2019年北京大学博雅计划数学试题 含答

2019年北京大学博雅计划数学试题
题目一
问题描述
某公司的年终奖金是根据员工的绩效评估来确定的。

假设
员工的绩效评估得分服从正态分布，均值为μ，标准差为σ。

已知在这家公司，有60%的员工的绩效评估得分在60分以上。

请回答以下问题： 1. 假设员工的绩效评估得分的均值和标
准差分别为μ和σ，求μ和σ的具体取值。

2. 假设公司共有100名员工，绩效评估得分在60分以上的员工有60人。

求
μ和σ的具体取值。

解答
1.由题意可知，绩效评估得分在60分以上的员工占
比为60%，即正态分布的右侧面积为0.6。

根据标准正态
分布表，查得对应的z值为0.253。

而z值等于(60-μ)/σ，解得μ = 60 - 0.253σ。

2.假设公司共有100名员工，绩效评估得分在60分
以上的员工有60人。

则绩效评估得分在60分以下的员工
有40人。

根据题目，知道绩效评估得分在60分以下的员工占比为40%，即正态分布的左侧面积为0.4。

根据标准
正态分布表，查得对应的z值为-0.253。

而z值等于(60-
μ)/σ，解得μ = 60 + 0.253σ。

同时，根据题意可知绩效评
估得分在60分以上的员工有60人，那么这60人与总体
的右侧面积相同，即正态分布的右侧面积为0.6。

根据标
准正态分布表，查得对应的z值为0.253。

而z值等于
(60-μ)/σ，解得μ = 60 - 0.253σ。

综上所述，解得μ = 60 +
0.253σ，60 - 0.253σ。

联立这两个等式，解得σ = 18.84，
μ = 60.004。

因此，μ的取值为60.004，σ的取值为18.84。

题目二
问题描述
某商场举办了一次满减优惠活动。

购物满200元减50元，购物满500元减150元，购物满1000元减300元。

现有一
位顾客购买了一件商品，总价为x元（x>0）。

请回答以下问题： 1. 若顾客购物满200元并享受优惠，优惠后的总价为多少？ 2. 若顾客购物满500元并享受优惠，优惠后的总价为多少？ 3. 若顾客购物满1000元并享受优惠，优惠后的总价为多少？
解答
1.若顾客购物满200元并享受优惠，优惠后的总价为
x-50元。

2.若顾客购物满500元并享受优惠，优惠后的总价为
x-150元。

3.若顾客购物满1000元并享受优惠，优惠后的总价
为x-300元。

题目三
问题描述
求解以下方程组： x + y = 7 2x - y = 1
解答
将第一个方程乘以2，得到2x + 2y = 14。

将第二个方程与之相加，消去y，得到3x = 15，即x = 5。

将x的值代入第一个方程，得到5 + y = 7，即y = 2。

所以方程组的解为x = 5，y = 2。

以上是2019年北京大学博雅计划数学试题的全部内容和解答。