线性代数 矩阵及其运算优秀PPT

排成的m行n列的数表
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
称m行n列矩阵，简称 m×n矩阵。记作
am1 am2 ... amn
a11 a12 ... a1n
A
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
am1 am2 ... amn3
由于方阵Ak、Am、E对乘法是可交换的，所
以矩阵A的多项式的乘法也是可交换的，即
f (A)g(A) g(A)f (A)
从而A的多项式可以象数x的多项式分解因式.
如： A2 3A 2E ( A 2E)( A E)
( A E)3 A3 3A2 3A E
22
5.矩阵的转置
定义2.6 A的转置矩阵，记作AT，是将A的行列互换后所 得矩阵如果 A是一个 m×n 阶矩阵， AT 是一个 n×m 阶矩阵。
而b1i，b2i，…，bsi 正好是 BT的第 i 行，aj1,aj2,…,ajs 正
好是 AT的第 j 列，因此 cji 是 BTAT的第 i 行第 j 列的元 素。故
( AB )T = AT BT
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6. 对称矩阵与反对称矩阵
设 A为 n 阶方阵， 若 AT = A，
即
aij = aji (i,j=1,2,…,n)，
32
§2.3 逆矩阵
1、可逆矩阵的定义（定义2.8）
设对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B 使得 A B = B A = E 恒成立，则称矩阵 A 可逆或满秩矩阵, 或非奇异矩阵；B 称为 A 的逆矩阵，记为 A－1 = B 。
2、可逆矩阵的唯一性、存在性及性质
1）.若矩阵 A可逆，则 A的逆矩阵是唯一的。 证明：设 A有两个逆矩阵B1、B2，则 B1= B1E = B1(AB2) = (B1A) B2 = EB2 = B2
余子式Aij构成的如下矩阵
A11 A21 ... An1
A*
A12 ...
A22 ...
... ...
An 2 ...
A1n A2n ... Ann
称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊
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伴随矩阵有如下重要性质： AA* A* A (det A) E
矩阵运算举例
例18 设A 1
2
3T ，B 1
5
2.1.2 一些特殊矩阵
1. 方阵 若A为n行n列的矩阵，称A为n阶方阵。 2. 行矩阵、列矩阵 行矩阵 只有一行的矩阵。
列矩阵 只有一列的矩矩阵 3. 零矩阵、单位矩阵
6
0 [0]mn 表零矩阵
n阶单位矩阵
1 0 0
In
0
1
0
0 0 1
7
4. 对角矩阵与数量矩阵
a1
k
diag(a1, a2,
2.1.1 矩阵的引入 某班级同学早餐情况
姓名 馒头 包子 鸡蛋 稀饭
周星 4
2
驰
2
1
张曼 0
0
玉
0
0
陈水 4
9
扁
8
6
为了方便，常用下面右边的数表表示
这个数表反映了学生的早餐情况.
4 2 2 1
0 4
0 9
0 8
0 6
2
2.1.2 矩阵的定义
1.定义2.1 由m×n个aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
AB， 且
cij ai1b1 j ai 2b2 j a b ins snj
ns
aik bkj
k 1
(
i j
1, 2, 1, 2,
,,mp)
13
就是说，矩阵C 的第 i 行第 j 列的元素等于 矩阵 A 的第 i 行的所有元素与矩阵 B 的第 j 列的对应元素的乘积之和。
... ... ... ... b1j ...
第二章 矩阵及其运算
(Matrix & Operation)
矩阵是线性代数的一个主要研究对象，也是 数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经渗透到 了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各 个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的 作用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些基本规 则与技巧。
1
§2.1 矩阵的概念
称矩阵A 为对称矩阵；
若AT = A，
即
aij = aji (i,j = 1,2,…,n)，
称矩阵 A 为反对称矩阵。
如右边的矩阵
3 0 1
A 为对称矩阵 A 0 2 7
1 7 1 25
7.方阵的行列式 （1）方阵 A 的行列式，记为| A| 或 det A。 注意：行列式与方阵是两个不同的概念， 且它们的记号也是不同的。
a21 x1 a22 x2
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
x1
记 A (ai j )mn x
x
n
b1
b
bm
则非齐次线性方程组可简记为 Ax b
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2. 矩阵乘法与加法满足的运算规律
(1)(AB)C A(BC)
ai1 ...
... ...
aisn ...
... ...
... bnjs
...
...
cij
14
例2 计算
2 1
1 8 10
1
3
0 4
1 3
2 4
5
0
1 9
2 22
5
15
15
例3. 非齐次线性方程组的矩阵表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
（2）方阵的行列式满足以下运算规律(设 A、B 为n 阶方阵，λ为实数)
(1) | AT || A |
(2) | A | n | A |
(3) | AB || A || B | (4) | AB || BA |
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8、再讲几类特殊的矩阵
1) 伴随矩阵：设 A=(aij)n×n，矩阵A中元素aij的代数
1 2
1 3
，C
AB，
求 Cn
28
解：C n CC...C (AB)(AB)...(AB)
A(BA)...(BA)B
而
BA 1
1 2
1 3
1 2 3 3
所以：C n
1 2 3
3n1
1
1 2
1 3
3n1
1 2 3
1 2
1
3 2
1 3
2
3
1
29
例29. 设A、B为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵， 证明，BT AB 仍是对称矩阵。
a11b11 a12b12 ... a1nb1n
A
B
a21b21 ...
a22b22 ...
