《数学归纳法及其应用课堂实录

《数学归纳法及其应用课堂实录一、引入新课
师：四边形、五边形、六边形分别有多少条对角线？你是怎样考虑的？
[提出问题，让学生在解答的过程中发觉规律.]
生：四边形、五边形、六边形分别有两条对角线，五条对角线和九条对角线，以六边形为例，每个顶点可引3条对角线，六个顶点可引18条对角线，但因每条对角线都计算了两次，所以六边形实际有9条对角线.
师：n边形(n≥4)有多少条对角线？为什么？
[由特例到一般问题的提出，符合由特别到一般，由详细到抽象的相识过程.]
生：n边形有条对角线，因为每个顶点可引n-3条对角线，所以n个顶点可引n(n-3)条，但每条对角线都计算了两次，故n边形实际有条对角线.
师：这一公式适合四边形、五边形、六边形吗？
[由一般再回到特别，特例的正确性提高了学生探究问题的踊跃性，增加了猜测的信念.]
生：适合.
师：视察等差数列的前几项：
a1=a1+0d
a2=a1+1d
a3=a1+2d
a4=a1+3d
你发觉了什么规律？试用a1，n和d表示an.
生：an=a1+(n-1)d
师：像这种由一系列特别事例得到一般结论的推理方法，叫做归纳法，用归纳法可以协助我们从特别事例中发觉一般规律，但是，由归纳法得出的一般结论并不必须牢靠.例如，一个数列的通项公式是
an=(n2-5n+5)2请算出a1，a2，a3，a4你能得到什么
结论？
生：由a1=1，a2=1，a3=1，a4=1可知an=1
师：由an=(n2-5n+5)2计算a5.
[由a5=25≠1，否认了学生的猜测，举出反例是否认命题正确性的简洁而根本的方法.]
师：由归纳法得到的一般结论是不必须牢靠的.
法国数学家费尔马曾由n=0，1，2，3，4得到+1均为质数而推想：n为非负整数时，+1都是质数，但这一结论是错误的.因为数学家欧拉发觉，n=5时+1是一个合数：+1=4294967397=641×6700417.
[数学史例使学生爱好盎然，学习踊跃性大为提高，
至此，归纳法作为一种发觉规律的推理方法的数学已告完毕.]
师：既然由归纳法得到的结论不必须牢靠，那么，就必需想方法对所得到的结论进展证明，对于由归纳法得到的某些与自然数有关的命题P(n)，能否通过一一验证的方法来加以证明呢？
生：不能.因为这类命题中所涉及的自然数有无限多个，所以无法一个一个加以验证.
[新问题引导学生思索：既然对于P(n0)、P(n0+1)、P(n0+2)……的正确性无法一一验证，那么如何证明
P(n)(n≥n0)的正确性呢？至此，数学归纳法的引入水到渠成.]
二、新课
师：我们将采纳递推的方法解决这个问题.同学们在电视中可能看到过“多米诺”骨牌的嬉戏，由于骨牌之间特别的排列方法，只要推到第一块骨牌，其次块就会自己倒下，接着第三块就会倒下，第四块也会倒下……如此传递下去，全部的骨牌都会倒下，这种传递相推的方法，就是递推.
从一个袋子里第一次摸出的是一个白球，接着，假如我们有这样的一个保证：“当你第一次摸出的是白球，那么下一次摸出的必须也是白球”，能否断定这个
袋子里装的全是白球？
生：能断定.
[为数学归纳法的两个步骤供应详细生动的模型，协助学生理解数学归纳法的实质.]
师：要探究关于自然数的命题P(n)，我们先来看自然数有什么性质，自然数数列本身具有递推性质：第一个数是1，假如知道了一个数，就可以知道下一
个数.有了这两条，全部自然数尽管无限多，但我们就可全部知道了.类似地，我们可采纳下面的方法来证明有关连续自然数的命题P(n)，先验证n取第一个值n0时命题正确；再证明假如n=k(k≥n0)时命题正确，那么
n=k+1时命题正确，只要有了这两条，就可断定对从
n0起先的全部自然数，命题正确，这就是数学归纳法的根本思想.
[先通俗了解数学归纳法的根本思想，对深刻理解数学归纳法的实质至关重要.]
师：用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题
P(n)的步骤是：
(1)证明当n取第一个值n0(如n0=1或n0=2等)
时结论成立，即验证P(n0)正确；
(2)假设n=k(k∈N，且k≥n0)时结论正确，证明
n=k+1时结论正确，即由P(k)正确P(k+1)正确由(1)和(2)，
就可断定命题对于从n0起先的全部自然数n都正确.
