2025届江苏省赣榆县赣榆智贤中学数学高三第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2025届江苏省赣榆县赣榆智贤中学数学高三第一学期期末学业水平测试模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足()()5z i i --=，则z =（ ） A ．6i
B ．6i -
C ．6-
D ．6
2．已知函数2sin ()1
x f x x =
+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 是周期函数；③当2x π
=时，
函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1
y x
=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ） A ．①④
B ．②③
C ．①③④
D ．①②④
3．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（ ） A ．36
B ．72
C ．36-
D ．36±
4．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ） A ．
7
60
B ．
16
C ．
1360
D ．
14
5．已知i 为虚数单位，若复数12i
12i
z +=+-，则z = A ．
9i 5
+ B ．1i - C ．1i +
D ．i -
6．已知向量a b (3,1),(3,3)=-=，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ）
A ．
B
C ．1-
D ．1
7．若||1OA =，||3OB =0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则
m
n
的值为（ ）
A ．
13
B ．3
C D 8．甲乙两人有三个不同的学习小组A ， B ， C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参
加同一个小组的概率为（ ） A ．
13 B ．14 C ．15 D ．16
9．设a ，b 都是不等于1的正数，则“22a b log log ＜”是“222a b ＞＞”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
10．设{1,0,1,2}U =-，集合2
{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（ ）
A ．{0,1,2}
B ．{1,1,2}-
C ．{1,0,2}-
D ．{1,0,1}-
11．已知斜率为k 的直线l 与抛物线2
:4C y x =交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >，则斜率k 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞
B ．(,1]-∞
C ．(1,)+∞
D ．[1,)+∞
12．设全集U =R ，集合2
{|340}A x x x =-->，则U
A =（ ）
A ．{x |-1 <x <4}
B ．{x |-4<x <1}
C ．{x |-1≤x ≤4}
D ．{x |-4≤x ≤1}
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，
AB BC ⊥，且4AP AC ==，过A 点分别作AE PB ⊥于点E ，AF PC ⊥于点F ，连接EF ，则三棱锥P AEF -的
体积的最大值为__________．
14．如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++，则这段曲线的函数解析式为______________．
15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是2
2，若以(0,2)N 为圆心且与椭圆C 有公共点的圆的最大半径为
26，此时椭圆C 的方程是____.
16．在边长为4的菱形ABCD 中，60,A ︒＝点P 在菱形ABCD 所在的平面内．若3,21PA PC ＝＝，则
PB PD ⋅=_____．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知在等比数列{}n a 中，1234
112
0,4,n a a a a a >=-=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若221
1
log log n n n b a a +=
⋅，求数列{}n b 前n 项的和.
18．（12分）已知函数()()2
ln 2f x a x x x x =-+-．
（1）当2a e =-（e 为自然对数的底数）时，求函数()f x 的极值；
（2）()f x '为()y f x =的导函数，当0a >，120x x >>时，求证：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫
''-<-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
19．（12分）设数列
的前项和为，且
，数列
满足
，点
在
上，
（1）求数列，
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前项和． 20．（12分）已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>），点A 是C 的左顶点，点()2,3P 为C 上一点，离心率12e =.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设过点A 的直线l 与C 的另一个交点为B （异于点P ），是否存在直线l ，使得以AB 为直径的圆经过点P ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
21．（12分）已知q ，n 均为给定的大于1的自然数，设集合{1,2,3,,}M q =…，112{|,n n T x x x x q x q -==+++…
,1,2,}i x M i n ∈=…．
（Ⅰ）当2q
，2n =时，用列举法表示集合T ；
（Ⅱ）当200q =时，{}12100,,,A a a a M =…，且集合A 满足下列条件：
①对任意1100i j ≤<≤，201i j a a +≠；
②
100
1
12020i
i a
==∑．
证明：（ⅰ）若i a A ∀∈，则201i a A -∈（集合A 为集合A 在集合M 中的补集）； （ⅱ）
100
2
1
i
i a
=∑为一个定值（不必求出此定值）；
（Ⅲ）设,s t T ∈，21123n n s b b q b q b q -=++++…，1
12n n t c c q c q -=+++…，其中,i i b c M ∈，1,2,,i n =⋯，若
n n b c <，则s t <．
22．（10分）心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系Ox 中，方程(1sin )a ρθ=-（0a >）表示的曲线1C 就是一条心形线，如图，以极轴Ox 所在的直线为x 轴，极点O 为坐标原点的直角坐标系xOy 中.已知曲线2C 的参数方程为
1333x t y t ⎧=+⎪
⎨=+⎪⎩
（t 为参数）.
