2019届天津市七校联考高三上学期期中数学理科试题及解析

天津市七校2019届高三上学期期中联考
数学理科试题
第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、选择题 1.已知集合
，则A B
?
A. {|13}x x <<
B.
{}1,2,3 C. {}0,4 D. {}2
2.已知命题p ：“
2
,20x R x "?>”，则命题p 的否定为 A. 2,20x R x "?? B. 200,20x R x $?> C. 200,20x R x $?? D.
2
,20x R x "?< 3.设R q Î，则“
66p p q -
<”是“1cos 2q >
”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.把函数sin 2y x =的图象向右平移12p
个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()g x 的图象的一条对称
轴可以是
A.
6x p =
B. 56x p =
C. 3x p =-
D. 512x p
=-
5.函数
2
lg(2)y x x =+-的单调递增区间是 A.
1(,
)2-? B. 1
(,)2-+? C. (,2)-? D. (1,)+?
6.已知函数()x
f x e =，记 1.2231
(log 3),(log ),(2.1)
2a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为
A. a b c <<
B. b a c <<
C. c b a <<
D. b c a <<
7.对实数,m n ，定义运算“Ä”：,0,
,0.m m n m n n m n ì-?ï?í-<ïî设函数
()(
)()2
1,f x x x x x R =-??. 实数
,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是
A. 5
1,4骣琪琪
桫 B. 92,4骣琪琪
桫 C. 37,
24骣琪琪桫
D. 1
,4骣琪+?琪桫
8.已知在平面四边形ABCD 中，BC AB ^ ，CD AD ^，120BAD ?,AD 1=，AB 2=，点E 为边
{}0,1,2,3,4,{|13}
A B x x ==<<
CD 上的动点，则AE BE ×的最小值为 A. 2116 B. 34- C. 54 D. 25
16
第Ⅱ卷（非选择题，共110分）
二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.
9.已知tan 2a =，则22
sin cos a a -=______________.
10.已知函数
21,2()log , 2.ax x f x x x ì-?ï=í
>ïî若()f x 在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是_______. 11.在ABC D
中，D 为边BC 延长线上一点且不与C 重合，若(1)AD AB AC l l =+-，则实数l 的取值范围是___________________. 12.在平面四边形ABCD
中，60,,2,3,B
AB AD BC AC AD ?^==CD =________.
13.已知定义在R 上的函数()f x 在(,1)-?上是减函数，且(1)y f x =+是偶函数，则关于x 的不等式
(21)(1)0f x f x +--<的解集为______________________.
14.已知函数2()sin()sin()(0)63f x x x p p w w w =++>，()x R Î，若()f x 在区间(,)
2p p 内没有零点，则w
的取值范围是____________________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.已知函数()()2sin sin cos 1
f x x x x =+-
()x R Î.
（1）求
()
f x 的最小正周期；
（2）求()f x 在区间0,2p 轾犏
犏臌
上的最大值和最小值. 16.已知函数
()()
32f x x x a a R =-+?.
（1）当1a =时，求曲线()
y f x =在点
()()1,1f 处的切线方程；
（2）若函数()
f x 只有一个零点，求a 的取值范围.
17.在平面直角坐标系xoy 中，已知向量()()
cos ,sin ,1,3,,3a x x b x p
p 骣琪==?琪桫.
（1）若a b ^，求x 的值；
（2）若a 与b 的夹角为6p
，求cos x 的值.
18.已知,,a b c 分别为ABC D
内角,,A B C
所对的边，且sin cos a B A . （1）求A ；
（2
）若a =ABC D
的面积为，求b c +的值.
19.已知函数()()
2ln f x ax x a R =-?，e 为自然对数的底数.
（1）讨论
()
f x 的单调性；
（2）若存在[]01,2x Î使得
()00
f x >成立，求a 的取值范围.
20.已知函数()ln f x ax x = ()a R Î的极小值为1
e -.
（1）求a 的值；
（2）任取两个不等的正数12,x x ，且12x x <，若存在正数0x ，使得
()()()21021
f x f x f x x x --¢=
成立，求
证：
102x x x <<.
【解析卷】 天津市七校2019届高三上学期期中联考
数学理科试题
第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、选择题 1.已知集合
，则A B
?
