静力学第3章_力矩_平面力偶系

§3-4 平面力偶系的合成与平衡
§3-1 力对点之矩
§3-2 力偶与力偶矩
§3-3 力偶的等效
【本章重点内容】
力矩和力偶的概念;
力偶的性质;
平面力偶系的合成与平衡.
§3-1 力对点之矩
§3-1 力对点之矩
一、平面力对点之矩（力矩）
力矩作用面，O 称为矩心，O 到力的作用线的垂直距离h 称为力臂.两个要素
1.大小：力F 与力臂的乘积
2.方向：转动方向
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负. 常用单位N ·m 或kN ·m .
()()O
O M F h M =±⋅=×r r r r F F r
F
（3）力的作用线通过矩心时，力
矩等于零；
（4）互成平衡的二力对同一点之
矩的代数和等于零.§3-1 力对点之矩
r F
（2）力对任一点之矩，不会因
该力沿其作用线移动而改变，因为
此时力和力臂的大小均未改变；
r F （1）力对O 点之矩不仅取决于力的大小，同时
还与矩心的位置有关；
r F r F
解：根据力对点之矩的定义()3
sin 20010N 0.4m 0.866
69.2 N m O M F h Fl α
=⋅==×××=⋅r F 正号表示扳手绕O 点作逆时针方向转动. 应该注意，力臂是OD ，而不是OA .
例3-1 扳手所受力如图，已知F =200kN ，l =0.4m ，
α=120°，试求力对O 点之矩.
r F
例3-2 齿轮啮合传动，已知大齿轮节圆半径r 2、直径
D 2，小齿轮作用在大齿轮上的压力为，压力角为α0. 试求压力对大齿轮传动中心O 2点之矩.r F r F 解：根据力对点之矩定义
()2O M F h
=−⋅r F
()2O M F h
=−⋅r F 从图中的几何关系得2200cos cos 2
D h r αα==()220cos 2O D M F α=−⋅r F 故负号表示力使大齿轮绕O 2点作顺时针方向转动.
r F
第三章力矩平面力偶系§3-2 力偶与力偶矩
一、力偶
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶，记作()
,′r r F
F
两个要素
1.大小：力与力偶臂乘积
2.方向：转动方向力偶矩
ABC S d F d F M ∆±=⋅⋅⋅±=⋅±=22
12力偶中两力所在平面称为力偶作用面
力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂
二、力偶矩
三、力偶与力偶矩的性质
（1）力偶在任意坐标轴上的投影等于零；
（2）力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡；
（3）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变.
()()()
()11111,O O O M M M F d x F x Fd
′′=+=⋅+−⋅=r r r r F F F F ()
()222,O M F d x F x F d Fd
′′=⋅+−⋅′==r r F F 力矩的符号力偶矩的符号M
()O M r
F M F d
=⋅
第三章力矩平面力偶系§3-3 力偶的等效
一、平面力偶的等效定理
在同一平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩大小相等、转动方向相同，则两力偶必等效. 这就是平面力偶的等效定理.
(P , P ′）可以沿着其作用线移动到l 1, l 2上任何一点.
C 二、平面力偶等效定理证明
在力偶( F , F ′)作用面上，任取
两点A 和B ，分别过A 、B 两点作平行
线l 1, l 2与F , F ′，二力作用线分别交
于C 点和D 点；
则(P , P ′）作用结果等效于( F , F ′)所以力偶可在作用面内任意移动，它是自由矢量，与作用点无关.
联结C 、D 两点，在CD 连线方
向上加平衡力Q ,Q ′，则P= F+Q ，
P ′= F ′+Q ′,F ′Q
=
力偶的等效
自由矢量，与作用点无关
==
=
三、力偶的两个推论
1.力偶可以在作用面内任意转移，而不影响它对物体的作用效应；
2.在保持力偶矩大小和转向不改变的条件下，可以任意改变力偶臂的大小、力的大小而不影响它对物体的作用.
