(常考题)人教版高中数学选修三第一单元《计数原理》测试(包含答案解析)(2)

一、选择题
1．若1n
x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是 A ．462- B ．462 C ．792 D ．792-
2．已知（a x
）5
的展开式中，常数项为10，则a ＝（ ） A ．﹣1
B ．1
C ．﹣2
D ．2
3．在第二届乌镇互联网大会中, 为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有 A ．96种 B ．124种 C ．130种
D ．150种
4．在某次体检中，学号为i （1,2,3,4i =）的四位同学的体重()f i 是集合
{45,48,52,57,60}kg kg kg kg kg 中的元素，并满足(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤，则这四位同
学的体重所有可能的情况有（ ） A ．55种
B ．60种
C ．65种
D ．70种
5．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中1，3至少选一个，若1，3都选则0不选，这样的五位数中偶数共有（ ） A ．144个
B ．168个
C ．192个
D ．196个
6．已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有( ) A ．35种 B ．38种
C ．105种
D ．630种
7．4
11()x y x y
+--的展开式的常数项为（ ） A ．36
B ．36-
C ．48
D ．48-
8．已知*n N ∈，设215n
x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若992M N -=，则展开式中x 的系数为（ ）
A ．-250
B ．250
C ．-500
D ．500
9．若0,
0a b >>，二项式6()ax b +的展开式中3x 项的系数为20，则定积分
22a
b
xdx xdx +⎰
⎰的最小值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
10．设40
cos2t xdx π
=
⎰
,若2018
2012(1)
x a a x a x t
-=++20182018a x ++,则
1232018a a a a +++
=( )
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．256
11．若,m n 均为非负整数，在做m n +的加法时各位均不进位（例如，
134********+=），则称(),m n 为“简单的”有序对，而m n +称为有序数对(),m n 的
值，那么值为2964的“简单的”有序对的个数是（ ） A ．525 B ．1050
C ．432
D ．864
12．设（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n ，当a 0+a 1+a 2+…+a n =254
时，n 等于（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
二、填空题
13．5
12a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中4x 的系数为___________.
14．如图，将标号为1，2，3，4，5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域(有公共边)的颜色不同，则不同的染色方法有______种.
15．已知集合{}
08A C =，{
}12
88,B C C =，{
}
456
888,,C C C C =，若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定不同点的个数为___________.
16．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)
17．已知33
210n n A A =，那么n =__________．
18．若()5
234501234512x a a x a x a x a x a x +=+++++，则024a a a ++=__________． 19．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员3人，组成5人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法（用数字作答） 20．若()
2020
22020012202032x a a x a x a x +=++++，则1352019a a a a +++
+被12整
除的余数为______．
三、解答题
21．在二项式32(*)n
x n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
的展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等. (1) 求n 的值，并求所有项的二项式系数的和;
(2) 求展开式中的常数项.
22．设()5
2501252x 1a a x a x a x -=++++，求：
（1）015a a a +++；
（2）015a a a ++
+；
（3）135a a a ++；
（4）()()2
2
024135a a a a a a ++-++．
23．在2
(n x
+
的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12.
（1）求n 的值；
（2）求展开式中所有的有理项； （3）求展开式中系数最大的项.
24．现有大小相同的7只球，其中2只不同的红球，2只不同的白球，3只不同的黑球． （1）将这7只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法?（请用数字作答）
（2）将这7只球分成三堆，三堆的球数分别为：1,3,3，共有多少种分堆的方法?（请用数字作答）
（3）现取4只球，求各种颜色的球都必须取到的概率．（请用数字作答）
25．已知二项式10
x
⎛
⎝
的展开式.
(1)求展开式中含4x 项的系数；
(2)如果第3r 项和第2r +项的二项式系数相等，求r 的值．
26．（1）求(-x +
12x
)6
的展开式的各项系数之和及展开式的常数项. （2）4位男同学与3位女同学任意排成一排照相. ①求3位女同学站在一起的概率； ②求4位男同学互不相邻的概率.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D
解析：D 【解析】
∵1n
x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =.
12
1x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式的通项公式为()12
12211C r r r r T x -+=-，令1222r -=，得5r =. ∴展开式中含2x 项的系数是()125
51C 792-=-，故选D ． 【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：
(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可； (2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.
