黑龙江省牡丹江市高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)

2016—2017年度下学期期末考试
高二理科数学试题
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选C.
2. 若，则下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，选D.
3. 函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，所以
【考点定位】本题考查函数的定义域的求法，考查数形结合思想和运算能力. 根据函数解析式确定函数的定义域，往往涉及到被开放数非负、分母不能为零，真数为正等多种特殊情形，然后通过交集运算确定.
4. 设，，，则的大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】C
.................. ......
故，选C
考点：对数函数和指数函数的性质
5. 已知，，则成立的一个充分不必要条件是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以
，因此选B.
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
6. 已知变量满足：则的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：作出满足不等式组的平面区域，如图所示，由图知目标函数
经过点时取得最大值，所以，故选D．
考点：简单的线性规划问题．
7. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为CD中，所以不选；因为，所以选A.
点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系
8. 已知,,,则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：由，有，则，故选：B．
考点：基本不等式.
【易错点睛】本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题：(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意
“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
9. 已知是定义在上的奇函数，满足对任意的实数，都有，当时，，则在区间上（）
A. 有最大值
B. 有最小值
C. 有最大值
D. 有最小值
【答案】A
【解析】设，则，所以在上的单调递减，因此有最大值，选A.
10. 定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得函数为减函数，且为奇函数，所以
当时，为阴影部分，,选D.
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内
11. 若不等式，对任意恒成立，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：∵，∴，
∴，
∴，而为减函数，∴当时，函数取得最小值，最小值为1，∴.
考点：1.恒成立问题；2.函数的单调性；3.对数式.
12. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对所有实数均成立，则称函数为“期望函数”，下列函数中“期望函数”的个数是（）
①②③
④
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
，
因此③④为“期望函数”，选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。

将答案填在答题卡相应的位置上)
13. 函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是
__________ 。

【答案】(0,3)；
【解析】试题分析：由于函数在上单调递增，且函数
的一个零点在区间内，则有且，解得. 考点：1.函数的单调性；2.零点存在定理
14. 已知函数的图象如图所示，设函数，则函数的定义域
是___________。

【答案】(1,7］；
【解析】，因此定义域是(1,7］15. 已知f(x)是上最小正周期为的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为________。

【答案】7
【解析】当时，，所以函数的图象在区间上与轴的交点横坐标为共7个
点睛：
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
16. 以下说法正确的是__________。

(填写所有正确命题的序号)
①不等式与不等式解集相同；
②已知命题“若，则”的否命题是“若，则” ，命题“若
，则”与命题“若，则”等价，则为真命题，为假命题；
③命题“”的否定是“”；
④已知幂函数的图像经过点，则。

【答案】④
【解析】
，显然两者解集不同；①错
命题为真命题；命题为真命题；为真命题，为真命题②错
命题“”的否定是“”；③错
；④对
三、解答题(本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为。

在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为。

（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
（2）若点P坐标为，圆与直线交于两点，求的值。

【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）由加减消元得直线的普通方程,由得圆的直角坐标方程；（2）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2,再根据韦达定理可得结果
试题解析：解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0
又由得ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5；
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0
设t1，t2是上述方程的两实数根，
所以t1+t2=3
又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，
所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．
18. 已知函数。

（1）若，解不等式；
（2）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围。

【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）由绝对值定义将不等式化为三个不等式组,分别求解集,最后求并集（2）先化简不等式为|3x﹣a|﹣|3x+6|≥1﹣a，再根据绝对值三角不等式得|3x﹣a|﹣|3x+6|
最大值为|a+6|，最后解不等式得实数的取值范围
试题解析：解：（1）a=2时：f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3，
或或，
解得：﹣≤x≤；
（2）不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，
即|3x﹣a|﹣|3x+6|≥1﹣a，
由绝对值不等式的性质可得||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|，
即有f（x）的最大值为|a+6|，
∴或，
解得：a≥﹣．
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
19. 某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：
月份x 1 2 3 4 5
y（万盒） 4 4 5 6 6
（1）该同学为了求出关于的线性回归方程，根据表中数据已经正确计算出=0.6，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；
（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题，记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望。

【答案】（1），6.8（2）见解析
试题解析：解：（1）==3，（4+4+5+6+6）=5，
因线性回归方程=x+过点（，），
∴=﹣=5﹣0.6×3=3.2，
∴6月份的生产甲胶囊的产量数：=0.6×6+3.2=6.8．
（2）ξ=0，1，2，3，
P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，
其分布列为
ξ0 1 2 3
P
所以Eξ==．
20. 已知函数，其中，设是的导函数，讨论的单调性和极值。

