广东省江门市第二中学2017-2018学年高二下学期3月月考

第二学期第一次考试高二年级
数学试卷（理科）
注意事项：本试卷共4页，22小题，满分150，考试用时120分钟.
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

) 1．曲线2x y =在(1,1)处的切线方程是 A ．230x y ++= B ．032=--y x C ．210x y ++= D ．012=--y x 2．已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，则下列各式正确的是
A ．z 1>z 2
B ．z 1<z 2
C ．|z 1|>|z 2|
D ．|z 1|<|z 2| 3．已知函数f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则h
h x f h x f x )
()(lim
000
--+→＝
A ．f ′(x 0)
B ．2f ′(x 0)
C ．－2f ′(x 0)
D ．0 4．面是一段“三段论”推理过程：若函数f (x )在(a ，b )内可导且单调递增，则在(a ，b )内，f ′(x )>0恒成立．因为f (x )＝x 3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f ′(x )＝3x 2>0恒成立，以上推理中( )
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．结论正确
D ．推理形式错误 5．由曲线x y cos =、0=x 、 3π
2x =、y=o 所围图形的面积为 Ａ．4
Ｂ．2
Ｃ．52
Ｄ．3
6．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋1
2n －1
<n (n ∈N *，n >1)”时，由n ＝k (k >1)不等式成立推证
n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是
A ．2k －
1 B ．2k －1 C ．2k D ．2k ＋1
7．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地
面砖的块数是
A ．24+n
B ．42n -
C ．24n +
D ．33n +
8．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是
9．若θ∈⎝⎛⎭⎫
3π4，5π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
10．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是
A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
B ．(－3，3)
C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
D ．[－3，3]
11．在平面几何里，有勾股定理：“设ABC ∆的两边AC AB ,互相垂直，则2
22BC AC AB =+”
拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥BCD A -的三个侧面ABC 、ACD 、
ABD 两两互相垂直”，则可得
A ．222222BD CD BC AD AC A
B ++=++
B ．2
222BCD ABD ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=⨯⨯ C ．2222BCD ABD ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++
D ．222222BD CD BC AD AC AB ⨯⨯=⨯⨯
12．已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1、x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则
f (－1)的取值范围是
A ．[－32，3]
B ．[32，6]
C ．[3,12]
D ．[－3
2，12]
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 13．定义运算
a b ad bc c d =-,若复数z 满足11
2z zi
-=,其中i 为虚数单位,则复数 z = 。

14．一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是
_______。

15．已知1)2(33)(2
3
++++=x a ax x x f 有极大值又有极小值，则a 得取值范围是
_____________。

16．观察下列式子232112<+
，353121122<++，474
1312112
22<+++ , … … , 则可归纳出第n 个式子为______________________________。

三、解答题：本大题共6小题，满分70分。

解答须写出文字说明，证明过程或步骤。

17．（本小题满分10分）把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，
求z 及z
z 。

18．（本小题满分12分）已知a ，b 是正实数，求证：b a a
b b
a +≥+。

19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，12,111+==+n n a a a ，
（1）求5432,,,a a a a ；
（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明。

20．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，若曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜
率为3，且x ＝2
3
时，y ＝f (x )有极值。

（1）求函数f (x )的解析式；
（2）求函数f (x )在[－4,1]上的最大值和最小值。

21．（本小题满分12分）如图，设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，记直线OP 与
曲线y ＝x 2所围成图形的面积为S 1，直线OP 、直线x ＝2与曲线y ＝x 2所围成图形的面积为S 2。

（1）当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；
（2）当S 1＋S 2取最小值时，求点P 的坐标及此最小值。

2x y =
22． (本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln(ax ＋1)(x ≥0，a >0)，g (x )＝x －2
x ＋2
.
（1）讨论函数y ＝f (x )－g (x )的单调性；
（2）若不等式f (x )≥g (x )＋1在x ∈[0，＋∞)时恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）当a ＝1时，证明：13＋15＋17＋…＋12n ＋1<1
2
f (n )(n ∈N *)。

第二学期第一次考试高二年级 数学试卷（理科答案）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．)
二.填空题：
13、1-i 14、36m
15、),2()1,(+∞⋃--∞ 16、
22
211121
123(1)1n n n ++
+++
<
++
三、解答题：本大题共6小题，满分70分。