2．A
解析：A 【分析】
先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项为10，求得a 的值． 【详解】
5()a x x x -的展开式中，通项公式为15552155()()()r
r r r r r
r a T C x x C a x x
--+==--，
令
15502
r
-=，求得3r =， 可得常数项为3
35
()10C a -=，求得1a =-. 故选：A 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，考查根据展开式的某一项求参数的值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．D
解析：D 【分析】
根据题意，分2步进行分析：①把5个个参会国的人员分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2；由组合数公式可得分组的方法数目，②，将分好的三组对应三家酒店；由分步计数原理计算可得答案． 【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①、五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住， ∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2 当按照1、1、3来分时共有C 53=10种分组方法；
当按照1、2、2来分时共有22
5322
15C C A = 种分组方法；
则一共有101525+= 种分组方法；
②、将分好的三组对应三家酒店，有3
36A = 种对应方法；
则安排方法共有256150⨯= 种； 故选D ． 【点睛】
本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．
4．D
解析：D 【分析】
根据(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中等号所取个数分类讨论，利用组合知识求出即可. 【详解】
解：当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中全部取等号时，情况有1
55C =种；
当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中有两个取等号，一个不取等号时，情况有21
5330C C =种；
当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中有一个取等号，两个不取等号时，情况有31
5330C C =种；
当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中都不取等号时，情况有4
55C =种；
共560+60+5=70+种. 故选：D. 【点睛】
本题考查分类讨论研究组合问题，关键是要找准分类标准，是中档题.
5．B
解析：B 【分析】
根据条件分选1不选3、选3不选1、选1和3三种情况分别计算五位数中偶数的个数. 【详解】
解:当选1不选3时,五位数中偶数有4
1
1
3
432360A C C A +=个; 当选3不选1时,五位数中偶数有4
1
1
3
432360A C C A +=个; 当选1和3时,五位数中偶数有1
42448C A =个, 所以这样的五位数中偶数共有60+60+48=168个. 故选:B . 【点睛】
本题考查了排列、组合与简单的计算原理,考查了分类讨论思想,属中档题.
6．C
解析：C 【分析】
根据题意，分2步进行分析，第一步从3件次品中抽取2件次品，第二步从7件正品中抽取3件正品，根据乘法原理计算求得结果． 【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①.从3件次品中抽取2件次品，有2
3C 种抽取方法，;
②.从7件正品中抽取3件正品，有37C 种抽取方法， 则抽取的5件产品中恰好有2件次品
的抽法有23
37105C C ⨯=种； 故选：C ．
【点睛】
本题考查排列组合的实际应用，注意是一次性抽取，抽出的5件产品步需要进行排列．
7．A
解析：A 【分析】
先对多项式进行变行转化成4
41()1x y xy ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
，其展开式要出现常数项，只能第1个括号
出2
2
x y 项，第2个括号出22
1
x y 项. 【详解】
∵4
4
4
4111()1x y x y x y x y x y xy xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
∴4
11x y x y ⎛⎫+-- ⎪⎝
⎭的展开式中的常数项为2
2244222(C (C 361))x y x y ⨯=.
故选：A. 【点睛】
本题考查二项式定理展开式的应用，考查运算求解能力，求解的关键是对多项式进行等价变形，同时要注意二项式定理展开式的特点.
8．A
解析：A 【分析】
分别计算各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，代入等式得到n ，再计算x 的系数. 【详解】
215n
x x ⎛⎫- ⎪
⎝
⎭的展开式
取1x =得到4n M = 二项式系数之和为2n N =
429925n n M N n -=-=⇒=
5251031551
(5)()5(1)r r r r r r r r T C x C x x
---+=-=- 取3r = 值为-250
故答案选A 【点睛】
本题考查了二项式定理，计算出n 的值是解题的关键.
9．C
解析：C 【分析】
由二项式定理展开项可得1ab =，再220
22a
b
xdx xdx a b +=+⎰
⎰利用基本不等式可得结果.
【详解】
二项式()6
ax+b 的展开式的通项为6616r r r r
r T C a b x --+= 当63,3r r -==时，二次项系数为333
6201C a b ab =∴=
而定积分
220
2222a
b
xdx xdx a b ab +=+≥=⎰
⎰
当且仅当a b =时取等号 故选C 【点睛】
本题考查了二项式定理，定积分和基本不等式综合，熟悉每一个知识点是解题的关键，属于中档题.