【答案】见解析
【解析】试题分析：先求的导数，根据导函数零点进行讨论：当时，导函数无零点，在区间上单调递增，无极值. 当时，导函数有两零点，函数先增后减再增，有两个极值点。

列表根据导函数符号变化规律确定极值
试题解析：由已知，函数的定义域为，
，
所以.
当时，在区间上单调递增，
在区间上单调递减，；
当时，在区间上单调递增，无极值.
21. 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点在线段上，
且，点在圆上运动。

(1)求点的轨迹方程；
(2)过定点的直线与点的轨迹交于两点，在轴上是否存在点，使
为常数，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）由转移法求动点轨迹：先设M(x，y)，P(x0，y0)，根据条件得x0＝x，y0＝y.再代入已知动点轨迹，化简即得点M的轨迹方程（2）以算探索存在性问题：直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(n,0)，根据向量数量积坐标表示可得＝(1＋k2)x1·x2＋(x1＋x2)(k2－n)＋n2＋k2
，利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理可得关于k的关系式，而由题意得与k无关的常数，所以解得n，即得点的坐标
试题解析：(1)设P(x0，y0)，M(x，y)，则x0＝x，y0＝y.
∵P(x0，y0)在x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4.
∴x2＋2y2＝4，即＋＝1.
点M的轨迹方程为＋＝1(x≠±2)．
(2)假设存在．当直线AB与x轴不垂直时，
设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(n,0)，
联立方程组
整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－4＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝.
∴·＝(x1－n，y1)·(x2－n，y2)
＝(1＋k2)x1·x2＋(x1＋x2)(k2－n)＋n2＋k2
＝(1＋k2)×＋(k2－n)×＋k2＋n2
＝＋n2
＝＋n2
＝ (2n2＋4n－1)－.
∵·是与k无关的常数，∴2n＋＝0.
∴n＝－，即N，此时·＝－.
当直线AB与x轴垂直时，若n＝－，则·＝－.
综上所述，在x轴上存在定点N，使·为常数．
22. 设函数。

（1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由。

【答案】（1）5（2）（3）
【解答】解：（1）当m=1时，，
∴y=g（x）在x=1处的切线斜率，
由，∴y=f（x）在x=1处的切线斜率k=1，
∴，∴n=5．
（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），
又，
由题意，得的最小值为负，
∴m（1﹣n）＞4，由m＞0，1﹣n＞0，
∴，
∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4舍，
∴m﹣n＞3或m﹣n＜﹣5舍；
∴m﹣n＞3
（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．
令θ（x）=，其中x＞0，a＞0，则θ'（x）=，
设，
∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）=0在区间（0，+∞）必存在实根，
不妨设δ（x0）=0，即，
可得（*）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增，
在（x0，+∞）上单调递减，
所以θ（x）max=θ（x0），θ（x0）=（ax0﹣1）•ln2a﹣（ax0﹣1）•lnx0，
代入（*）式得，
根据题意恒成立．
又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立
即有，即ax0=1，即．
代入（*）式得，，即，
解得．
解法二、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0
根据条件对任意正数x恒成立，
即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，
∴且，解得且，
即时上述条件成立，此时．
解法三、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0
要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，
等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立，
即对任意正数x恒成立，
设函数，则φ（x）的函数图象为开口向上，
与x正半轴至少有一个交点的抛物线，
因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点，
即，所以．
【解析】试题分析：（1）分别求出函数、的导函数，分别求得在出的切线斜率，有两切线垂直的条件，解方程即可得到的值；
（2）由函数在定义域内不单调，又，所以得的最小值为负，即可求出的取值范围；
（3）假设存在实数，使得对任意正实数恒成立，构造新的函数，求导，求出新函数的单调区间和最值，结合不等式恒成立的思想列出对应的等式，求出的值．
试题解析：（1）当时，，在处的切线斜率，由，在处的切线斜率，，．
（2）易知函数的定义域为，
又，
由题意，得的最小值为负，（注：结合函数
图象同样可以得到），，，
（3）令，其中
则，设
在单调递减，在区间必存在实根，不妨设
即，可得（*）在区间上单调递增，在上单调递减，所以，
，代入（*）式得
根据题意恒成立．
又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立
所以，．代入（*）式得，，即
（以下解法供参考，请酌情给分）
解法2：，其中
根据条件对任意正数恒成立
即对任意正数恒成立
且，解得且，
即时上述条件成立此时．
解法3：，其中
设，函数单调递增，函数单调递减，要使得对任意正数恒成立，
只能是函数，的与轴的交点重合，即，所以．
考点：1．导函数的应用；2．不等式恒成立问题．。