2017-2018学年高中数学人教A版必修四课下能力提升：(二十五) Word版含解析

课下能力提升(二十五) [学业水平达标练]
题组1 求值问题
1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ
4＝( )
A. 1＋a
2
B. 1－a
2 C ．－
1＋a
2
D ．－ 1－a
2
2．若f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－1
sin x 2cos x 2，则f ⎝⎛⎭⎫π
12的值是( )
A ．－433
B ．8
C ．4 3
D ．－4 3
3．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，求tan θ
2.
题组2 三角函数式的化简
4．化简2＋cos 2－sin 21的结果是( ) A ．－cos 1 B ．cos 1 C.3cos 1 D ．－3cos 1
5．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22
＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α
2得( )
A ．2＋sin α
B ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π
4
C ．2
D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π
4
题组3 三角恒等式的证明
6．求证：sin 2x 2cos x ⎝
⎛
⎭⎫1＋tan x ·tan x 2＝tan x . 7．求证：2sin 4x ＋34sin 22x ＋5cos 4x －1
2
(cos 4x ＋cos 2x )＝2(1＋cos 2x )．
[能力提升综合练]
1．函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π
4，x ∈R ，则f (x )( )
A ．是奇函数
B ．是偶函数
C ．既是奇函数，也是偶函数
D ．既不是奇函数，也不是偶函数
2．设a ＝12cos 6°－3
2sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°，c ＝
1－cos 50°
2
，则有( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a
3．已知关于x 的方程x 2＋x cos A cos B －2sin 2C
2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
4．若cos 2θ＋cos θ＝0，则sin 2θ＋sin θ＝________． 5．设α为第四象限角，且sin 3αsin α＝13
5，则tan 2α＝________．
6．化简：
(1)2sin 8＋1＋2cos 8＋2； (2)
12＋1
2
12＋1
2cos 2α⎝⎛⎭
⎫3π2<α<2π. 7．设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫
12，1.
(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π
4，0，求函数f (x )的值域．
答 案
[学业水平达标练]
1. 解析：选D ∵θ4∈⎝⎛⎭⎫
5π4，
6π4， ∴sin θ
4
＝－
1－cos
θ
22
＝－
1－a
2
. 2. 解析：选B f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－sin 2 x 2－cos 2
x 2
12sin x
＝2tan x ＋cos x 12sin x ＝2(tan x ＋1
tan x )．
又tan π12＝sin
π61＋cos
π6
＝1
3＋2
，
∴原式＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫13＋2＋3＋2＝8. 3. 解：法一：∵180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°，∴tan θ2<0，∴tan θ
2＝－
1－cos θ
1＋cos θ
＝－
1－⎝⎛⎭⎫－351＋⎝⎛⎭
⎫－35＝－2.
法二：∵180°<θ<270°，∴sin θ<0， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－
1－925＝－45
， ∴tan θ
2＝sin θ1＋cos θ＝－4
5
1＋⎝⎛⎫－35＝－2.
4. 解析：选C 原式＝2＋1－2sin 21－sin 21＝3－3sin 21＝3（1－sin 21）＝3cos 21＝3cos 1.
5. 解析：选C 原式＝1＋2sin α2cos α
2＋1－cos[2(π4－α2)]＝2＋sin α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2.
6. 证明：∵左边＝2sin x ·cos x 2cos x ⎝⎛⎭⎫
1＋sin x cos x ·1－cos x sin x ＝sin x ·⎝⎛⎭⎫1＋1－cos x cos x ＝sin x cos x ＝tan x ＝右边，
∴原式成立．
7. 证明：左边＝2⎝⎛⎭⎫1－cos 2x 22
＋3
4sin 22x ＋
5⎝⎛⎭⎫1＋cos 2x 22
－1
2(cos 4x ＋cos 2x )
＝2×1－2cos 2x ＋cos 22x 4＋34sin 22x ＋5×1＋2cos 2x ＋cos 22x 4－12
(2cos 22x －1＋cos 2x )
＝(2×14＋54＋12)＋[2×(－2cos 2x 4)＋5×2cos 2x 4－12cos 2x ]＋(2×cos 22x 4＋5×cos 22x 4－12×2cos 22x )＋34sin 22x ＝
9
4＋cos 2x ＋34cos 22x ＋3
4
sin 22x
＝94＋cos 2x ＋34
＝3＋cos 2x ＝3＋(2cos 2x －1) ＝2(1＋cos 2x )＝右边． ∴原式成立．
[能力提升综合练]
1. 解析：选D 由cos 2x ＝2cos 2x －1，得f (x )＝cos 2(x ＋π4)＝1＋cos ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
22
＝12＋1
2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12
－sin 2x 2， 所以该函数既不是奇函数，也不是偶函数．
2. 解析：选C a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，∴a <c <b .
3. 解析：选C 由一元二次方程根与系数的关系得－cos A cos B ＝1
2⎝⎛⎭⎫－2sin 2 C 2， 即cos A cos B ＝sin 2C
2＝sin 2π－（A ＋B ）2＝cos 2A ＋B 2＝12[1＋cos(A ＋B )]．得cos(A －B )＝1.
∴A ＝B .
4. 解析：由cos 2θ＋cos θ＝0得2cos 2θ－1＋cos θ＝0， 所以cos θ＝－1或1
2
.
当cos θ＝－1时，有sin θ＝0； 当cos θ＝12时，有sin θ＝±3
2
.
于是sin 2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3. 答案：0或±3
5. 解析：sin 3αsin α＝sin （2α＋α）
sin α
＝（1－2sin 2α）sin α＋2cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋1＝13
5，
所以cos 2α＝4
5
，
又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，tan 2α＝－3
4.
答案：－3
4
6. 解：(1)原式＝
2sin 24＋cos 24＋2sin 4cos 4＋2（2cos 24－1）＋2 ＝2（sin 4＋cos 4）2＋4cos 24 ＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|， 由于π<4<3π
2
，
∴sin 4<0，cos 4<0，sin 4＋cos 4<0，
∴原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4. (2)∵
3π2<α<2π，∴3π4<α
2
<π. 原式＝
12＋1
2
1＋cos 2α
2
＝ 12＋1
2|cos α|＝ 12＋1
2cos α ＝
1＋cos α
2
＝ cos 2
α
2＝－cos α
2
. 7. 解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2ωx －π
6＋λ .
由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π
6＝±1.
所以2ωπ－π6＝k π＋π
2(k ∈Z )，
即ω＝k 2＋1
3
(k ∈Z )．
又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π
5.
(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝⎛
⎭⎫π4，0，得f ⎝⎛⎭
⎫π
4＝0， 即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π
6＝－2sin π4＝－2，
即λ＝－ 2.
故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭
⎫53x －π
6－2，
函数f (x )的值域为[－2－2，2－ 2 ]．。