10．B
解析：B 【解析】
分析：先求定积分，再求()()()()12320181,010f f a a a a f f +++
=-，
详解：4
400
111cos22|02222t xdx sin x sin π
π
π===-=⎰，故设()(f x =1-2x 2018)，所以
()()11,01f f ==，()()1232018100a a a a f f +++
=-=，故选B
点睛：求复合函数的定积分要注意系数能够还原，二项式定理求系数和的问题，采用赋值
法．
11．B
解析：B 【分析】
由题意知本题是一个分步计数原理，第一位取法两种为0，1，2，第二位有10种取法，从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ，第三位有7种取法，从0，1，2，3，4，5，6取一个数字，第四为有5种，从0，1，2，3，4取一个数字，根据分步计数原理得到结果． 【详解】
由题意知本题是一个分步计数原理， 第一位取法3种为0，1， 2，
第二位有10种为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ， 第三位有7种为0，1，2，3，4，5，6， 第四为有5种为0，1，2， 3，4
根据分步计数原理知共有3×10×7×5=1050个 故选：B. 【点睛】
解答排列、组合问题的角度：
解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．
12．C
解析：C 【解析】
试题分析：观察已知条件a 0+a 1+a 2+…+a n =254，可令（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）
n
=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n 中的x=1，可得254=2n+1﹣2，解之即可．
解：∵（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n ∴令x=1得2+22+23+…+2n =a 0+a 1+a 2+…+a n ， 而a 0+a 1+a 2+…+a n =254==2n+1﹣2，
∴n=7 故答案为C
考点：数列的求和；二项式定理的应用．
二、填空题
13．-48【分析】令x=1解得a=1再利用的通项公式进而得出【详解】令x=1=2解得a=1又的通项公式令5−2r=35−2r=5解得r=1r=0∴该展开式中的系数为=−80+32=−48故答案为：−48
解析：-48 【分析】
令x =1，解得a =1，再利用5
12x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的通项公式，进而得出． 【详解】
令x =1,()()5
112a +-=2，解得a =1.
又5
12x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的通项公式()5521512r r r
r r T C x --+=-⋅，
令5−2r =3，5−2r =5. 解得r =1，r =0.
∴该展开式中4x 的系数为()()1
4150
55
12+12C C --=−80+32=−48， 故答案为：−48. 【点睛】
本题考查二项式定理的应用，根据通项公式求系数，属于中等题.
14．30【分析】由题意按照分类分步计数原理可逐个安排注意相邻不同即可【详解】对于1有三种颜色可以安排；若2和3颜色相同有两种安排方法4有两种安排5有一种安排此时共有；若2和3颜色不同则2有两种3有一种当
解析：30 【分析】
由题意按照分类分步计数原理，可逐个安排，注意相邻不同即可. 【详解】
对于1，有三种颜色可以安排；
若2和3颜色相同，有两种安排方法，4有两种安排，5有一种安排，此时共有
322112⨯⨯⨯=；
若2和3颜色不同，则2有两种，3有一种.当5和2相同时，4有两种；当5和2不同，则4有一种，此时共有()322118⨯⨯+=⎡⎤⎣⎦， 综上可知，共有121830+=种染色方法. 故答案为：30. 【点睛】
本题考查了排列组合问题的综合应用，分类分步计数原理的应用，染色问题的应用，属于中档题.
15．【分析】由组合数的性质得出先求出无任何限制条件下所确定的点的个数然后考虑坐标中有两个相同的数的点的个数将两数作差可得出结果【详解】由组合数的性质得出不考虑任何限制条件下不同点的个数为由于坐标中同时含 解析：33
【分析】
由组合数的性质得出26
88C C =，先求出无任何限制条件下所确定的点的个数，然后考虑坐
标中有两个相同的数的点的个数，将两数作差可得出结果. 【详解】
由组合数的性质得出26
88C C =，不考虑任何限制条件下不同点的个数为11323336C C A =， 由于2688C C =，坐标中同时含28C 和68C 的点的个数为1
33C =，
综上所述：所求点的个数为36333-=，故答案为33.
【点睛】
本题考查排列组合思想的应用，常用的就是分类讨论和分步骤处理，本题中利用总体淘汰法，可简化分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
16．【解析】分析：根据排列定义求结果详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置从中任选3个位置给3名大学毕业生则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题所以不同的招聘方案共有＝5×4×3＝60( 解析：60
【解析】
分析：根据排列定义求结果.
详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有3
5A ＝5×4×3＝60(种)．
点睛：本题考查排列定义，考查基本求解能力.
17．8【详解】分析：利用排列数公式展开解方程即可详解：解得即答案为8点睛：本题考查排列数公式的应用属基础题
解析：8 【详解】
分析：利用排列数公式展开，解方程即可. 详解：
33210n n A A = ，
()()()()221221012,n n n n n n ∴--=-- ()()22152,n n -=-
解得8n =. 即答案为8.