（1）求曲线2C 的极坐标方程；
（2）若曲线1C 与2C 相交于A 、O 、B 三点，求线段AB 的长.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解析】
由复数的运算法则计算． 【详解】
因为()()5z i i --=，所以5
6z i i i
=+=- 故选：A ． 【点睛】
本题考查复数的运算．属于简单题． 2、A 【解析】
根据奇偶性的定义可判断出①正确；由周期函数特点知②错误；函数定义域为R ，最值点即为极值点，由02f π⎛⎫'≠ ⎪⎝⎭
知③错误；令()()1
g x f x x
=-，在0x >和0x <两种情况下知()g x 均无零点，知④正确. 【详解】
由题意得：()f x 定义域为R ，
()()
()
()2
2
sin sin 1
1
x x
f x f x x x --=
=-
=-+-+，()f x ∴为奇函数，图象关于原点对称，①正确； sin y x =为周期函数，21y x =+不是周期函数，()f x ∴不是周期函数，②错误；
()
()()
2
2
21cos 2sin 1x x x x
f x x +-'=
+，02f π⎛⎫
'∴≠
⎪⎝⎭，2f π⎛⎫
∴ ⎪⎝⎭
不是最值，③错误； 令
()()221
sin 1sin 111
x x x x g x f x x x x x --
=-
=-=++，
当0x >时，sin x x <，10x
>，()0g x ∴<，此时()f x 与1
y x =无交点；
当0x <时，sin x x >，10x
<，()0g x ∴>，此时()f x 与1
y x =无交点；
综上所述：()f x 与1
y x
=无交点，④正确. 故选：A . 【点睛】
本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求. 3、A 【解析】
根据4a 是2a 与6a 的等比中项，可求得4a ，再利用等差数列求和公式即可得到9S . 【详解】
等比数列{}n a 满足21a =，616a =
，所以44a ==±，又2
420a a q =⋅>，所以44a =，由等差数列的性
质可得9549936S b a ===. 故选：A 【点睛】
本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题. 4、C 【解析】
分情况讨论，由间接法得到“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开的事件个数，不考虑限制因素，总数有6
6A 种，进而得到结果. 【详解】
当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有3
3A 种情况，由间接法得到满足条件
的情况有5123
5423A C A A -
当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有3
3A 种，
由间接法得到满足条件的情况有5123
5323A C A A -
共有：51235123
53235423A C A A A C A A -+-种情况，不考虑限制因素，总数有66A 种，
故满足条件的事件的概率为：51235123532354236
613
60
A C A A A C A A A -+-=
故答案为：C. 【点睛】
解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． 5、B 【解析】
因为2
12i (12i)(2i)2i 4i 2i 1111i 2i (2i)(2i)5
z ++++++=
+=+=+=+--+，所以1i z =-，故选B ． 6、A 【解析】
投影即为cos a b b a
θ⋅⋅=，利用数量积运算即可得到结论.
