.
【详解】
设()i ,z x y x y =+∈R ，由1z z =+，可得2222(1)x y x y +=++，解得12x =-， 又11z z -+是纯虚数，设1i(1z t t z -=∈+R 且0)t ≠，则31i i 22y ty t -+=-+，则3212ty y t ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解
得y =
所以12z =-
或12z =-.
故答案为：12z =- 56．已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，下列说法正确的是______． ①如果12z z R +∈，则12,z z 互为共轭复数；
②如果复数12,z z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=； ③如果2z z =，则||1z =； ④1212z z z z =．
【答案】④
【分析】
根据复数的概念，复数的模的定义判断．
【详解】
12i z =+，23i z =-时，125z z R +=∈，但12,z z 不是共轭复数，①错； 如11z =，2i z =
，则可得1212z z z z +=-120z z ≠，②错； 当0z =时，20z z ==，③错；
只有④正确
（可证明如下：设12i,i z a b z c d =+=+（,,,a b c d R ∈）．
12(i)(i)()i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++=
==
12
z z
=）
故答案为：④．
57．设m、n∈R，且
2i
1i
1i
m
n
+
=-
-
（i为虚数单位），则i
m n
+=_________．【答案】5
【分析】
利用复数相等可求得实数m、n的值，再利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】
由已知可得()()()()
2i1i1i11i
m n n n
+=--=--+，得
()
1
12
n m
n
-=
⎧
⎨-+=
⎩
，解得
4
3
m
n
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
故i43i5
m n
+=-==.
故答案为：5.
58．设
2i
1i
z
-
=
+
，则z=
___________.
【分析】
根据题意，结合复数的乘除运算，以及模长公式，即可求解.
【详解】
根据题意，
()()
()()
2i1i
2i13i13
i
1i1i1i222
z
-⋅-
--
====-
++⋅-
，故z=.
59．已知复数z满足i1i
z⋅=+(i是虚数单位)，则复数z的模等于
_______.
【分析】
利用复数乘法运算求得z，进而求得z的模.
【详解】
i1i
z⋅=+，()()
(
)
i i1i i,1i,
z z z
⋅⋅-=+⋅-=-
60．设i是虚数单位，复数
2i
1i
z=
-
，则z对应的点位于第_____象限
【答案】二
【分析】
试卷第21页，共35页
先利用复数的除法化简复数z ，再根据复数的几何意义求解.
【详解】
因为()()()
2i 1i 1i 1i 1i z +==-+-+， 所以z 对应的点位于第二象限，
故答案为：二
61．复数(2i)1i z +=-，则z 的虚部是_________________． 【答案】35## 【分析】
根据复数的运算求出复数z ，从而求复数z 的虚部.
【详解】
因为(2i)1i z +=-，所以()()()()1i 2i 1i 13i 13i 2i 2i 2i 555
z ----====-++-， 所以z 的虚部是35. 故答案为：35
. 62．若复数 z 满足
13i 1i z +=-， 则 z =________．
【分析】
根据复数的运算法则，化简复数为12i z =-+，结合复数模的运算公式，即可求解.
【详解】 由复数的运算法则，可得13(13)(1)24121(1i i i i i i i i )(1)2
z ++⋅+-+=
===-+--⋅+，
则z
63．若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个根，则c =_______．
【答案】3
【分析】
利用实系数方程虚根成对定理，结合韦达定理求解即可．
【详解】
1
是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，
试卷第23页，共35页
可知1
是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，
∴(1
＝c ，∴c ＝3．
故答案为：3．
64．复数51i +的虚部是___________.
【答案】1
【分析】
利用2i ＝－1即可计算﹒
【详解】
∵5221i 1i i i 1i ⋅⋅＋＝＋＝＋，∴51i +的虚部为1．
故答案为：1．
65．复数13i 3i
-+的虚部是___________. 【答案】−1
【分析】
利用复数的除法运算计算即可.
【详解】
()()()()1331310i i 33310
i i i i i i ----===-++- 复数13i 3i
-+的虚部是−1 故答案为，−1
66．已知复数z 满足||1z =，则|2|z -的最大值为___________．
【答案】3
【分析】
设i z a b =+，结合已知条件求出点(,)a b 在221x y +=上运动，然后将问题转化为点(2,0)到221x y +=上一点的最大距离，再利用圆的性质即可求解.
【详解】
不妨设i z a b =+，
由||1z =可得，221a b +=，故点(,)a b 在221x y +=上运动，
又因为22i z a b -=-+，
所以|2|z -=(,)a b 与点(2,0)之间的距离，
从而|2|z -的最大值为点(2,0)到221x y +=上一点的最大距离，
又因为221x y +=是以圆心(0,0)，半径为1的圆，
故圆心(0,0)与点(2,0)之间的距离2d ==，
从而|2|z -的最大值为13d +=.
故答案为：3.
67．若复数z 满足1z z ⋅=，则|2i |z -的最大值是______.
【答案】3
【分析】
设i,,z a b a b R =+∈，则221a b +=，根据复数几何意义知，
|2i |z -表示在复平面内，(,)a b 到(0,2)的距离，从而求得最大值.
【详解】
设i,,z a b a b R =+∈，则221a b +=，
根据复数几何意义知，|2i |z -表示在复平面内，(,)a b 到(0,2)的距离，
则最大值为213+=，
故答案为：3
68．复数i 1i
a -在复平面上对应的点位于第一象限，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】()0,+∞
【分析】
根据复数除法运算化简即可得出.
【详解】 因为()2i 1i i 1i i i i 1
a a a a ----===+-，又在复平面上对应的点位于第一象限，所以0a >. 故答案为：()0,+∞.
69．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是12,z z ，则12=z z +__________．
【答案】2
试卷第25页，共35页
【分析】
由已知求得12,z z ,进一步求得12z z +.
【详解】
由题意可知,12i,2i z z ==-.
所以()12i 2i 2z z +=+-=
故答案为:2.
70．若复数12z i =-（i 是虚数单位）是关于x 的方程()20x px q p q R ++=∈，的一个根，
则p q +=__________.
【答案】3
【分析】
把12i x =+代入方程20x px q ++=，化简方程，利用相等复数的概念得到p q 、的值，即得p q +的值.
【详解】
由复数12z i =+（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，
所以()()2
12i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++= 所以30420p q p +-=⎧⎨+=⎩
，故3p q += 故答案为：3
71．已知复数z 满足
i i z z
+=，则z =_________. 【答案】11i 22- 【分析】
利用给定等式用i 表示出复数z ，再进行复数除法运算即可得解.
【详解】
因复数z 满足
i i z z
+=，则i i z z =+，整理得(1i)i z -+=， 则i i (1i)1i 11i 1i (1i)(1i)222z ⋅---====--+-+--， 所以11i 22
z =-.
故答案为：11i 22
- 72．i 为虚数单位，若复数()()1i i 2m ++是纯虚数，则实数m 等于________．
【答案】2
【分析】
计算求出复数，根据纯虚数的定义可得.
【详解】
()()()()2i 2i 2i 221i 1i i 2m m m m m =+-++++++=，
因为()()1i i 2m ++是纯虚数，所以20210
m m -=⎧⎨+≠⎩，解得2m =. 故答案为：2.
73．设i 是虚数单位，计算：
43i 12i +=-__________.
【答案】12i +##
【分析】 计算出43i +，再利用复数的运算法则进行计算
【详解】
()
()()512i 43i 12i 12i 12i 12i ++===+--+ 故答案为：12i +
74．i 是虚数单位，复数
74i 12i
+=+______ 【答案】32i -##
【分析】
利用复数的除法运算即可求解.
【详解】
()()()()2274i 12i 74i 714i 4i 8i 1510i 32i 12i 12i 12i 14i 5+-+-+--====-++--， 故答案为：32i -.
75．已知i 为虚数单位，则复数()()2i 1i z =+-的虚部为__________.
【答案】1-.
【分析】
应用复数乘法化简复数，即可知虚部.
试卷第27页，共35页
【详解】
由题设，()()2i 1i 3i z =+-=-，
∴虚部为1-.
故答案为：1-.
76．设复数2cos isin 66z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，那么z 的共轭复数z 的代数形式是______．
i
【分析】
计算i z =，再计算共轭复数得到答案.
【详解】
2cos isin i 6π6πz ⎛⎫=+= ⎪⎝
⎭
，故i z .
i .
77
．复数12的三角形式是______． 【答案】cos i 33
πsin π+ 【分析】
直接利用辅助角公式计算得到答案.
