高等代数【北大版】(8)_OK
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第八章 λ─矩阵
§1 λ－矩阵 §2 λ－矩阵的
标准形
§3 不变因子
§4 矩阵相似的条件 §5 矩阵相似的条件
§6 若当(Jordan)标准形 的理论推导
小结与习题
1
§8.4 矩阵相似的条件
定理：
数字矩阵 A, B 相似 E A与 E B等价.
2021/9/5
2
引理1：
设P为数域 A, B P nn , 若有 P0, Q0 Pnn ，
从而，A有n个不变因子，这n个不变因子的乘积
n
等于 E A , 即， di ( ) E A .
i 1
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12
例1. 证明：下列三个矩阵彼此都不相似.
a 0 0
a 0 0
a 1 0
A
0 0
a 0
0 a
,
B
0 0
a 0
1 a
,
C
0 0
a 0
1 a
证： E A的不变因子是：
d1 a, d2 a, d3 a
比较两端，得
T U 1 E B R Pnn ⑦
T E A E BV0
⑧
2021/9/5
9
下证T可逆.
由⑦有， U T E U E B R . 即 E U T U E BR
U T E AV 1 R
E AQ U0 T E AV 1 R
使
E A P0 E BQ0
①
则A与B相似.
证：由 P0 E BQ0 P0EQ0 P0BQ0
P0Q0 P0BQ0 E A
得 P0Q0 E, P0BQ0 A 即 P0 Q01, A Q01BQ0 . ∴ A与B相似.
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3
Hale Waihona Puke 引理2：对任意 A Pnn及任意 -矩阵U ,V , 一定存在 -矩阵 Q , R 及 U0, V0 Pnn,
Qk AQk1 Dk
即
Qm1 AQm2 Dm1 AQm1 U0 Dm
Q0 D0
Q1 D1 AQ0
Qk Dk AQk1
Qm1 Dm1 AQm2
U0 Dm AQm1
即可. 同理可证②.
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6
定理：
设 A, B P nn，则A与B相似
特征矩阵 E A 与 E B 等价.
④
由引理2，对于A，U( ), V ( ) 存在 －矩阵 Q( ),
R( )及 U0 ,V0 Pnn，使
U E AQ U0 ⑤ V R E A V0 ⑥
2021/9/5
8
由④，有
U 1 E A E BV
E B R E A V0
即，
U 1 E B R E A E BV0
E B 的不变因子是：
d1 1, d2 a, d3 a2
E C 的不变因子是：
d1 1, d2 1, d3 a3
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13
故 A, B,C的不变因子各不相同. A, B,C 彼此不相似.
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14
证：" " 若A与B相似，则存在可逆矩阵T，
使
A T 1BT .
于是 E A E T 1BT T 1 E BT
由定理6之推论，得 E A 与 E B 等价.
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7
" " 若 E A 与 E B 等价， 则存在可逆 －矩阵 U( ), V ( )，使
E A U( )( E B)V ( ).
U0T E A Q V 1 R
比较两端，得
E
A
Q
V
1
R
0
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10
U0T E. 故T可逆.
于是 E A T 1 E BV0.
由引理1，A与B相似.
推论:设 A, B P nn , 则 A, B 相似
特征矩阵 E A 与 E B 有相同的不变因子. 证: A, B 相似 E A 与 E B 等价.
Q( ) Q0 m1 Q1 m2 Qm2 Qm1,
这里 Qi Pnn 为待定矩阵. 于是
E AQ Q0 m Q1 AQ0 m1 Qk AQk1 mk Qm1 AQm2 AQm1
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5
要使①式成立，只需取
Q0 D0
Q1 AQ0 D1
使 U E AQ U0 ②
V R E A V0 ③
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4
证： 设 U D0 m D1 m1 Dm1 Dm ,
这里 D0 , D1, , Dm P nn , 且 D0 0.
i) 若 m 0, 则令 Q 0, U0 D0.
ii）若 m 0, 设
E A与 E B 有相同的不变因子.
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注：
① 矩阵A的特征矩阵 E A 的不变因子也称为
矩阵A的不变因子.
推论说明，矩阵的不变因子是相似不变量.
因此，可把一个线性变换的任一矩阵的不变因子
定义为此线性变换的不变因子.