{}0,1,2,3,4,{|13}
A B x x ==<<
A. {|13}x x <<
B.
{}1,2,3
C.
{}0,4 D. {}2
【答案】D 【解析】 【分析】
直接根据交集的定义即可求出结果. 【详解】集合
{}
0,1,2,3,4A =，{|13}B x x =<<，则
{}2A B
?，故选D.
【点睛】本题考查了集合的交集的运算，属于基础题．
2.已知命题p ：“2
,20x R x "?>”，则命题p 的否定为 A. 2
,20x R x "?? B. 200,20x R x $?> C.
2
00,20x R x $?? D. 2,20x R x "?< 【答案】C 【解析】 【分析】
运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定． 【详解】由全称命题的否定为特称命题可得
命题p ：“2
,20x R x "?>”的否定为
200,20x R x $??，故选C ． 【点睛】本题考查命题的否定，注意全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转
化思想，属于基础题．
3.设R q Î，则“
66p p q -
<”是“1cos 2q >”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】
运用绝对值不等式的解法和余弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论．
【详解】∵
066
6663p p p p p p q q q -<?<-<?<，
1
cos 22,2
33k k k Z p p
q p q p >?
+<<+?，
则0,2,2,333k k k Z p p p p p 骣骣琪琪?++?琪琪
桫桫，
可得“
66p p q -<”是“1cos 2q >
”的充分不必要条件，故选A.
【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时考查余弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等
式是解题的关键，属于基础题．
4.把函数sin 2y x =的图象向右平移12p
个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()g x 的图象的一条对称
轴可以是
A.
6x p =
B. 56x p =
C. 3x p =-
D. 512x p
=-
【答案】B
【解析】 【分析】 利用函数
()sin y A x w j
=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，
得出结论．
【详解】将函数sin2y x =的图象向右平移12p
个单位长度，
得到函数()sin 2sin 2126y g x x x p p
骣骣琪琪==-=-琪琪
桫桫的图象， 令
2,62x k k Z p p p -=+?，解得,32k x k Z p p
=+?，
故
()
g x 的图象的对称轴方程是
,32k x k Z p p
=
+?，结合所给的选项，故选B ．
【点睛】本题主要考查函数
()sin y A x w j
=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，在平移过
程中（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由s i n y A x w =的图象得到
()sin y A x w j =+的图象时，需平移的单位数应为 j
w ，而不是j
．
5.函数
2
lg(2)y x x =+-的单调递增区间是
A.
1(,
)2-? B. 1(,)2-+? C. (,2)-? D. (1,)+?
【答案】D
【解析】 【分析】
由2
20x x +->可得2x <-或1x >，要求函数
(
)2lg 2
y x x =+-的单调递增区间，只要求解
22u x x =+-在定义域上的单调递增区间即可．
【详解】由2
20x x +->可得2x <-或1x > ∵22u x x =+-在
(
)1,+?单调递增，而lg y u =是增函数，
由复合函数的同增异减的法则可得，函数
(
)2lg 2
y x x =+-的单调递增区间是()1,+?，
故选D.
【点睛】本题考查对数函数的单调性和应用，与对数函数相结合时需注意函数的定义域，求复合函数
()
(
)y f g x =的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）
分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间.
6.已知函数()x
f x e =，记 1.2231
(log 3),(log ),(2.1)
2a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为
A. a b c <<
B. b a c <<
C. c b a <<
D. b c a << 【答案】B
【解析】 【分析】
根据题意，分析可得
()
f x 为偶函数且在
()0,+?上为增函数，由对数函数及指数函数的性质比较可得
1.223
1
2.1log 3log 2>>，结合函数的单调性分析可得答案．
【详解】函数()x
f x e
=，其定义域为R ，且
()()
x
x
f x e
e f x --===，则
()
f x 为偶函数，
当0x >时，()x
f x e =，则函数
()
f x 在
()0,+?上单调递增，
∵
2222log 4log 3log 21=>>=，330log 2log 31<<=， 1.212.1 2.1 2.12>=>
∴ 1.2232.1log 3log 20>>>，则()
()()1.2232.1log 3log 2f f f >>
即
(
)
()1.2
231
2.1
log 3log 2f f f 骣琪>>琪
桫，则b a c <<，故选B.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，指数、对数幂的大小比较，关键是分析函数的奇偶性与单调性，属于中档题.