【详解】
1cos isin 233
ππ+=+. 故答案为：cos i 33
πsin π+. 78
cos isin 3cos isin 121266ππππ⎫⎛⎫+⋅+⎪ ⎪⎭⎝⎭． 【答案】33i +##
【分析】
直接利用复数的三角运算性质求解即可
【详解】
原式cos isin 33i 126126ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭
⎝⎭⎦ 故答案为：33i +
79．设12cos isin 33z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，2sin icos 66z ππ⎫=+⎪⎝⎭
，则12z z ⋅的三角形式为
___________.
22
cos isin
33
ππ⎫
+⎪
⎭
【分析】
先将12
,z z化简，然后计算
12
z z⋅，再转化为三角形式即可
【详解】
因为12cos isin1
33
z
ππ
⎛⎫
=+=
⎪
⎝⎭
，
2
1
sin i cos
662
z
ππ⎫
⎫
+==
⎪
⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
，
所以12(1
z z
⎫
⋅=⎪⎪
⎝⎭
2
=+
=
1
2
⎫
-⎪⎪
⎭
22
cos isin
33
ππ⎫
=+⎪
⎭
，
22
cos isin
33
ππ⎫
+⎪
⎭
80．已知复数z的模为10，虚部为6，则复数z为______．
【答案】86i
±+
【分析】
若复数i
z a b
+
＝
【详解】
设6i
z a+
＝，则1010886i
z a z
⇒⇒±⇒±+
＝＝＝﹒
故答案为：86i
±+
81．设复数i
z x y
=+，x，y∈R，且x y
=，则满足1
z=的复数z共有______个．【答案】4
【分析】
方法一(代数运算)：联立方程组求解；
方法二(几何意义)：利用复数的几何意义求解﹒
试卷第29页，共35页
【详解】
方法一(代数运算)：由1z ＝，得221x y ＋＝．又x y ＝
，联立，解得z ±＝， 故答案为：4
方法二(几何意义)：由1z ＝，知复数z 在复平面内对应的点构成一个单位圆．又x y ＝，
故复数z 在复平面内对应的点落在直线y x ±＝上，显然直线y x ±＝与单位圆有四个交点， 故答案为：4
82．若复数cos 1isin z θθ=++，则z 的最大值为______．
【答案】2
【分析】
根据复数模的运算公式，结合余弦函数的性质进行求解即可.
【详解】
z =cos 1θ=时，max 2z =，
故答案为：2 83．已知复数z 的实部为1，2z =，则z =______．
【答案】1
【分析】
利用复数的模的概念即得.
【详解】
由题可设1i z b =+，又2z =
，
2
，解得
b =
∴z =1.
故答案为：1.
84．已知复数z 满足实部为3，虚部为2-，则复数z 在复平面上对应的点关于虚轴对称的点所对应的复数是______．
【答案】32i --＃＃2i 3--
【分析】
由题可得32i z =-，结合条件即得.
【详解】
由题可得32i z =-，
∴复数z 在复平面上对应的点关于虚轴对称的点所对应的复数为32i --.
故答案为：32i --.
85．已知z C ∈，且i 1z +≤，则z 的取值范围为______.
【答案】[]0,2
【分析】
将问题转化为到定点(0,1)的距离小于或等于1的动点所成图形，再应用数形结合法求z 的取值范围.
【详解】
若i z x y =+且,x y R ∈，则问题转化为到(0,1)的距离小于或等于1的动点(,)x y 所在区域， ∴(,)x y 在以(0,1)为圆心，半径为1的圆上或内，如下图示：
∴z 的取值范围为[]0,2.
故答案为：[]0,2
86．若复数z 满足：()3i i 2i z z z z -⋅++=+，则z =______.
试卷第31页，共35页
【答案】12-± 【分析】
设()i ,z a b a b R =+∈，根据题设等量关系及复数的乘除运算可得22121a b a ⎧+=⎨=-⎩
求a 、b ，写出复数z .
【详解】
设()i ,z a b a b R =+∈，原式化为222i 1i a b a ++=-，则22
1,21,a b a ⎧+=⎨=-⎩
解得1,2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴12z =-.
故答案为：12-± 87．当实数m =______时，复数()()223i 456i z m m m m =-+-++⎡⎤⎣⎦为纯虚数.
