中考数学模拟试题四及解答

中考模拟试题（四）
班级：_________ 姓名：_________ 得分：_________
一、填空题(每小题3分，共21分) 1．函数y ＝
2
32+-x x x 的自变量x 的取值范围是______．
2．不等式组⎩
⎨
⎧≥->-040
12x x 的解集是______．
3．二次函数y ＝-2x 2＋4x ＋1的顶点坐标为______．
4．如图1，P 、Q 是△ABC 的BC 边上两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ＝a ，那么AB ＝______．
图1
5．设地面气温是20℃，如果每升高1 km ，气温下降6℃，则气温y (℃)与高度x (km)满足的关系式为_______(不要求写出x 的取值范围)． 6．在半径为30米的圆形广场中心上空需设置一个照明光源，射向大地的光束呈圆锥形，其轴截面的顶角为120°，要使光源照亮整个广场，光源的高度至少要______米(精确到米)． 7．如图2，四边形ABCD 是正方形，曲线DA 1B 1D 1…叫做“正方形的渐开线”．其中DA 1、A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1…的圆心依次按A 、B 、C 、D 循环，他们依次连接．取AB ＝1，曲线DA 1B 1…C 2D 2的长是______(结果保留π )．
图2
二、选择题(每小题3分，共15分)
8．如图3，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠A ＝30°，则△ABC 的面积等于( )
图3
A ．2
33 B ．2
3 C ． 3
D ．33
9．已知一次函数y ＝kx ＋b ，当x 的值增大时，y 的值( ) A ．增大 B ．减小 C ．视k 值而定 D ．视b 值而定
10．已知△ABC 中，∠A ＝α ，O 为△ABC 的内心，则∠BOC 的度数是( )
A ．90°＋
2
1α
B ．90°-
21α C ．180°-α D ．180°-2
1
α
11．如图4，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，以AB 为直径的圆交BC 于D ，则图中阴影部分的面积为( )
图4
A ．
4π
- 2
1 B ．23
-
4
π C ．2 D ．1
12．一个滑轮起重装置如图5所示，滑轮的半径是10 cm ，当重物上升10 cm 时，滑轮的一条半径OA 绕轴心O 按逆时针方向旋转的角度约为(假设绳索与滑轮之间没有滑动，π 取，结果精确到1°)( )
图5 A ．115° B ．60° C ．57°
D ．29°
三、解答题(13～14每小题7分，15～16每小题9分，共32分) 13．计算：-22·8＋32(3-22)-2
11+．
14．如图6，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．
图6
求证：(1)AE＝CD；
(2)若AC＝12 cm，求BD的长．
15．随着教学手段不断更新，要求计算器进入课堂，某电子厂家经过市场调查，发现某种计算器的供应量x1(万个)与价格y1(万元)之间的关系如图7供应线所示，而需求量x2(万个)与价格y2(万元)之间的关系如图7中需求线所示，如果你是这个电子厂厂长，应计划生产这种计算器多少个，每个售价是多少元，才能使市场达到供需平衡？
图7
16．已知：矩形ABCD的面积为36，以此矩形的对称轴为坐标轴建立直角坐标系，设点A的坐标为(x，y)，其中x＞0，y＞0．
图8
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)试用x表示矩形ABCD的外接圆面积S；
(3)求出点A在何位置时，矩形ABCD的外接圆面积S最小，并求出S的最小值．
四、解答题(每题10分，共20分)
a的圆10个，现17．某企业要在宽为a的矩形铁板上裁出直径为a的圆5个，直径为
2
有两名技术人员设计了如图9所示的甲、乙两种不同的方案，通过计算说明哪种方案节省原材料，可节省多少？