【详解】
设向量a 与向量b 的夹角为θ，
由题意，得331a b ⋅=-⨯+=-，(
)
312a =-+=，
所以，向量b 在向量a 方向上的投影为23
cos 2
a b
b a
θ⋅-⋅==
=故选：A. 【点睛】
本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题. 7、B 【解析】
利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】 解：
30AOC ︒∠=
3cos ,2
OC OA ∴<>=
32
OC OA OC OA
⋅∴
=
()3
2
mOA nOB OA mOA nOB OA
+⋅∴=+ 2
2
2
232
2m OA nOB
OA
OA mnOA OB n
OB OA
+⋅=
+⋅+1OA =，3OB =0OA OB ⋅=
=
229m n ∴=
又
C 在AB 上
0m ∴>，0n >
3m n
∴
= 故选：B 【点睛】
本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用． 8、A
【解析】依题意，基本事件的总数有339⨯=种，两个人参加同一个小组，方法数有3种，故概率为3193
=. 9、C 【解析】
根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b 的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可． 【详解】
由“l 22og log a b <”，得2211
log log a b
<，
得22log 0log 0
a b <⎧⎨>⎩或220log a log b ＞＞或220log a log b ＞＞， 即01
1a b <<⎧⎨
>⎩
或1a b ＞＞或01b a ＜＜＜，
由222a b ＞＞，得1a b ＞＞，
故“22
log log a b <”是“222a b ＞＞”的必要不充分条件，
故选C ．
【点睛】
本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题． 10、B 【解析】
先化简集合A,再求U C A . 【详解】
由21x < 得： 11x -<< ，所以{}0A = ，因此{}1,1,2U
A =- ，故答案为B
【点睛】
本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力. 11、C 【解析】
设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线l 的方程为：y kx b =+，与抛物线方程联立，由△0>得1kb <，利用韦达定理结
合已知条件得2
2k b k -=，2m k
=，代入上式即可求出k 的取值范围．
【详解】
设直线l 的方程为：y kx b =+， 1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，
联立方程2
4y kx b y x
=+⎧⎨
=⎩，消去y 得：222
(24)0k x kb x b +-+=， ∴△222(24)40kb k b =-->，
1kb ∴<，
且122
42kb x x k -+=，2
122b x x k
=， 12124
()2y y k x x b k
+=++=
， 线段AB 的中点为(1M ,)(0)m m >，
∴122
422kb x x k -+=
=，124
2y y m k
+==， 2
2k b k -∴=，2m k
=，
0m >，
0k ∴>，
把2
2k b k
-= 代入1kb <，得221k -<， 21k ∴>，
1k ∴>，
故选：C 【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，属于中档题． 12、C 【解析】
解一元二次不等式求得集合A ，由此求得U
A
【详解】
由()()2
34410x x x x --=-+>，解得1x <-或4x >.
因为{|1A x x =<-或4}x >，所以U
{|14}x x A =-≤≤.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13 【解析】
由已知可得△AEF 、△PEF 均为直角三角形，且AF ＝，由基本不等式可得当AE ＝EF ＝2时，△AEF 的面积最大，然后由棱锥体积公式可求得体积最大值． 【详解】
由PA ⊥平面ABC ，得PA ⊥BC ，
又AB ⊥BC ，且PA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面PAB ，则BC ⊥AE ， 又PB ⊥AE ，则AE ⊥平面PBC ，
于是AE ⊥EF ，且AE ⊥PC ，结合条件AF ⊥PC ，得PC ⊥平面AEF ，
∴△AEF 、△PEF 均为直角三角形，由已知得AF ＝， 而S △AEF ＝
1124AE EF ⨯⨯≤（AE 2+EF 2）＝1
4
AF 2＝2，
当且仅当AE ＝EF =2时，取“＝”，此时△AEF 的面积最大， 三棱锥P ﹣AEF 的体积的最大值为：
V P ﹣AEF ＝
13
AEF
PF S
⨯⨯＝123
⨯．
故答案为3
【点睛】
本题主要考查直线与平面垂直的判定，基本不等式的应用，同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，属于中档题． 14、310sin 208
4y x π
π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝⎭
，[]6,14x ∈ 【解析】
根据图象得出该函数的最大值和最小值，可得max min 2y y A -=，max min
2
y y b +=，结合图象求得该函数的最小正周期T ，
可得出2T
π
ω=，再将点()10,20代入函数解析式，求出ϕ的值，即可求得该函数的解析式. 【详解】
由图象可知，max 30y =，min 10y =，max min 102y y A -∴=
=，max min
202
y y b +==， 从题图中可以看出，从614时是函数()sin y A x b ωϕ=++的半个周期，则()214616T =⨯-=，28
T ππ
ω∴==. 又
10228
k π
ϕππ⨯+=+，k Z ∈，得()324k k Z π
ϕπ=
+∈，取34
πϕ=， 所以310sin 208
4y x π
π⎛⎫
=+
+
⎪⎝⎭
，[]6,14x ∈． 故答案为：310sin 208
4y x ππ⎛⎫
=+
+ ⎪⎝⎭
，[]6,14x ∈． 【点睛】
本题考查由图象求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.
