2025高考数学必刷题 第25讲、函数的零点问题(学生版)

第25讲
函数的零点问题
知识梳理
1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x 轴(或直线y k =)在某区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.2、函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
3、求函数的零点个数时，常用的方法有：一、直接根据零点存在定理判断；二、将()f x 整理变形成()()()f x g x h x =-的形式，通过()(),g x h x 两函数图象的交点确定函数的零点个数；三、结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数.
4、利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.
必考题型全归纳
题型一：零点问题之一个零点
例1．（2024·江苏南京·南京市第十三中学校考模拟预测）已知函数()ln f x x =,()2
1212
g x x x =
-+.（1）求函数()()()3x g x f x ϕ=-的单调递减区间；（2）设()()()h x af x g x =-，a R ∈.①求证：函数()y h x =存在零点；
②设0a <，若函数()y h x =的一个零点为m .问：是否存在a ，使得当()0,x m ∈时，函数
()y h x =有且仅有一个零点，且总有()0h x ≥恒成立？如果存在，试确定a 的个数；如果不
存在，请说明理由.
例2．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知函数()e sin 1x f x a x =--，()()22
cos sin 2e x
x a g x a x x ++=-
+-+，()f x 在()0,π上有且仅有一个零点0x .(1)求a 的取值范围；
(2)证明：若12a <<，则()g x 在(),0π-上有且仅有一个零点1x ，且010x x +<.
例3．（2024·全国·高三专题练习）已知函数()1
ln e x
x f x a x -=+
.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)证明：当0a ≥时，()f x 有且只有一个零点；
(3)若()f x 在区间()()0,1,1,+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围.
变式1．（2024·广东茂名·高三统考阶段练习）已知0a >，函数()e x
f x x a =-，
()ln g x x x a =-.(1)证明：函数()f x ，()g x 都恰有一个零点；
(2)设函数()f x 的零点为1x ，()g x 的零点为2x ，证明12x x a =.
题型二：零点问题之二个零点
例4．（2024·海南海口·统考模拟预测）已知函数2()e x f x x +=.(1)求()f x 的最小值；
(2)设2()()(1)(0)F x f x a x a =++>.
（ⅰ）证明：()F x 存在两个零点1x ，2x ；
（ⅱ）证明：()F x 的两个零点1x ，2x 满足1220x x ++<.
例5．（2024·甘肃天水·高三天水市第一中学校考阶段练习）已知函数
2()ln (21)f x x ax a x =+++．
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）当0a =时，2()(1)()1g x x f x x =---，证明：函数()g x 有且仅有两个零点，两个零点互为倒数．
例6．（2024·四川遂宁·高三射洪中学校考期中）已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++．（1）若函数()f x 在1x =处取得极值，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；
（3）当0a =时，2()(1)()1g x x f x x =---，证明：函数()g x 有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数．
变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数()ln x f x e x a =--.（1）若3a =.证明函数()f x 有且仅有两个零点；
（2）若函数()f x 存在两个零点12,x x ，证明：121222x x x x e e e a >++-.
变式3．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈在其定义域内有两个不同的零点．（1）求a 的取值范围；
（2）记两个零点为12,x x ，且12x x <，已知0λ>，若不等式()21ln 1ln 10λ-+->x x 恒成立，求λ的取值范围．
变式4．（2024·江苏·高三专题练习）已知函数()4
2
12
f x ax x =-
，,()0x ∈+∞，()()()g x f x f x '=-．
(1)若0a >，求证：
（ⅰ）()f x 在()f x '的单调减区间上也单调递减；（ⅱ）()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点；
(2)若1a >，记()g x 的两个零点为12,x x ，求证：1244x x a <+<+．
题型三：零点问题之三个零点
例7．（2024·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数()2
1ln ln 1e
x ax f x x a -=---有三
个零点.
(1)求a 的取值范围；
(2)设函数()f x 的三个零点由小到大依次是123,,x x x .证明：13e e x x a >.
例8．（2024·广东深圳·校考二模）已知函数1
()ln 1
x f x a x x -=-+.(1)当1a =时，求()f x 的单调区间；(2)①当1
02
a <<
时，试证明函数()f x 恰有三个零点；②记①中的三个零点分别为1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，试证明22
131(1)(1)x x a x >--.
例9．（2024·广西柳州·统考三模）已知()3
()1ln f x x ax x =-+．
（1）若函数()f x 有三个不同的零点，求实数a 的取值范围；
（2）在（1）的前提下，设三个零点分别为123,,x x x 且123x x x <<，当132x x +>时，求实数a 的取值范围．
变式5．（2024·贵州遵义·遵义市南白中学校考模拟预测）已知函数()32113f x x ax bx =+++（a ，
b ∈R ）.
（1）若0b =，且()f x 在()0+∞，
内有且只有一个零点，求a 的值；（2）若20a b +=，且()f x 有三个不同零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.
变式6．（2024·浙江·校联考二模）设e 2
a <，已知函数()()()
2
2e 22x f x x a x x =---+有3个不同零点.
(1)当0a =时，求函数()f x 的最小值：(2)求实数a 的取值范围；
(3)设函数()f x 的三个零点分别为1x 、2x 、3x ，且130x x ⋅<，证明：存在唯一的实数a ，使得1x 、2x 、3x 成等差数列.
变式7．（2024·山东临沂·高三统考期中）已知函数ln ()x
f x x
=
和()e x ax g x =有相同的最大值.