图9
18．如图10，A、B是两幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物，B楼不能到达，由于建筑物密集，在A的周围没有开阔地带，为了测量B的高度只能充分利用A楼的空间，A的各层楼都可到达且能看见B，现仅有的测量工具为皮尺和测角器(皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线间的夹角)．
图10
(1)请你设计一个测量B楼高度的方法：要求写出测量步骤和必须的测量数据(用字母表示)，并画出测量图形；
(2)用你测量的数据(用字母表示)，写出计算B楼高度的表达式．
五、解答题(本大题只有1题，满分12分)
27．如图11，已知，⊙O的内接三角形中，BC是直径，过A点作⊙O的切线交CB的延长线于P点，作弦BD，使∠ABD＝∠P A C．
图11
(1)求证：AC ＝AD ；
(2)求证：AC 2＝DB ·CP ，AB 2＝BP ·DB ；
(3)若a 是不等式组⎩
⎨
⎧+>-+>+a a a a 12512)1(4的正整数解，而BC 是方程2212-=---z z
z a z z z 的解，BP ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式；
(4)在(3)的结论下，当BD ＝2BP 时，求∠P 正弦值．
参考答案 一、1．x ≠1且x ≠2 2．
2
1
＜x ≤4 3．(1，3) 4．3a 5．y ＝20-6x 6．h ＝30·cot60°＝103≈ 7．18π
二、8．B 9．C 10．A 11．D 12．C 三、13．-11
14．(1)证△AEC ≌△CDB (2)BD ＝
21BC ＝2
1
AC ＝6 cm 15．由(0，60)、(30，70)知供应线的函数解析式为y 1＝3
1
x ＋60．由(0，80)、(20，60)知需求线的函数解析式为y 2＝-x ＋80．令y 1＝y 2解得x ＝15．当x ＝15时，y 1＝65． 故生产这种计算器15万件，每个售价3
13
元时，市场达到供需平衡． 16．解：(1)建立直角坐标系如图，
依题可得xy ＝9，即y ＝
x
9
(x ＞0)． (2)由题意得S ＝π (x 2＋y 2)＝［x 2＋(
x
9)2］，(x ＞0)．
(3)S ＝π［x 2＋(
x 9)2］＝π［(x -x
9
)2］＋18π ， ∴ 当A 点的坐标为(3，3)时，S 最小，这个最小值是18π ． 四、17．如图，可求得O 1O 2＝
22a 于是可知矩形甲的面积为7a 2＋2
2a 2
＝；
矩形乙的面积为：
2
1a 2
＋42a 2＋22a 2＋41a 2＝43a 2＋
292a 2≈ ∴ 方案乙节约原料，节约．
18．本题解题方法很多，表达式也多种多样，现给出一种测量设计方案，供参考(详见) (1)如图，设AC 表示A 楼，BD 表示B 楼，测量步骤为：
①用测角器在A 楼的顶端A 点测量到B 楼底端的俯角α ； ②测角器在点A 测量到B 楼楼顶的仰角β ；
③用皮尺从A 楼顶放下，测量点A 到地面的高为a ； (2)在Rt △ACD 中，CD ＝a ×tan DAC ＝a ·cot α ． 在Rt △AEB 中，BE ＝AE ·tan β
∵ AE ＝CD ，∴ BE ＝a ·cot α ·tan β ． ∴ 楼高BD ＝BE ＋ED ＝BE ＋AC
＝a ·cot α ·tan β ＋a ＝a (1＋cot α ·tan β )． 五、19．(1)略
(2)由△CAP ∽△DBA ，得AC ·AD ＝BD ·PC ，即AC 2＝DB ·CP ． 又由△APB ∽△ABD ，得AB 2＝PB ·BD
(3)a ＝1，BC ＝1，因为BP ·DB ＝AB 2＝BC 2-AC 2＝1-DB ·CP ＝1-y (x ＋1)，即xy ＝1-y (x
＋1)，得y ＝
1
21
+x ， (4)连结OA ，因为y ＝2x ，代入y ＝121
+x ，得x ＝415-．所以PO ＝415+，OA ＝2
1，
sin P ＝2
1
5-=PO
OA
．。