② 对 A P nn , 有秩( E A) n .
§1 λ－矩阵 §2 λ－矩阵的
标准形
§3 不变因子
§4 矩阵相似的条件 §5 矩阵相似的条件
§6 若当(Jordan)标准形 的理论推导
小结与习题
1
§8.4 矩阵相似的条件
定理：
数字矩阵 A, B 相似 E A与 E B等价.
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引理1：
设P为数域 A, B P nn , 若有 P0, Q0 Pnn ，
从而，A有n个不变因子，这n个不变因子的乘积
n
等于 E A , 即， di ( ) E A .
i 1
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例1. 证明：下列三个矩阵彼此都不相似.
a 0 0
a 0 0
a 1 0
A
0 0
a 0
0 a
,
B
0 0
a 0
1 a
,
C
0 0
a 0
1 a
证： E A的不变因子是：
d1 a, d2 a, d3 a
比较两端，得
T U 1 E B R Pnn ⑦
T E A E BV0
⑧
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下证T可逆.
由⑦有， U T E U E B R . 即 E U T U E BR
U T E AV 1 R
E AQ U0 T E AV 1 R
使
E A P0 E BQ0
①
则A与B相似.
证：由 P0 E BQ0 P0EQ0 P0BQ0
P0Q0 P0BQ0 E A
得 P0Q0 E, P0BQ0 A 即 P0 Q01, A Q01BQ0 . ∴ A与B相似.
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Hale Waihona Puke 引理2：对任意 A Pnn及任意 -矩阵U ,V , 一定存在 -矩阵 Q , R 及 U0, V0 Pnn,
Qk AQk1 Dk
即
Qm1 AQm2 Dm1 AQm1 U0 Dm
Q0 D0
Q1 D1 AQ0
Qk Dk AQk1
Qm1 Dm1 AQm2
U0 Dm AQm1
即可. 同理可证②.
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定理：
设 A, B P nn，则A与B相似
特征矩阵 E A 与 E B 等价.
④
由引理2，对于A，U( ), V ( ) 存在 －矩阵 Q( ),
R( )及 U0 ,V0 Pnn，使
U E AQ U0 ⑤ V R E A V0 ⑥
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由④，有
U 1 E A E BV
E B R E A V0
即，
U 1 E B R E A E BV0
E B 的不变因子是：
d1 1, d2 a, d3 a2
E C 的不变因子是：
d1 1, d2 1, d3 a3
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故 A, B,C的不变因子各不相同. A, B,C 彼此不相似.
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证：" " 若A与B相似，则存在可逆矩阵T，
使
A T 1BT .
于是 E A E T 1BT T 1 E BT
由定理6之推论，得 E A 与 E B 等价.
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" " 若 E A 与 E B 等价， 则存在可逆 －矩阵 U( ), V ( )，使
E A U( )( E B)V ( ).
U0T E A Q V 1 R
比较两端，得
E
A
Q
V
1
R
0
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U0T E. 故T可逆.
于是 E A T 1 E BV0.
由引理1，A与B相似.
推论:设 A, B P nn , 则 A, B 相似
特征矩阵 E A 与 E B 有相同的不变因子. 证: A, B 相似 E A 与 E B 等价.
Q( ) Q0 m1 Q1 m2 Qm2 Qm1,
这里 Qi Pnn 为待定矩阵. 于是
E AQ Q0 m Q1 AQ0 m1 Qk AQk1 mk Qm1 AQm2 AQm1
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要使①式成立，只需取
Q0 D0
Q1 AQ0 D1
使 U E AQ U0 ②
V R E A V0 ③
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证： 设 U D0 m D1 m1 Dm1 Dm ,
这里 D0 , D1, , Dm P nn , 且 D0 0.
i) 若 m 0, 则令 Q 0, U0 D0.
ii）若 m 0, 设
E A与 E B 有相同的不变因子.
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注：
① 矩阵A的特征矩阵 E A 的不变因子也称为
矩阵A的不变因子.
推论说明，矩阵的不变因子是相似不变量.
因此，可把一个线性变换的任一矩阵的不变因子
定义为此线性变换的不变因子.
② 对 A P nn , 有秩( E A) n .