7.对实数,m n ，定义运算“Ä”：,0,
,0.m m n m n n m n ì-?ï?í-<ïî设函数
()(
)()2
1,f x x x x x R =-??. 实数
,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是
A. 5
1,4骣琪琪
桫 B.
92,4骣琪琪
桫 C. 37,
24骣琪琪桫
D. 1
,4骣琪+?琪桫
【答案】B 【解析】 【分析】
由新定义写出分段函数，由题意作函数的图象，由二次函数的对称轴得1a b +=，由此利用函数的图象可求a b c ++的范围.
【详解】由
,0,,0.m m n m n n m n ì-?ï?í
-<ïî，得()()
()22,11
11,11
x x x f x x x x x x x ì--＃ï=-?=í-><-ïî或，
作函数
()2,11
1,11x x x f x x x x ì--＃ï=í
-><-ïî或的图象如下图：
∵,,a b c 互不相等，且
()()()
f a f b f c ==，可设a b c <<，
∵11
24f 骣琪=琪桫，51
44f 骣琪=琪桫
，
由图象得1a b +=，且
514c <<
，∴9
2,4a b c 骣琪++?琪
桫，故选B ．
【点睛】本题考查分段函数及运用，考查数形结合的思想方法和运用，注意通过图象观察，考查运算能力，属于中档题．
8.已知在平面四边形ABCD 中，BC AB ^ ，CD AD ^，120BAD ?,AD 1=，AB 2=，点E 为边
CD 上的动点，则AE BE ×的最小值为 A. 2116 B. 34- C. 54 D. 25
16
【答案】C 【解析】 【分析】
以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，求出A ，B ，C 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．
【详解】如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴， 过点B 作BN x ^轴，过点B 作BM y ^轴，
∵AB BC ^，AD CD ^，120BAD ?，AD 1=，AB 2=， ∴cos601AN AB =?
，sin60BN AB =?
，
∴112DN =+=，∴2BM =
，∴tan30CM MB =?
∴DC DM MC =+=()1,0A
，(
B
，(0,C ，
设
()
0,E m ，∴
()
1,AE m =-
，
(
2,BE m =--
，
0m ＃ ∴
2
23
5
234
AE BE
m m m 骣琪?+-
=-+
琪桫
，
当
3
m =
时，取得最小值为54，故选C.
【点睛】
本题主要考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，向量的坐标表示，二次函数最值的求法，向量数量积的坐标表示，建立适当的坐标系将几何知识代数化是解题的关键，也是常用手段，属于中档题．
第Ⅱ卷（非选择题，共110分）
二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.
9.已知tan 2a =，则22
sin cos a a -=______________.
【答案】3
5
【解析】 【分析】
原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tan a 的值代入计算即可求出值． 【详解】∵tan 2a =，
∴原式
2222
2
222sin cos tan 1413sin cos sin cos tan 1415a a a a a a a a ---=-====
+++，故答案为3
5. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基
础题.
10.已知函数
21,2()log , 2.ax x f x x x ì-?ï=í
>ïî若()f x 在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】
(]0,1
【解析】
【分析】
根据函数在R 上单调递增，得出函数在各分段单调递增，列出不等式组，即可得到实数a 的取值范围.
【详解】函数
()21,2log , 2.ax x f x x x ì-?ï=í
>ïî若()f x 在R 上是增函数， 可得0
211a a ì>ïí
-?ï
î，解得01a <?，即实数a 的取值范围是(]0,1，故答案为(]0,1. 【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用，不等式组的求法，注意在临界位置函数值的大小，属于基础题．
11.在ABC D
中，D 为边BC 延长线上一点且不与C 重合，若(1)AD AB AC l l =+-，则实数l 的取值范围是___________________. 【答案】(,0)-? 【解析】 【分析】
根据题意，由D 是BC 延长线上一点，根据向量的线性运算可得() C D BC
l =-，结合向量共线定理
得到0l ＜. 【详解】∵
()()
() 1AD AB AC AC AB AC AC CB AC BC
l l l l l =+-=+-=+=+-．
又∵
AD AC CD =+，∴() C D BC
l =-，由题意得0l ->，
∴0l <，故答案为()
,0
-?.