15、22
1189
x y +=
【解析】
根据题意设()00,P x y 为椭圆上任意一点,表达出2
PN ,再根据二次函数的对称轴与求解的关系分析最值求解即可.
【详解】
,222a b c =+,所以22
2a b =,故椭圆方程为222212x y b b +=.
因为以(0,2)N 为圆心且与椭圆C ,所以椭圆C 上的点到点(0,2)N 的距离的最大值为
设()00,P x y 为椭圆上任意一点,则22
002212x y b b
+=.
所以()
()22
2
2
2
2
000022212y PN
x y b y b ⎛⎫=+-=-+- ⎪⎝
⎭
()22000424y y b b y b =--++-≤≤
因为()()22
0000424f y y y b b y b =--++-≤≤的对称轴为02y =-.
(i)当2b >时,()0f y 在[],2b --上单调递增,在[]2,b -上单调递减. 此时()()2
max 028226f y f b =-=+=,解得29b =.
(ii)当02b <≤时, ()0f y 在[],b b -上单调递减.
此时()()2
max 04426f y f b b b =-=++=,解得22b =
>舍去.
综上2
9b =,椭圆方程为22
1189
x y +=.
故答案为：22
1189
x y +=
【点睛】
本题主要考查了椭圆上的点到定点的距离最值问题,需要根据题意设椭圆上的点,再求出距离,根据二次函数的对称轴与区间的关系分析最值的取值点分类讨论求解.属于中档题. 16、1- 【解析】
以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系,再设(),P x y ,根据3,PA PC ＝P 的坐标,进而求得PB PD ⋅即可. 【详解】
解：连接,,AC BD 设,AC BD 交于点,O 以点O 为原点,
分别以直线,OC OD 为,x y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则：()
23,23()0202()(),A C B D --，
，,，,， 设(),P x y
321,PA PC ==,
((2
22
2
23
9
321
x y x y ⎧++=⎪∴⎨
⎪-+=⎩
①﹣②得,312,x =-
解得3x =, 32
y ∴=±
, 3322P ⎛⎫∴-- ⎪ ⎪⎝⎭或33,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
,
显然得出的PB PD ⋅是定值,
∴取3322P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
则3731,,2222PB PD ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, 37
144
PB PD ∴⋅=
-=-．
故答案为：1-． 【点睛】
本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）1
2n n a +=（2）
24
n
n +
【解析】
（1）由基本量法，求出公比q 后可得通项公式； （2）求出n b ，用裂项相消法求和． 【详解】
解：（1）设等比数列{}n a 的公比为()0q q > 又因为11241124,
a a a a =-=，所以23112
444q q q
-= 解得1q =-（舍）或2q
所以11422n n n a -+=⨯=，即1
2n n a += （2）据（1）求解知，1
2n n a +=，
所以221
1
log log n n n b a a +=
⨯
()()1
12n n =
++
1112
n n =
-++ 所以231...n n T b b b b =++++
1111111
1...23344512n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1122
n =
-+ 24
n
n =
+ 【点睛】
本题考查求等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和．解题方法是基本量法．基本量法是解决等差数列和等比数列的基本方法，务必掌握．
18、（1）极大值21e --，极小值2e -；（2）详见解析. 【解析】
首先确定函数的定义域和()f x '；
（1）当2a e =-时，根据()f x '的正负可确定()f x 单调性，进而确定极值点，代入可求得极值；
（2）通过分析法可将问题转化为证明12
112
2
21ln 1x x x x x x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭>+，设121x t x =>，令()()21ln 1t h t t t -=-+，利用导数可证得()0h t >，进而得到结论.
