2019-2020年高二4月月考理科数学含答案

2019-2020年高二4月月考理科数学含答案
一：选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，四个选项中只有一个正确的．）
1．设复数21z i
=+(其中i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数)，则2
3z z +的虚部为( )． A ．2i B ．0 C ．10- D ．2
2．设函数12)(2+=x x f 图象上一点()3,1及邻近一点()y x ∆+∆+3,1，则=∆∆x
y
（ ）． A ．x ∆4 B ．2
24x x ∆+∆ C ． x ∆+24 D ．4
3．已知01()11x x f x x x
≤≤⎧⎪
=⎨>⎪⎩（）（），则20()f x dx =⎰（ ）．
A ．92
B ．12ln 22+
C ．1ln 22+
D ．5
ln 24
-
4．设11a -<<，z 为复数且满足i a z ai +=+)1(，则z 在复平面内对应的点在（）． Ａ．x 轴下方 Ｂ．x 轴上方 Ｃ．y 轴左方 Ｄ．y 轴右方
5．函数)(x f 为偶函数，且)(x f '存在，则=')0(f （ ）． A ．1 B ．-1 C ． 0 D ．x -
6．若函数52)1(3
1)(23
++⋅'-=
x x f x x f ，则=')2(f （ ）． A ．3 B ．-6 C ． 2 D ． 3
7
7． 若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ）． A ． 1
(,)3+∞ B ． 1(,)3-∞ C ． 1(,]3-∞ D ． 1[,)3
+∞
8．函数3
2
()23125f x x x x =--+在[]0,3上最大值和最小值分别是（ ）
A ．5 , －15
B ．5,－4
C ．－4,－15
D ．5,－16
9． 若函数3
()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值 , 则（ ）．
A ．01b <<
B ． 1b <
C ． 0b >
D ．2
1
<b
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10．下列说法正确的有（ ）个．
①已知函数)(x f 在()b a ,内可导，若)(x f 在()b a ,内单调递增，则对任意的()b a x ,∈∀，
有0)(>'x f ．
②函数)(x f 图象在点P 处的切线存在，则函数)(x f 在点P 处的导数存在；反之若函数)(x f 在点P 处的导数存在，则函数)(x f 图象在点P 处的切线存在． ③因为32>，所以32i i +>+，其中i 为虚数单位．
④定积分定义可以分为：分割、近似代替、求和、取极限四步，对求和1
()n
n i
i I f x ξ==∆∑中i
ξ
的选取是任意的，且n I 仅于n 有关．
⑤已知23i -是方程220x px q ++=的一个根，则实数,p q 的值分别是12，26． A ．0 B ．1 C ． 3 D ．4
11．设a R ∈，若函数3,ax y e x x R =+∈，有大于零的极值点，则（ ）． A ．3a >- B ．3a <- C ． 1
3a >- D ．13
a <-
12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(2)0f =，当0x >时，有()()0xf x f x '-<成立，则不等式2()0x f x ⋅>的解集是（ ）． A ．()()2,02,-+∞ B ．()(),22,-∞-+∞ C ．()
()2,00,2- D ．()(),20,2-∞-
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二：填空题（本大题共4个小题，每个题4分，共16分） 13．
=-⎰
dx x 2
24 ．
14． 抛物线2
y x =-上的点到直线4380x y +-=的最小距离为 ． 15．如果复数
21bi
i
-+（i 为虚数单位，b R ∈）为纯虚数，则1z bi =-所对应的点关于直线y x
=的对称点为 ．
16．已知函数2
)()(c x x x f -=在2=x 处有极大值，则=c ．
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三：解答题（本大题共6个小题，要写出必要的演算步骤．） 17．（本题满分12分）计算下列各题
（Ⅰ）已知函数x
x x f )
12ln()(+=
，求)2(f '； （Ⅱ）求dx e x x x x
⎰-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-222sin 6cos π
π． (Ⅲ)已知z 为z 的共轭复数，且()1243i z i +=+，求z z
18． （本题满分12分）
已知函数3
()f x ax b =+，其图象在点P 处的切线为:44l y x =-，点P 为2（如图）．
求直线l 、直线0x =、直线0y =以及()f x 的图象在第一象限所围成区域的面积．
19． （本题满分12分）
已知3=x 是函数()
)(,)(32R x e b ax x x f x
∈++=-的一个极值点．
（Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）当0>a 时，求()f x 在[]4,0上的值域．
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20． （本题满分12分）
设曲线()1x
y ax e =-
在点()01,A x y 处的切线为1l ，曲线()1x
y x e -=-在点()02,B x y 处的
切线为2l ，若存在030,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使得1l ⊥2l ，求实数a 的取值范围．
21． （本题满分12分）
已知函数)(,102)(2R x x x x f ∈-=,问是否存在自然数m ，使得方程037
)(=+
x
x f 在区间)1,(+m m 内有且仅有两个不等的实数解？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
22． （本题满分14分）
已知函数3ln )(--=ax x a x f ，R a ∈
（Ⅰ）若函数)(x f 的图象在点()2,(2)f 处的切线的倾斜角为0
45，对任意的[]2,1∈t ,函数
32()()2m g x x x f x ⎡
⎤'=++⎢⎥⎣
⎦在区间()3,t 上总不是单调函数，求m 取值范围；
(Ⅱ)求证：
)2,(,1
ln 44ln 33ln 22ln ≥∈<∙∙∙∙n N n n
n n ．
参考答案
1D 2C 3 C 4B 5C 6C 7D 8A 9A 10B 11B 12D
13．12+π 14．4
3
15．()1,2- 16．6
17.(Ⅰ)222ln(21)1ln 5
(),(2)254
x f x f x x x +''=-=-+
(Ⅱ)原式
()22
2222
2
2
24
02220
cos 6sin cos 6sin 0244x
x x x x x x e dx x x x dx e dx e dx e e π
π
ππ
π
π
πππ---
⎛⎫-+=-+=+== ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰⎰
(Ⅲ) 234
255z i i z i +=
=+- 以上每个4分 18.略解
31414
,()3333
a b f x x ===+， (4)
直线:44l y x =-与x 轴的交点的横坐标为1,………………………6 所以
()123341422
01011414141164422
3333123123S x dx x x dx x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++--=+++-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎰⎰ (12)
19.略解: (Ⅰ)32323()(2)()(2)x x x f x x a e x ax b e x a x b a e ---'⎡⎤=+-++=-+-+-⎣⎦
由(3)0f '=得32b a =-- (3)
3()(3)(1)x f x x x a e -'=--++ (1)当13a -->,即4a <-时 令()0f x '>得31x a <<-- 令()0f x '<得31x x a <>--或 (2)当13a --<,即4a >-时 令()0f x '>得13a x --<< 令()0f x '<得13x a x <-->或 (1)当13a --=,即4a =-时
23()(3)0x f x x e -'=--≤恒成立 综上述:
(1)当4a <-时()f x 的单调递增区间为()3,1a --，递减区间()(),3,1,a -∞--+∞ (2)当4a >-时()f x 的单调递增区间为()1,3a --，递减区间()(),1,3,a -∞--+∞ (3)当4a =-时()f x 在(),-∞+∞上单调递增.
……………………………………………………………………………8 (Ⅱ)0a >时,()f x 在()0,3上增在()3,4上减,
(12)
得值域为3
(23),6a e a ⎡⎤-++⎣⎦
20.解:依题意由，y ′＝a e x
＋(ax －1)e x
＝(ax ＋a －1)e x
，
所以kl 1＝(ax 0＋a －1)e x 0.
由y ＝(1－x )e －x
＝1－x e x ，得y ′＝－e x －－x x
x 2
＝x －2e
x ， 所以kl 2＝x 0－2
e x 0
(4)
因为l 1⊥l 2，所以kl 1·kl 2＝－1，即(ax 0＋a －1)e x 0·x 0－2
e x 0
＝－1，
即(ax 0＋a －1)·(x 0－2)＝－1，从而a ＝x 0－3x 20－x 0－2，其中x 0∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，32………………7 令f (x )＝x －3x 2－x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤32，则f ′(x )＝－x －x －x 2
－x －2
，……………………8 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 又因为f (0)＝32，f (1)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝65，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1，32…………………12 21.略解
问题等价于方程32210370x x -+=在(),1m m +内有且仅有两个不等的实数根， 令32()21037h x x x =-+
210
()6206()3
h x x x x x '=-=-
当10
(0,
)3x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当10
(,)3
x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增； (4)
由于101
(3)10,()0,(4)50327
h h h =>=-
<=>，……………………7 所以方程()0h x =在10103,,,433⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
内分别有唯一实数根，而在()()0,3,4,+∞内没有
实数根 (10)
所以存在唯一自然数3m =使得方程037
)(=+
x
x f 在区间)1,(+m m 内有且仅有两个不等的实数解。