点睛：本题考查排列数公式的应用，属基础题.
18．【分析】分别令和再将两个等式相加可求得的值【详解】令则；令则上述两式相加得故答案为：【点睛】本题考查偶数项系数和的计算一般令和通过对等式相加减求得考查计算能力属于中等题 解析：121
【分析】
分别令1x =和1x =-，再将两个等式相加可求得024a a a ++的值. 【详解】
令1x =，则5
0123453a a a a a a +++++=；
令1x =-，则0123451a a a a a a -+-+-=-.
上述两式相加得502431
1212
a a a -++==.
故答案为：121. 【点睛】
本题考查偶数项系数和的计算，一般令1x =和1x =-，通过对等式相加减求得，考查计算能力，属于中等题.
19．1000【分析】根据题意分为1女4男和2女3男再利用排列组合求解每类的种数结合计数原理即可求解【详解】由题意可分为两类：第一类：先选1女4男有种再在这5人中选2人作为队长和副队长有种所以共有；第二类
解析：1000 【分析】
根据题意，分为1女4男和2女3男，再利用排列、组合求解每类的种数，结合计数原理，即可求解. 【详解】
由题意，可分为两类：
第一类：先选1女4男，有14
2630C C =种，
再在这5人中选2人作为队长和副队长有2
520A =种，所以共有3020600⨯=； 第二类：先选2女3男，有23
2620C C =种，
再在这5人中选2人作为队长和副队长有2
520A =种，所以共有2020400⨯=，
根据分类计数原理，共有6004001000+=种不同的选法. 故答案为：1000 【点睛】
本题主要考查了分类计数原理和分步计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合排列、组合的知识求得每类的种数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
20．0【分析】根据题意给自变量赋值取和两个式子相减得到的值用二项展开式可以看出被12整除的结果得到余数【详解】在已知等式中取得取得两式相减得即因为能被12整除所以则被12整除余数是0故答案为：0【点睛】
解析：0 【分析】
根据题意，给自变量x 赋值，取1x =和1x =-，两个式子相减，得到
1352019a a a a +++
的值，用二项展开式可以看出被12整除的结果，得到余数．
【详解】
在已知等式中，取1x =得202001220205a a a a ++++=，
取1x =-得01220201a a a a -+-+=， 两式相减得202013520192()51a a a a +++=-，
即()202013520191
512
a a a a +++
=⨯-，
因为
()()()1010
202010101111512512412222
⨯-=⨯-=⨯+- ()010101
100910
1010101010101010112424242
2C C C C =⨯++++-
()0101011009110101010101012424242
C C C =⨯+++
能被12整除，所以则1352019a a a a ++++被12整除，余数是0.
故答案为：0. 【点睛】
本题考查二项式定理的应用和带余除法，本题解题的关键是利用赋值的方法、利用二项式定理得到式子的结果，属于中等题．
三、解答题
21．(1)8，256；(2)1792. 【分析】
（1）由题意利用二项展开式的通项公式，求出n 的值，可得所有项的二项式系数的和；（2）在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项． 【详解】
(1) ∵ 二项式32(*)n
x n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()3
12n r
r
r r n
T C x x -+⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，
由已知得3
3
222
2n n n n C C --=，即32
2n n C C =，解得8n =，
所有二项式系数的和为012
825622n
n n n n n C C C C +++
+===；
(2)展开式中的通项公式()
83
88384818
88222r
r
r r r r r r r r r T C x C x x C x x -----+⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，
若它为常数项时480,2r r -==.
所以常数项是26
3821792.T C ==
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
22．（1）1；（2）243；（3）122；（4）243- 【分析】
（1）令x=1即得015a a a +++的值；（2）在521x +（）
中，令1x =得解；（3） 先求出f(1)－f(-1)即得解；（4）求f(1)·
f(-1)即得解. 【详解】
∵()5
2501232x 1a a x a x a x -=+++
+， （1）令1x =，可得015a a a 1++
+=；
（2）在5
21x +（）中，令1x =，可得015a a a 243+++=；
（3）令f(x)=()5
250125 2x 1a a x a x a x -=+++
+,
f(1)=015 a a a 1+++=,
所以f(-1)=012345243a a a a a a -+-+-=-， 所以f(1)-f(-1)=2135()244a a a ++=, 所以135122a a a ++=．
（4）22
024135a a a a a a ++-++（）（）
012345012345a a a a a a a a a a a a =+++++-+-+-
()()1?11243243f f =-=⨯-=-．
【点睛】
本题主要考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
23．（1）7n =； （2）14x ，984x ，4560x ，1448x -； (3)
3
2672x . 【分析】
(1)由二项展开式的通项公式分别求出第4项的系数与倒数第4项的系数，然后计算出结果 (2)由通项公式分别计算当0246r =、、、时的有理项 (3)设展开式中第1r +项的系数最大，列出不等式求出结果 【详解】 （1）由题意知：522
12n r
r r
r n
T
C x
-+=，则第4项的系数为33
2n C ，
倒数第4项的系数为3
3
2
n n n
C --， 则有33332122n n n n C C --=即611
22n -=，7n ∴=.