【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，向量共线定理的应用，属于基础题. 12.在平面四边形ABCD
中，60,,2,3,B AB AD BC AC AD ?^==CD =________.
【解析】 【分析】
结合图形在ABC
中，利用正弦定理先求出sin BAC
?，在ACD 中利用余弦定理求出结果．
【详解】如图所示：
四边形ABCD 中，60B ??，AB AD ^，2BC =，3AC =
，AD
在ABC 中，利用正弦定理： sin sin AC BC B BAC =
Ð，
解得：
sin BAC
?
，则：cos CAD
?，
在ACD 中，利用余弦定理：222
2cos CD AD AC AD AC CAD =+-鬃
?，
解得CD
【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，
属于中档题．
13.已知定义在R 上的函数()f x 在(,1)-?上是减函数，且(1)y f x =+是偶函数，则关于x 的不等式
(21)(1)0f x f x +--<的解集为______________________.
【答案】
2
{|2}
3x x -<< 【解析】
【分析】 由题意可得函数
()
f x 关于直线1x =对称，进而可得()f x 在
(
)1,+?
上为增函数，据此可得
()()211022
f x f x x
x +--<?-，变形可得2
3440x x +-<，解可得x 的取值范围，即可得答
案．
【详解】根据题意，()
1y f x =+是偶函数，则函数
()
f x 关于直线1x =对称，
又由函数
()
f x 在
(),1-?上是减函数，则其在()1,+?上为增函数，
()()()()211021122
f x f x f x f x x
x +--<?<-?-，
变形可得：22444x x x <-+，即2
3440x x +-<，
解可得：
223x -<<，即不等式的解集为22,3骣琪-琪桫，故答案为22,3骣琪-琪
桫. 【点睛】本题主要考查关于抽象函数的不等式问题，一元二次不等式的解法，涉及抽象函数的奇偶性与单调性的性质，充分利用数形结合思想将题意等价转化为
22
x x <-是解题的关键，属于基础题．
14.已知函数2()sin()sin()(0)63f x x x p p w w w =++>，()x R Î，若()f x 在区间(,)
2p
p 内没有零点，则w
的取值范围是____________________.
【答案】125
0,,336纟轾çÈç
棼臌
【解析】
【分析】
化简变形()f x ，根据三角函数的性质求出()f x 的零点，根据条件得出区间11,23
3w w 骣琪++琪桫内不存在整数，再根据 22T p ³可得11,233w w 骣琪++琪
桫为()0,1或()1,2的子集，从而得出w 的范围． 【详解】()2sin sin sin sin 63662f x x x x x p p p p p w w w w 骣骣骣骣琪琪琪琪=++=+++琪琪琪琪桫桫桫桫1sin 223x p w 骣琪=+琪桫． 令
23x k p w p +
=，可得
62k x p p
w w =-+，k Z Î． 令 262k p p p p w w <-+<，解得
11233k w w +<<+， ∵函数()f x 在区间,2p p 骣琪琪桫内没有零点，∴区间11
233w w 骣琪++琪桫，内不存在整数． 又21
22
22p p p p w 壮-=
，∴1w £，
又0w >，∴11,20133w w 骣琪++?琪桫（，）或11,21233w w 骣琪++?琪
桫（，）． ∴1213w +?或1112233w w ?<+?，解得103w <?或2
5 36w
＃．
∴w 的取值范围是1250][]3
36È（，，，故答案为125
0][]
336È（，，． 【点睛】本题主要考查了通过降幂公式化简三角函数，正弦函数的性质，函数零点的计算，解题的关
键是将题意转化为集合间的关系，得到不等关系，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.已知函数()()2sin sin cos 1
f x x x x =+-
()x R Î.
（1）求
()
f x 的最小正周期；
（2）求()f x 在区间0,2p 轾犏
犏臌
上的最大值和最小值. 【答案】（1）p ； （2
【解析】
【分析】
（1）将降幂公式后与辅助角公式化简可得(
)24f x x p
骣琪=-琪
桫，由周期公式求周期；（2）求出函数在区间0,2p
轾犏犏臌上的单调性，再结合端点处的函数值得答案．
【详解】（1）
()22sin 2sin cos 11cos2sin21
f x x x x x x =+-=-+-
sin2cos224x x x p
骣琪=-=-琪
桫
, ∴
()
f x 的最小正周期为p .