【详解】
由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()()()121122x x a f x a x x x
-+⎛⎫
'=-
+-= ⎪⎝
⎭， （1）当2a e =-时，()()()21x x e f x x
--'=
，
∴当()0,1x ∈和(),e +∞时，()0f x '>；当()1,x e ∈时，()0f x '<，
()f x ∴在()0,1，(),e +∞上单调递增，在()1,e 上单调递减，
()f x ∴极大值为()121221f e e =-+-=--，极小值为()()22212f e e e e e e =--+-=-.
（2）要证：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫
''-<-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
即证：()()()1212122x x f x f x f x x '
+⎛⎫
-<-
⎪⎝⎭
，
即证：()()22
11222211ln 2ln 2a x x x x a x x x x -+----+()12121222a x x a x x x x ⎛⎫
<++--
- ⎪+⎝⎭
，
化简可得：()121212
2ln a x x x a x x x ->+．
0a >，()1212122ln x x x x x x -∴>
+，即证：12112
2
21ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪
⎝⎭>+， 设12
1x t x =>，令()()21ln 1t h t t t -=-+，则()()()
2
2
101t h t t t -'=>+， ()h t ∴在()1,+∞上单调递增，()()10h t h ∴>=，则由12112
2
21ln 1x x
x x x x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭>+，
从而有：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫
''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到函数极值的求解、利用导数证明不等式的问题；本题不等式证明的关键是能够将多个变量的问题转化为一个变量的问题，通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题. 19、（1），
（2）.
【解析】
（1）利用与的递推关系可以的通项公式；点代入直线方程得，可知数列
是等差数列，用公式
求解即可.(2)用错位相减法求数列的和. 【详解】 由可得
， 两式相减得
，
．
又，所以．故是首项为1，公比为3的等比数列．所以．
由点在直线上，所以．
则数列是首项为1，公差为2的等差数列．则
因为
，所以
．
则，
两式相减得：．
所以．
【点睛】 用递推关系
求通项公式时注意的取值范围，所求结果要注意检验的情况；由一个等差数列和
一个等比数列的积组成的数列求和，常用错位相减法求解.
20、（1）22
11612
x y +=；
（2）存在，12105y x =-- 【解析】
（1）把点()2,3P 代入椭圆C 的方程，再结合离心率，可得a,b,c 的关系，可得椭圆的方程；
（2）设出直线l 的方程，代入椭圆，运用韦达定理可求得点B 的坐标，再由0PA PB ⋅=，可求得直线的方程,要注意检验直线是否和椭圆有两个交点． 【详解】
（1）由题可得2249112
a b c a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴22216124a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程2211612x y
+=
（2）由题知()4,0A -，设()00,B x y ，直线l 的斜率存在设为k ，
则():4l y k x =+与椭圆2211612
x y +=联立得()2222
343264480k x k x k +++-=
>0∆，2026448434k x k --=+，∴202
1612
34k x k -+=+，022434k y k =+，∴222161224,3434k k B k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭
若以AB 为直径的圆经过点P ，
则0PA PB ⋅=，∴()2222
624122496,3,03434k k k k k ⎛⎫
--+---⋅= ⎪++⎝⎭
， 化简得220810k k --=，∴()()211010k k -⋅+=，解得1
2k =
或110
k =-
因为B 与P 不重合，所以1
2k =
舍. 所以直线l 的方程为12105
y x =--.