(12)
22．解：（Ⅰ） 0>x ， x
x a a x a x f )1()('
-=-=
∴当0>a 时，↓∞+↑），，（）在（
11,0)(x f 当0=a 时，函数无单调区间,3)(-=x f
当0<a 时，↑∞+↓），，（）在（11,0)(x f (2)
32ln 2)(,2,12,1)2('-+-=∴-=∴=-∴
=x x x f a a a
f x x m
x m x x x x g 2)22
()222()(2323-++=++-+=
∴2)4(3)(2'-++=x m x x g ，
令024)4(,02)2(3,0)(22'>++=∆=-++∴=m x m x x g。

有一正一负的两个实根0)(,03
2
'21=∴<-
=x g x x 又[]2,1∈t ，)3,(t x ∈ 上只有一个正实根。

在上不单调，
在)3,(0)()3,()('t x g t x g =∴……………………4 2)4(3)(2
'
-++=x m x x g ，⎩⎨⎧>-⨯++<-++⇒⎩⎨⎧><∴0
23)4(270
2)4(30)3(0)(2'
'm t m t g t g []⎪⎩
⎪⎨⎧
->-<+∴∈⎪⎩
⎪⎨⎧->->+⇒3373242,1,337
32)4(2m t t m t m t t m 恒成立，又 ……………………7 t t t h 32)(-=令，可证[]↓∈-=2,1,32
)(t t t t h 在，5)2()(min -==∴h t h
9337337
54-<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧-
>-<+m m m ……………………………………………………9 (Ⅱ)令)1()(,),1()()1(,2)1(,3ln )(,1f x f x f f x x x f a ≥∴⇑+∞-=-+-=-=在知由
即成立。

对一切),1(1ln 23ln +∞∈-≤⇒-≥-+-x x x x x
因为)2,(,1
ln 0,1ln 0,2,≥∈-≤<∴-≤<≥∈n N n n n n
n
n n n N n 则恒有：
．．．．① )2,(,1
1433221ln 34ln 33ln 22ln ≥∈=
-⨯⨯⨯⨯≤∙∙∙∙∴n N n n
n n n n ．．．．．② 又①式中“=”仅在n=1时成立，又2,≥∈n N n ，所以②“=”不成立 (14)。