这两步实质上是证明P(n)的正确具有递推性.(1)是递推的始点(2)是递推的依据.
步骤(1)是一次验证，步骤(2)是以一次逻辑推理代替了无限次验证过程.步骤(2)用的是演绎推理.
由(1)与(2)可知，递推的过程是：
上述无穷“链条”一环扣一环，形象地说明白用数学归纳法证明P(n)正确性的过程.
[先明确步骤，然后在运用中加深理解数学归纳法的实质.]
师：用数学归纳法证明等差数列通项公式
an=a1+(n-1)d对一切n∈N都成立.
(证明由学生完成，并得出)
师：至此，对等差数列通项公式的“视察——猜测——证明”的探究完毕，视察特例，归纳一般结论，用数学归纳法证明，这是解答有关连续自然数命题的有效途径.
师：下面，我们来看教材中的例题：证明
1+3+5+……+(2n-1)=n2
请同学们自己完成，然后将自己的证明与教材中的证明参照，如发觉错误，找出错误的缘由.
师：用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2如采纳下面的证法，对吗？
(1)n=1时，通过验证，等式成立.
(2)假设n=k时等式成立，即1+3+5+……+(2k-1)=k2
那么
这就是说，当n=k+1时等式也成立，由(1)和(2)，可知对任何n∈N等式都成立.
生甲：证明是对的.
生乙：证明方法不是数学归纳法.因为其次步证明时，未用到归纳假设. [指出错误，并分析出错缘由，是澄清学生模糊相识的有效方法.]
师：从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n=k+1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式.数学归纳法的核心是在验证n取第一值n0正确的根底上，由P(k)正确证明P(k+1)正确，也就是说核心是证明命题的正确具有递推性.因此，今后用数学归纳法证明时，其次步必需由归纳假设P(k)的正确性来推导出P(k+1)的正确性，简记作.可见，正确运用归纳假设，是用数学归纳法证题的关键.
[老师的概括与强调，能使学生运用数学归纳法证题的思路进一步清楚和明确，不再机械地套用两个步
骤，而且能深化理解实质及两个步骤之间的内在联系.] 师：用数学归纳法证明命题的两个步骤中，仅有第一步骤验证而没有其次步骤递推性的证明是不行的，那么，没有第一步行吗？
[新的问题引起学生新的思索.]
生甲：第一步仅是验证当n取第一个值n0时结论正确.其实，这是明显的，可以省略.
生乙：第一步是其次步递推的根底，没有第一步是不行的.
师：让我们举一个例子来看一下：试问等式
2+4+6+……+2n=n2+n+1成立吗？
设n=k时成立，即2+4+6+……+2k=k2+k+1
那么
2+4+6+……+2k+2(k+1)=k2+k+1+2k+2=(k+1)2+(k+1)+1 这就是说，n=k+1时等式也成立，假设仅由这一步就得出等式对任何n∈N都成立的结论，那就错了.事实上，当n=1时左边=2，右边=3，左边≠右边，可能有的同学已经看出，该式左边总是偶数，而右边总是奇数，因此对任何n∈N该式都是不成立的.因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不行.第一步是递推的根底，其次步是递推的依据.缺了第一步，递推失去根底；缺了其次步，递推失去依据，因此无法
递推下去.
三、练习
用数学归纳法证明：n边形的对角线的条数是(n≥4)
四、小结
师：本节课主要讲了数学归纳法及其应用，应驾驭以下几个要点：
(1)数学归纳法证题的步骤：
①验证P(n0)成立.
②假设P(k)成立(k∈N且k≥n0)，推证P(k+1)成立.
(2)数学归纳法的核心，是在验证P(n0)正确的根底上，证明P(n)的正确具有递推性(n≥n0).第一步是递推的根底或起点，其次步是递推的依据.因此，两步缺一不行，证明中，恰当地运用归纳假设是关键.
(3)数学归纳法适用的范围是：证明某些与连续自然数有关的命题.
(4)归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法，归纳法协助我们提出猜测，而数学归纳法的作用是证明猜测.
五、布置作业(略)
点评：本节课练中有讲，讲中有练，讲与练结合.在讲与练的相互作用下，使学生的思维逐步深化，老
师提出的问题和例题，先由学生自己解答，然后老师分析与概括，在老师讲解新课中，又不断提出问题让学生解答和练习，以求在练习中加深理解.。