（2）∵()f x 在区间30,8p 轾犏犏
臌上是增函数，在区间3,
82p p
轾犏犏臌上是减函数. 又(
)301,182f f f p p
骣骣琪琪=-=琪琪桫桫,
∴
()
f x 的最小值为1-
.
【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换的应用，考查()sin y A x w j
=+型函数的图象和性质之周
期与最值，属于中档题．
16.已知函数
()()
32f x x x a a R =-+?.
（1）当1a =时，求曲线()
y f x =在点
()()1,1f 处的切线方程；
（2）若函数
()
f x 只有一个零点，求a 的取值范围.
【答案】（1）y x =； （2）0a <或427a >
.
【解析】 【分析】 （1）求出
()
f x 的导数，可得切线的斜率和切点，可得所求切线方程；（2）根据导数与0的关系得到
函数的单调性和极值，()f x 有极大值()0f ，极小值2
3f 骣琪琪桫
，由数形结合可得a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，
()321
f x x x =-+，
()11
f =，
()232f x x x
¢=-，
()11
f ¢=，
∴ 切线方程为11y x -=-，即y x =.
（2）
()2
32f x x x
¢=-，令
()0
f x ¢=，解得
20,3x x ==
随x 的变化，()f x ，()f x ¢的变化如下表
当0x =时，
()
f x 有极大值
()0f a
=
当
2
3x =
时，()f x 有极小值24
327f a 骣琪=-+琪桫,
∵函数()f x 只有一个零点,∴ 0a <或4
027a -
+>，
即 0a <或
4
27a >
.
【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题；求切线方程的步骤：第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程，属于基础题.
17.在平面直角坐标系xoy 中，已知向量()()
cos ,sin ,1,3,,3a x x b x p
p 骣琪==?琪桫.
（1）若a b ^，求x 的值；
（2）若a 与b 的夹角为6p
，求cos x 的值.
【答案】（1）56p
； （2）0 .
【解析】 【分析】
（1）根据a b ^可得
2cos 03a b
x p 骣琪?-=琪
桫，结合x 的取值范围可得x 的值；（2）根据a 和b 的夹角
可求出
3
cos 32x p 骣琪-=琪
桫，结合两角和的余弦公式即可得最后结果. 【详解】（1）∵a b ^，∴ 0a b
?,
又
13cos 3sin 2cos sin 2cos 0223a b
x x x x x p 骣骣琪琪?=+=-=琪
琪桫桫
∴
()32x k k Z p p
p -=+?
∵ ,3x p p 骣琪Î
琪桫，∴
5
6x p =. （2）
cos
126
2a b
a b p
?=创=
∴2cos 33x p 骣琪-=琪桫，∴
cos 3x p 骣琪-琪桫， ∵ ,3x p p 骣琪Î琪桫 ∴20,33x p p 骣琪-?琪
桫 ∴
1sin 32x p 骣琪-=琪桫 cos cos cos cos sin sin 333333x x x x p p p p p p 轾骣骣骣犏琪琪琪=-+=---琪琪琪犏桫桫桫臌
=0.
【点睛】本题主要考查向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，以及向量数量积的计算公式，两角和的余弦公式，属于中档题.
18.已知,,a b c 分别为ABC D
内角,,A B C
所对的边，且sin cos a B A . （1）求A ；
（2
）若a =ABC D
的面积为，求b c +的值. 【答案】（1）3p
； （2）3.
【解析】 【分析】
（1）由正弦定理化简已知等式将边化为角，结合sin 0B ¹
，可求tan A ()
0,A p
Î可得A 的
值；（2）由题意根据三角形面积公式可求2bc =，根据余弦定理即可求得b c +的值． 【详解】（1
）由正弦定理得sin sin cos A B B A ， 又∵0B ¹ ∴sin 0B ¹
∴sin A A
∴tan A ()
0,A p Î，∴
3A p
=
.