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查了向量的数量积的运用，属于中档题. 21、（Ⅰ）{}3,4,5,6T =；（Ⅱ）（ⅰ）详见解析．（ⅱ）详见解析.（Ⅲ）详见解析. 【解析】 （Ⅰ）当2q
，2n =时，{1M =，2}，12{|2T x x x x ===+，i x M ∈，1i =，2}．即可得出T ．
（Ⅱ）（i ）当200q =时，{1M =，2，3，⋯，200}，又1{A a =，2a ，⋯，100}a M ，i a A ∀∈，201i a M -∈，必
然有201i a A -∈，否则得出矛盾．
（ii ）由2
2
(201)40240401i
i i a a a --=-．可得100100100
22
1
1
1
(201)4024040100i
i i i i i a a a ===--=-∑∑∑．又
100100
22
222
1
1
(201)
12200i
i
i i a a ==+-=++⋯⋯+∑∑，即可得出
100
21
i
i a
=∑为定值．
（iii ）由设s ，t A ∈，112n n s a a q a q -=++⋯+，112n n t b b q b q -=++⋯+，其中i a ，i b M ∈，1i =，2，⋯，n ．n n a b <，可得2121112211()()()()(1)(1)(1)n n n n n n n n s t a b a b q a b q a b q q q q q q q -------=-+-+⋯+-+--+-+⋯+--，通过求和即可证明结论． 【详解】 （Ⅰ）解：当2q
，2n =时，{}1,2M =，12{|2T x x x x ==+，i x M ∈，1i =，2}．
{}3,4,5,6T =．
（Ⅱ）证明：（i ）当200q =时，{1M =，2，3，⋯，200}， 又1{A a =，2a ，⋯，100}
a M ，i a A ∀∈，201i a M -∈，
必然有201i a A -∈，否则201i a A -∈，而(201)201i i a a +-=，与已知对任意1100i j <，201i j a a +≠矛盾． 因此有201i a A -∈．
（ii ）22(201)40240401i i i a a a --=-．
∴100100100
2
2
1
1
1
(201)4024040100791940i
i i i i i a a a ===--=-=∑∑∑．
100100
222221
1
200201(4001)
(201)122006
i i i i a a ==⨯⨯++-=++⋯⋯+=
∑∑，
∴100
21
1200201(4001)
(
791940)26
i i a =⨯⨯+=+∑为定值．
（iii ）由设s ，t A ∈，112n n s a a q a q -=++⋯+，112n n t b b q b q -=++⋯+，其中i a ，i b M ∈，1i =，2，⋯，n ．n n a b <，
21112211()()()()n n n n n n s t a b a b q a b q a b q ----∴-=-+-+⋯+-+- 21(1)(1)(1)n n q q q q q q ---+-+⋯+-- 21(1)(1)n n q q q q --=-++⋯+- 1
11(1)1n n q q q q
---=---
10=-<．
s t ∴<．
【点睛】
本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 22、（1）6
π
θ=（ρ∈R ）；（2）2a .
【解析】
（1
）化简得到直线方程为3
y x =
，再利用极坐标公式计算得到答案. （2）联立方程计算得到,26a A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，37,26
a B π⎛⎫
⎪⎝⎭
，计算得到答案 . 【详解】
（1
）由13x y t ⎧=+⎪⎨=
+⎪⎩消t
得，0x -=
即y x =， 2C 是过原点且倾斜角为6
π
的直线，∴2C 的极坐标方程为6
π
θ=
（ρ∈R ）.
（2）由6
(1sin )a πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得，2
6a ρπθ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴,26a A π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由76(1sin )a πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得32
76a ρπθ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴37,26a B π⎛⎫
⎪
⎝⎭
，∴3||222a a AB a =+=. 【点睛】
本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.。