【答案】4
【分析】
由纯虚数的概念可得22340560m m m m ⎧--=⎨--≠⎩
，求解即可. 【详解】
由()223456i z m m m m =--+--为纯虚数，
∴22340560m m m m ⎧--=⎨--≠⎩
，解得4m =. 故答案为：4
88．已知复数153i z =-，242i z =-+，那么12z z +的共轭复数为______.
【答案】1i +##
【分析】
应用复数的加法及共轭复数的概念，即可得12z z +的共轭复数.
【详解】
1253i 42i 1i z z +=--+=-，
∴12z z +的共轭复数为1i +.
故答案为：1i +
89．已知复数12i z =+，212i z =+在复平面内对应的点分别为A 、B ，则向量AB 对应
的复数z 在复平面内所对应的点在第______象限.
【答案】二
【分析】
由题设写出A 、B 的点坐标，进而得到AB 的点坐标，即可判断其对应点所在象限.
【详解】
由题意，(2,1),(1,2)A B ，故(1,1)AB =-，
∴AB 对应的复数z 在复平面内所对应的点在第二象限.
故答案为：二
90．复数31i 1i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭
的值等于______. 【答案】i -
【分析】
根据复数的运算直接化简即可.
【详解】 由()()()()1i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2
+++===--+， 故331i 1i i i +⎛⎫⎪⎭
= ⎝=--， 故答案为：i -.
91．复数()52i 34i -+的模为______.
【答案】10
【分析】
由复数的乘法运算可得()52i 34i 2(3i 4)-+=--，再求模即可.
【详解】
()52i 34i 2(3i 4)-+=--，
∴|2(3i 4)|210--==.
故答案为：10
92．在复平面内，复数53i z =--对应的点的坐标为______.
【答案】()5,3--
【分析】
试卷第33页，共35页
复数z ＝a ＋b i 对应的点为(a ，b )
【详解】
∵53i z =--，∴对应的点的坐标为(－5，－3)，
故答案为：(－5，－3)
93．复数isin 200cos100z =-︒+︒在复平面上对应的点在第______象限．
【答案】二
【分析】
判断复数的实部和虚部的正负后可得．
【详解】
由已知cos100sin100︒=-︒<，sin 200sin 200-︒=︒>，实部小于0，虚部大于0，对应点在第二象限．
故答案为：二．
94．1001i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭______.
【答案】1
【分析】
根据复数的除法和乘方运算规则计算即可得出结果.
【详解】
根据复数的运算规则知，
()()()()100100100251i 1i 1i i 111i 1i 1i ⎡⎤+++⎛⎫====⎢⎥ ⎪--+⎝⎭⎢⎥⎣⎦
故答案为：1.
95．()()()1i 2i 33i -+-=______.
【答案】612i -##
【分析】
根据复数的运算规则计算.
【详解】
根据复数的运算规则得，
()()()()()1i 2i 33i 3i 33i 612i -+-=--=-
故答案为：612i -.
96．23i ÷=______.
【答案】2i 3
-## 【分析】
根据复数的除法运算即可得出答案.
【详解】 解：26i 2i 23i 3i 93
-÷===-. 故答案为：2i 3
-. 97．()()2i 12i +-+=______.
【分析】
利用复数的乘法运算即可求解.
【详解】
()()()()22i 12i 2i 4i 2i 2241i 43i +-+=--++=--+-=-+， 故答案为：43i -+.
98．()()()2i 62i 56i +--++=______.
【答案】19i +##
【分析】
直接根据复数的加减法运算计算即可得出答案.
【详解】
解：()()()()()2i 62i 56i 265126i 19i +--++=-++++=+. 故答案为：19i +.
99．()()53i 53i -++=______.
【答案】10
【分析】
根据复数的加法运算，即可求出结果.
【详解】
()()()()53i 53i 553i 3i 10-++=++-=.
故答案为：10.
100．已知1i +为方程20ax x b ++=（a ，b 为实数）的根，则a b +=____________. 【答案】32
- 【分析】
试卷第35页，共35页 利用根与系数关系求得,a b ，由此求得a b +.
【详解】
依题意1i ±是方程20ax x b ++=的根， 所以111i 1i 22a a ++-==-⇒=-， ()()1i 1i 21b
b a +-==⇒=-， 所以3
2a b +=-. 故答案为：3
2-。