（2
）由题意1sin 2
bc A =
，解得2bc =, 由余弦定理得2222cos b c bc A a +-=， 223b c bc +-=，22
2339b c bc bc ++=+=，
所以
()2
9
b c += ∴3b c +=.
【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19.已知函数()()
2ln f x ax x a R =-?，e 为自然对数的底数.
（1）讨论
()
f x 的单调性；
（2）若存在
[]01,2x Î使得
()00
f x >成立，求a 的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）0a >. 【解析】 【分析】
（1）求出函数的导数，对a 讨论，分为0a £和0a >两种情形，通过导数与0的关系可判断单调区间；
（2）将题意转化为
2ln x a x >
,[]1,2x Î，设()2ln x
h x x =，[]
1,2x Î，求得()min h x 即为所求的a 的范围．
【详解】（1）()f x 的定义域为()0,+?，且()2
1212ax f x ax x x =¢-=-，
①当0a £时，()0f x ¢<，()f x 在
()0,+?上是减函数，
②当0a >
时，
0x <()0f x ¢<
，x ()0f x ¢
>， ()f x
在骣琪琪桫
上是减函数，在+?上是增函数.
（2）由题意2
ln 0ax x ->，即
2ln x
a x >
,[]
1,2x Î，
设
()2ln x h x x =
，[]
1,2x Î，
()()4312ln 12ln x x x h x x x -=¢-=，
当1x <时，()0h x ¢>
2x <<时，()
h x ¢<
∴
()
h x
在(
上为增函数，在)上为减函数，
∴
(
)()1ln210,,224h h
h e ===
，∴
()1
0,2h x e 轾Î犏犏臌 ，∴ 0a >
【点睛】本题主要考查导数的运用：求单调区间和最值，考查能成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()
a h x >或
()
a h x <能成立，即
()
min a h x >或
()
max a h x <即可，利用导数知识结合单调性求出()max h x 或
()
min h x 即得解，属于中档题．
20.已知函数()ln f x ax x = ()a R Î的极小值为1
e -.
（1）求a 的值；
（2）任取两个不等的正数12,x x ，且12x x <，若存在正数0x ，使得
()()()21021
f x f x f x x x --¢=
成立，求
证：
102x x x <<.
【答案】（1）1a =； （2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）求函数的导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可得到结论；（2）求出
()
0f x ¢后把
0ln x 用1ln x ，
2ln x 表示，再把0ln x 与1ln x 作差后构造辅助函数，求导后得到构造的辅助函数的最小值大于0，从而
得到
10ln ln x x <，运用同样的办法得到02ln ln x x <，最后得到要证的结论.
【详解】（1）显然0a ¹， ()()1l n f x a x ¢=+， 令()0f x ¢=，解得
1
x e =
.
当0a >时，若()1
0,0x f x e ¢<<<，()f x
为减函数；
若()1,0x f x e ¢>>，()f x 为增函数,∴()f x 在
1
x e =处取得极小值， ∴11
f e e 骣琪=-琪桫
解得1a = 当0a <时与题意不符，综上，1a =. （2）由（1）知
()ln f x x x
=，
()1ln f x x
=¢+，
∴
()00
1ln f x x =¢+,∴
()()21021
1ln f x f x x x x -+=
-，即
()()21021
ln 1
f x f x x x x -=
--.
()()2122210112121
ln ln ln ln 1ln 1f x f x x x x x x x x x x x x ---=--=---=21
212
121
2ln
ln 11
1x x x x x x
x x x --=---.
设()12,0,1x t t x =?，则()()ln ln 11,0,111t t t g t t t t --+=-=?--
再设()()ln 1,0,1h t t t t =-+?，则()110h t t =-<¢，()h t 在()0,1上是减函数
∴
()()11h t h >=，即ln 10t t -+>，又10t ->
∴
()0
g t >，即
01ln ln 0x x ->，∴01ln ln x x >， ∴01x x >,
同理可证得
02x x <, ∴102x x x <<.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，由
()0
f x ¢>，得函数单调递增，
()0
f x ¢<得函数
单调递减；解题的关键亦为其难点即通过构造函数
()ln 1
1t t g t t -+=
-和()()ln 1,0,1h t t t t =-+?，利用
函数的单调性和极值证明不等式，是一道难度较大的综合题型．。