(1)求a ，并说明函数()()()h x f x g x =-在（1，e ）上有且仅有一个零点；
(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
题型四：零点问题之max ，min 问题
例10．（2024·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数()()2
sin cos ,ln
π
x
f x x x x ax
g x x =++=．(1)当0a =时，求函数()f x 在[]π,π-上的极值；
(2)用{}max ,m n 表示,m n 中的最大值，记函数()()(){}max ,(0)h x f x g x x =>，讨论函数()h x 在()0,∞+上的零点个数．
例11．（2024·四川南充·统考三模）已知函数21()sin cos 2
f x x x x ax =++，()ln πx
g x x =．
(1)当0a =时，求函数()f x 在[,]-ππ上的极值；
(2)用max{,}m n 表示m ，n 中的最大值，记函数()max{(),()}(0)h x f x g x x =>，讨论函数()h x 在(0,)+∞上的零点个数．
例12．（2024·四川南充·统考三模）已知函数()2
e 2
x ax x f x x =+-，()ln g x x =其中e 为自然对
数的底数.
(1)当1a =时，求函数()f x 的极值；
(2)用{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，记函数()()(){}max ,(0)h x f x g x x =>，当0a ≥时，讨论函数()h x 在()0,∞+上的零点个数.
变式8．（2024·广东·高三专题练习）已知函数()ln f x x =-，3
1
()4
g x x ax =-+，R a ∈.
(1)若函数()g x 存在极值点0x ，且()()10g x g x =，其中10x x ≠，求证：1020x x +=；(2)用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，记函数()min{()h x f x =，()}(0)g x x >，若函数()h x 有且仅有三个不同的零点，求实数a 的取值范围.
变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()e (R)x f x ax a =-∈，()1g x x =-．(1)若直线()y g x =与曲线()y f x =相切，求a 的值；
(2)用{}min ,m n 表示m ，n 中的最小值，讨论函数()min{(),()}h x f x g x =的零点个数．
变式10．（2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知函数()()31
,1ln 4
f x x ax
g x x x =++=--.
(1)若过点()1,0可作()f x 的两条切线，求a 的值.
(2)用{}min ,m n 表示,m n 中的最小值，设函数()()(){}min ,(01)h x f x g x x =<<，讨论()h x 零点的个数.
题型五：零点问题之同构法例13．已知函数1
()()2(0)x ax
f x x ln ax a e -=+-->，若函数()f x 在区间(0,)+∞内存在零点，求实数a 的取值范围
例14．已知2
()12
a f x xlnx x =+
+．（1）若函数()()cos sin 1g x f x x x x xlnx =+---在(0,]2
π
上有1个零点，求实数a 的取
值范围．
（2）若关于x 的方程2
()12
x a a xe f x x ax -=-
+-有两个不同的实数解，求a 的取值范围．例15．已知函数()(1)1x f x ae ln x lna =-++-．（1）若1a =，求函数()f x 的极值；
（2）若函数()f x 有且仅有两个零点，求a 的取值范围．
题型六：零点问题之零点差问题
例16．已知关于x 的函数()y f x =，()y g x =与()(h x kx b k =+，)b R ∈在区间D 上恒有()()()f x h x g x ．
（1）若2()2f x x x =+，2()2g x x x =-+，(,)D =-∞+∞，求()h x 的表达式；
（2）若2()1f x x x =-+，()g x klnx =，()h x kx k =-，(0,)D =+∞，求k 的取值范围；
（3）若42()2f x x x =-，2()48g x x =-，342()4()32(0||h x t t x t t t =--+<，[D m =，
][n ⊂，，求证：n m
-
例17．已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++．（1）如3a b ==-，求()f x 的单调区间；
（2）若()f x 在(,)α-∞，(2,)β单调增加，在(,2)α，(,)β+∞单调减少，证明：6βα->．
例18．已知函数221
()2
x f x ae x ax =--，a R ∈．
（1）当1a =时，求函数2()()g x f x x =+的单调区间；（2）当44
01
a e <<
-，时，函数()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，证明：212x x ->．
题型七：零点问题之三角函数
例19．（2024·山东·山东省实验中学校考一模）已知函数()()sin ln 1f x a x x =-+．
(1)若对(]1,0x ∀∈-时，()0f x ≥，求正实数a 的最大值；
(2)证明：2
21sin
ln2n k k =<∑；(3)若函数()()1e sin x g x f x a x +=+-的最小值为m ，试判断方程()1e
ln 10x m x +--+=实数根的个数，并说明理由．
例20．（2024·全国·高三专题练习）设函数()πsin
2
x f x x =-.(1)证明：当[]0,1x ∈时，()0f x ≤；(2)记()()ln g x f x a x =-，若()g x 有且仅有2个零点，求a 的值.
例21．（2024·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）已知1()sin (1)1
f x a x x x x =-+>-+，且0为()f x 的一个极值点．
(1)求实数a 的值；
(2)证明：①函数()f x 在区间(1,)-+∞上存在唯一零点；②22111sin 121n k n k =-<<+∑，其中*N n ∈且2n ≥．
变式11．（2024·山东济南·济南市历城第二中学校考二模）已知()sin n f x x =，
()ln e x g x x m =+（n 为正整数，m R ∈）．
(1)当1n =时，设函数()()212h x x f x =--，()0,πx ∈，证明：()h x 有且仅有1个零点；
(2)当2n =时，证明：()
()()e 12x f x g x x m '+<+-．
题型八：零点问题之取点技巧
例22．已知函数()[2(1)]2(x x f x e e a ax e =-++为自然对数的底数，且1)a ．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．
例23．已知函数2()(1)()x f x xe a x a R =++∈．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．
例24．已知函数211()(()22x f x x e a x =-++．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．变式12．已知函数1()()(1)2
x x f x e a e a x =+-+．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围。