第三章力矩平面力偶系
§3-4 平面力偶系的合成与平衡
已知
;,,21n M M M L 任选一段距离d 11F d
M
=d F M 11=22
F d M
=d
F M n n −=n n F d M
=d F M 22==
一、平面力偶系的合成
=
R 12n F F F F =++−L R
12n F F F F ′′′′=++−L 合成后，得到合力偶M
=
=
=
R M F d =12n F d F d F d =++−L 12n M M M =++L 1
n
i i
i M M M ===∑∑平面力偶系平衡的充要条件M = 0
i M =∑平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零.
二、平面力偶系的平衡
平衡方程合力偶M 的表达式
1234i
M M M M M M ==−−−−∑知道总切削力偶矩后，可以考虑夹紧措施，.
顺时针方向转动04415N m 60N m
M =−=−×⋅=−⋅例3-3 气缸盖上钻四个相同的孔，每个孔的切削力偶矩M 1=M 2=M 3=M 4=M 0=15N ·m ，转向如图，当同时钻这四个孔时，工件受到的总切削力偶矩是多大
？
解：四个力偶在同一平面
内，因此这四个力偶的合力偶
矩为
例3-4 电动机联轴器，四个螺栓孔心均匀地分布在同一圆周上，孔的直径AC =BD =150mm ，电动机轴传给联轴器的力偶矩M 0=2.5kN ·m ，试求每个螺栓所受的力为
多少？解：
（1）以联轴器为研究对象
假设四个螺栓受力均匀，
每个螺栓反力
四个反力组成两个力偶并与
电动机传给联轴器的力偶平衡.
1234
F F F F ===
（2）列平面力偶系平衡方程
M =∑00
M F AC F BD −×−×=而
AC BD
=故
0 2.5kN m 8.33kN 220.15m
M F AC ⋅===×
例3-5 在框架的杆CD 上作用有一力偶，其力偶矩M 0为40N ·m . A 为固定铰链，C 、D 和E 均为中间铰链，B 为光滑面. 不计各杆质量，试求平衡时，A 、B 、C 、D 和E 处的约束反力
.
解：（1）先选取整个系统为研究对象，画受力图根据力偶由力偶平衡，必定与构成一力偶，故与平行且反向.
B r F A r F A r F B r F
平衡方程
M =∑得0cos30
A B M F F AB ==o 40N m 0.32m 0.866
144N ⋅=×=0cos300A M F AB −+⋅=o F RA F RB
（2）以杆CD 为研究对象，画受力图DE 为二力直杆
沿ED 方向
R D r F R C r F R D r F 必与平行且反向F RA F RB
得R 5540N m 156N 40.32m 40.32m
C
M F ×⋅===××故R R 156N
D C F F ==注意：本例题是由平衡力偶系平衡条件确定铰链反力方位.()()0R 220.240
0.180.24C M F CD −+×
×=+0
M =∑列平衡方程
R D DE F F =
O
练3-1 已知M 1=2kN ·m ,OA=r =0.5m ,θ=30°，求平衡时M 2及铰链O 、B 处的约束力.
解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图
=∑M 0
sin 1=⋅−θr F M A 解得
8kN O A F F ==A
r O
2
M A F
取杆BC ，画受
=∑M A F ′⋅解得
28kN m
M =⋅8kN
B A F F ==O
A F A
r O
2
M θ
A r 2
M
一、平面内的力对点O 之矩是代数量
一般以逆时针转向为正，反之为负.
二、力偶和力偶矩
力偶是由等值、反向、不共线的两个平行力组成的特殊力系. 力偶没有合力，也不能用一个力来平衡.
平面力偶对物体的作用效应决定于力偶矩M 的大小和转向力偶对平面内任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关.
()
O
M F h
=±⋅r
F
四、平面力偶系的合成与平衡
合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即
∑=i
M M 平面力偶系的平衡条件为
=∑i
M
三、同平面内力偶的等效定理
在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等彼此等效. 力偶矩是平面力偶作用的唯一度量.
第三章力矩平面力偶系本章结束。