（2）由（1）可得()5
142
1
7
20,1,,7r
r r
r T
C x
r -+==，
当0,2,4,6r =时所有的有理项为1357,,,T T T T
即001414172T C x x ==，2299
37284T C x x ==， 4444572560T C x x ==，661
1772448T C x x --==.
（3）设展开式中第1r +项的系数最大，则
117711
7
72222r r r r r r r r C C C C ++--⎧≥⇒⎨≥⎩ ()()12728r r r r ⎧+≥-⎪⎨-≥⎪⎩ 131633r ⇒≤≤，
5r ∴=，故系数最大项为3355
22
67
2672T C x x ==.
【点睛】
本题考查了二项式定理的展开式，尤其是通项公式来解题时的运用一定要非常熟练，针对每一问求出结果，需要掌握解题方法． 24．（1）144种；（2）70种；（3）24
35
. 【分析】
（1）用捆绑法求解；
（2）运用不平均分组问题的方法求解；
（3）针对取出2个红球，1个不同的白球，1个的黑球；1个红球，2个白球，1个黑球；
1个红球，1个白球，2个黑球三种情况讨论. 【详解】
解：（1）7只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，共有3322
3322144A A A A =种方法；
（2）将这7只球分成三堆，三堆的球数分别为：1,3,3，共有1376
2
270C C A =种分法； （3）当取出2个红球，1个的白球，1个的黑球时，211223
14
7C C C p C =； 当取出1个红球，2个白球，1个黑球时，121223
24
7C C C p C =； 当取出1个红球，1个白球，2个黑球时，112223
34
7C C C p C =； 2111211122232232231234
724
35
C C C C C C C C C p p p p C ++=++==. 故各种颜色的球都必须取到的概率为24
35
． 【点睛】
本题考查排列与组合、古典概型概率的计算问题，难度一般.一般地，解答排列问题时要注意一些模型的应用，如捆绑法、插空法、分组分配问题等. 25．（1）3360；（2）1 【分析】
（1）写出二项展开式的通项公式，当x 的指数是4时，可得到关于k 方程，解方程可得k 的值，从而可得展开式中含4x 项的系数；（2）根据上一问写出的通项公式，利用第3r 项和第2r +项的二项式系数相等，可得到一个关于r 的方程，解方程即可得结果. 【详解】
(1)设第k ＋1项为T k ＋1＝
令10－k ＝4，解得k ＝4，
故展开式中含x 4项的系数为()4
4
1023360C =-.
(2)∵第3r 项的二项式系数为，第r ＋2项的二项式系数为，
∵
＝
，故3r －1＝r ＋1或3r －1＋r ＋1＝10，
解得r ＝1或r ＝2.5(不合题意，舍去)，∴r ＝1. 26．（1）各项系数之和为：164，常数项为：5
2
- ；（2）①17；②
135 . 【分析】
（1）根据二项式定理的通项公式以及系数之和的性质进行求解即可． （2）利用古典概型的概率公式以及排列公式进行计算即可． 【详解】
解：（1）令1x =得各项系数之和为611(1)264
-+=，
展开式的通项公式666216611()(
)(1)()22
k k
k k
k k k k T C x C x x ---+=-=-， 由620k -=得3k =，
则常数项为333
615(1)()22
C -=-．
（2）①把3位女生当作一个元素，则有53
53A A 种排法，
则对应的概率53537
717
A A P A ==． ②4位男同学互不相邻，则先排女生，女生之间有4个空隙，然后在空隙中排男生有
34
34A A ．
则对应概率34
347
71
35
A A P A ==． 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用以及古典概型的计算，利用二项式定理的通项公式以及排列公式是解决本题的关键．难度不大．。