解答须写出文字说明，证明过程或步骤。

17．（本小题满分10分）
解:设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，
由已知得：(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋2
b ＝4，
2a －b ＝3.
得a ＝2，b ＝1，
∴z ＝2＋i.
∴z
z ＝2＋i 2－i ＝(2＋i )2(2－i )(2＋i )＝3＋4i 5＝35＋4
5i.
18、（本小题满分12分） 证明：要证
b a a
b b
a +≥+
，
只需证)(b a ab b b a a +≥+
即证)())((b a ab b a ab b a +≥+-+
即证ab ab b a ≥
-+
即证ab b a 2≥+，即0)(2≥-b a
该式显然成立，所以
b a a
b b
a +≥+
19、（本小题满分12分）
解：（1）31,15,7,35432====a a a a
（2）12-=n n a ，证明略 20、(本题满分12分)
解： f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，
(1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧
f ′(23)＝3×(23)2＋2a ×23＋b ＝0，
f ′(1)＝3×12＋2a ×1＋b ＝3.
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝－4.
经检验得x ＝2
3时，y ＝f (x )有极小值，
所以f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.
(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(x ＋2)(3x －2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2
3，
f ′(x )，f (x )的值随x 的变化情况如下表： ∵f (23)＝95
27，f (－2)＝13，f (－4)＝－11，f (1)＝4，
∴f (x )在[－4,1]上的最大值为13，最小值为－11. 21．(本题满分12分)
解： (1)设点P 的横坐标为t (0<t <2)，则点P 的坐标为(t ，t 2)，直线OP 的方程为y ＝tx . S 1＝⎠
⎛0
t (tx －x 2)d x ＝1
6t 3，
S 2＝⎠
⎛t
2(x 2－tx )d x ＝83－2t ＋1
6t 3，
因为S 1＝S 2，所以16t 3＝83－2t ＋16t 3，解得t ＝4
3
，
故点P 的坐标为(43，16
9)．
(2)令S ＝S 1＋S 2，
由(1)知，S ＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋8
3，则S ′＝t 2－2，
令S ′＝0，得t 2－2＝0，因为0<t <2，所以t ＝2， 又当0<t <2时，S ′<0；当2<t <2时，S ′>0；
故当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值，最小值为83－42
3，此时点P 的坐标为(2，2)．
22、 (本题满分12分)
解：(1)∵y ＝f (x )－g (x )＝ln(ax ＋1)－x －2
x ＋2，
y ′＝a ax ＋1－4
(x ＋2)2＝ax 2＋4a －4(ax ＋1)(x ＋2)2
，
当a ≥1时，y ′≥0，所以函数y ＝f (x )－g (x )是[0，＋∞)上的增函数； 当0<a <1时，由y ′>0得x >2
1
a －1，所以函数y ＝f (x )－g (x )在⎣
⎡⎭
⎫21a －1，＋∞上是单调递增函数，函数y ＝f (x )－g (x )在⎣
⎡⎦
⎤
0，2
1a －1上是单调递减函数； (2)当a ≥1时，函数y ＝f (x )－g (x )是[0，＋∞)上的增函数． 所以f (x )－g (x )≥f (0)－g (0)＝1，
即不等式f (x )≥g (x )＋1在x ∈[0，＋∞)时恒成立， 当0<a <1时，函数y ＝f (x )－g (x )是⎣
⎡⎦⎤0，2
1a －1上的减函数，存在x 0∈⎝⎛⎭
⎫
0，2
1a －1，使得f (x 0)－g (x 0)<f (0)－g (0)＝1，即不等式f (x 0)≥g (x 0)＋1不成立，
综上，实数a 的取值范围是[1，＋∞)．
(3)当a ＝1时，由(2)得不等式f (x )>g (x )＋1在x ∈(0，＋∞)时恒成立， 即ln(x ＋1)>2x x ＋2，所以ln ⎝⎛⎭⎫1k ＋1>21＋2k (k ∈N *)， 即
12k ＋1<1
2
[ln(k ＋1)－ln k ]． 所以13<1
2(ln2－ln1)，
15<1
2
(ln3－ln2)， 17<1
2
(ln4－ln3)，…， 12n ＋1<1
2
[ln(n ＋1)－ln n ]．
将上面各式相加得到，13＋15＋17＋…＋12n ＋1<1
2[(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋(ln4－ln3)＋…＋
(ln(n ＋1)－ln n )]＝12ln(n ＋1)＝1
2
f (n )．
∴原不等式成立．。