... ...
a2nb2n ...
am1bm1 am2bm2 ... amnbmn
注：矩阵的加法只能在两个 同型矩阵之间进行； 两个矩阵相加时，对应 元素进行相加。
9
负矩阵 : A= ( aij)
A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；
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（3）AB与BA不一定同时会有意义；即是有意义，也 不一定相等；
（4）AB = O 不一定有A= O或B= O ； A(XY ) = O 且 A≠ O 也不可能一定有X=Y
例4
如：A 11
11
B
1 1
11
AB O
BA
1 3
8 5
2 3
46
2 8
4 6
100
2 1
2 1
22
12
2.2.2.矩阵的乘法：
1. 矩阵的乘法定义（定义2.5）
设矩阵 A为m×s 阶矩阵、矩阵B为 s×n 阶矩
阵，A= (aij) m×s 、B= (bij) s×n ，则矩阵 A与 B 的乘积为一 m×n 阶矩阵C = (cij) m×n，记 C =
总结:矩阵乘法不满足交换律与消去律.
18
例5 设
A
1 1
2 1 1 1,
1
B
1
2
2 1 3
求AB与BA
解
3 0 3
1 AB 2
3 6
BA 0 1
3 7
0 1
定理2.1 若矩阵A的第i行是零行，则乘积 AB的第i行 也是零；若矩阵 B的第j行是零列，则乘积 AB的第j 列也是零。若A(或B)是零矩阵，则乘积 AB也是零矩 阵。
31
例例41.1 设列矩阵X (x1, x2,..., xn )T 满足 X T X =1, E为n阶单位矩阵，H E 2XX T,证明H是对 称矩阵，且HH T =E
证明：H T (E 2XX T )T E (2XX T )T E 2XX T H
HH T H 2 (E 2XX T )2 E 4XX T 4(XX T )2 E 4XX T 4(XX T )(XX T ) E 4XX T 4X (X T X )X T E 4XX T 4XX T E
2. 说明: 矩阵与行列式不同 1) 形式不同
矩阵的行列数可不同，但行列式必须行列数同. 2) 内容不同
矩阵是一个数表，但行列式必是一个数. 3. 实矩阵、复矩阵
4
4 . 同型矩阵 两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵
5. 矩阵 A B 相等 充要条件是:
1）A、B是 同 型 矩 阵
2）ai j bi j (第i，j位 置 上 的 元 素 相 等)
(2)(AB) ( A)B A(B)
(3)A(B C) AB AC (B C)A BA CA
(4) Em Amn Amn
Amn En Amn
关于矩阵乘法的注意事项： （1）矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右
矩阵的行数相等； （2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是
(3) A+ ( A) = O
(4) 1A = A (5) ( kl )A = k(lA) (6) (k+l)A =kA+lA (7) k(A+ B) = kA+kB
11
例1．若X满足 2A B 2X
其中
A
1 4
2 3
50
B 85
2 3
6 4
,
求 X.
解 X= (B 2A) / 3
an )
a2
;
kI
k
an
k
5. 上（下）三角形矩阵
a11 a12 a1n
A
a22
a
2n
ann
b11
B b21 b22
bn1
bn2
bnn
8
§2.2 矩阵的运算
2.2.1. 矩阵的加法与数乘:
1. 矩阵的加法（定义2.2）: A= (aij) 、B= (bij)
减法：Ａ B =Ａ+ ( B)
2.矩阵的数乘
定义2.3 数λ与矩阵Ａ的乘积记为λA或Aλ，并规定：
a11 a12 ... a1n
A
a21
...
a22
...
... ...
a2
...
n
am1 am2 ... amn
10
3. 矩阵线性运算律： (1) A+ B = B+ A (2) ( A+B )+ C = A+ ( B+ C )
证明：因为 AT A，所以 (BT AB)T BT AT (BT )T BT AB
故 BT AB 是对称矩阵。
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例例31.0 设A、B 都是 n阶对称矩阵，证明AB 是 对称矩阵的充要条件是 AB BA
证明：AB 是对称矩阵 (AB)T AB 而 ( AB)T BT AT，又AT A，BT B 所以有： ( AB)T BT AT BA 故 AB BA 是 AB 为对称矩阵的充要条件.
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2）. 定理2.2 A 可逆的充要条件是 | A| ≠0，且A可逆 时有
A1 1 A* A
a11 a12 ... a1n
A
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
an1 an2 ... ann
A11
A*
A12 ... A1n
A21 ... A22 ... ... ... A2n ...
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3.矩阵的乘幂：设 A 是 n 阶方阵，定义：
An AA A (n为正数)
n
只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满 足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：
(1) An Am = An+m (2) ( An )m= An m (3) ( AB ) k ≠ Ak Bk
20
例6
1 0 1 A 0 2 0 ,
0 0 1
求Ak .(k 2、3...)
解
1
Ak
2k
(k 2，3， ）
1
21
4.方阵A的n次多项式
设f (x) a0 a1x a2 x2 + ...+ an xn为x的n次多 项式，A为m阶方阵，记
f (A) a0E a1A a2 A2 + ...+ an An f ( A)称为矩阵A的m次多项式.
1 4 A 2 5
3 6
矩阵的转置的性质
AT
1 4
2 5
3 6
(1) (AT)T A (2) (A B)T AT BT
(3) ( A)T AT (4) (AB)T BT AT 23
证明
（1）、（2）、（3）易证，下证明(4). 设矩阵 A为m×s 阶矩阵，矩阵 B为s×n阶矩阵，那么： ( AB)T与 BTAT 是同型矩阵； 又设 C = A B，因为 CT的第 i 行第 j 列的元素正好是 C 的 cji ，即 cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi =b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs