高中数学苏教版选修1-1学案：第三章 3.1.2 第1课时 瞬时变化率与导数 Word版含答案

3.1.2 瞬时变化率——导数
第1课时 瞬时变化率与导数
[学习目标]1.通过实例理解曲线的割线与切线的关系.2.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过度到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景.3.理解瞬时变化率与导数间的关系，掌握函数在某点处导数的定义．
知识点一逼近法求曲线上一点处的切线斜率
1．逼近法求曲线上一点处的切线斜率
如图，设曲线C 上一点P (x ，f (x ))，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点Q (x ＋Δx ，f (x ＋Δx ))，则割线PQ 的斜率为
k PQ ＝f (x ＋Δx )－f (x )(x ＋Δx )－x
＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx .
当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 的切线l ，从而割线的
斜率逼近切线l 的斜率，即当Δx 无限趋近于0时，f (x ＋Δx )－f (x )Δx
无限趋近于点P (x ，f (x ))处的
切线的斜率．
知识点二瞬时变化率与瞬时速度、瞬时加速度
(1)如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移s (t )的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt
无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．
(2)如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度的平均变化率v (t 0＋Δt )－v (t 0)Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，也就是速度对时间的瞬时变化率． 知识点三导数的概念
设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．
若用符号“→”表示“无限趋近于”，则“当Δx 无限趋近于0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
无限趋近于常数A ”就可以表示为“当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
→A ”．
题型一求曲线上某点处的切线斜率
例1已知曲线f (x )＝2x 2＋1上一点A (1,3)，求曲线f (x )在点A 处切线的斜率．
解Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)1＋Δx －1
＝2(1＋Δx )2＋1－(2＋1)Δx ＝4＋2Δx ， 当Δx →0时，Δy Δx
＝4＋2Δx 无限趋近于4，即曲线在点A 处的切线的斜率为4. 反思与感悟解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想．即求曲线上一点处切线的斜率时，先表示出曲线在该点处的割线的斜率，则当Δx 无限趋近于0时，可得到割线的斜率逼近切线的斜率．
跟踪训练1若曲线f (x )＝x 2－1在点P 处的切线的斜率为k ，且k ＝2，则点P 的坐标为__________．
答案(1,0)
解析设点P 的坐标为(x 0，y 0)，在点P 邻近的点Q 的坐标为(x 0＋Δx ，y 0＋Δy )，则割线PQ 的斜
率为y 0＋Δy －y 0x 0＋Δx －x 0＝Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)x 0＋Δx －x 0
＝(x 0＋Δx )2－1－(x 20－1)Δx
＝2x 0＋Δx . 当Δx →0时，k PQ ＝2x 0＋2Δx 无限趋近于2x 0，即为曲线在点P 的切线的斜率，所以有2x 0＝2，解得x 0＝1，则y 0＝0，所以点P 的坐标为(1,0)．
题型二求瞬时速度与瞬时加速度
例2如果一个质点从固定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为S (t )＝t 3＋3(位移单位：m ；时间单位：s)．
求：(1)t ＝4时，物体的位移S (4)；
(2)t ＝4时，物体的速度v (4)；
(3)t ＝4时，物体的加速度a (4)．
解(1)S (4)＝43＋3＝67(m)．
(2)∵ΔS Δt ＝(4＋Δt )3＋3－(43＋3)Δt
＝48＋12Δt ＋(Δt )2， ∴当Δt 无限趋近于0时，ΔS Δt
无限趋近于48. ∴v (4)＝48(m/s)．
(3)物体在任意时刻t 的速度记为v (t )，
∵ΔS Δt ＝(t ＋Δt )3＋3－t 3－3Δt
＝3t 2＋3t Δt ＋(Δt )2， ∴当Δt 无限趋近于0时，ΔS Δt
无限趋近于3t 2. ∴v (t )＝3t 2.
而Δv Δt ＝v (4＋Δt )－v (4)Δt ＝3(4＋Δt )2－3×42
Δt
＝24＋3Δt ， 而当Δt 无限趋近于0时，Δv Δt
无限趋近于24. ∴a (4)＝24(m/s 2)．
反思与感悟平均速度可反映物体在某一段时间内的平均变化状态，而瞬时速度反映物体在某一时刻的运动变化状态，瞬时速度是平均速度当Δt 趋于0时的极限值．
跟踪训练2一质点按规律S (t )＝at 2＋1作直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2s 时的瞬时速度为8m/s ，求常数a 的值．
解∵ΔS ＝S (2＋Δt )－S (2)
＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1
＝4a Δt ＋a (Δt )2，
∴ΔS Δt
＝4a ＋a Δt . Δt →0时，ΔS Δt
→4a ， 即4a ＝8，得a ＝2.
题型三函数在某点处的导数
例3求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．
解Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)
＝3(Δx )2＋4Δx ，
∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx
＝3Δx ＋4， Δx →0时，Δy Δx
→4. ∴f (x )在x ＝1处的导数为4.
反思与感悟根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的步骤：
(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；
(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
； (3)得导数，当Δx →0时，Δy Δx
→f ′(x 0)． 关键是在求Δy Δx
时，要注意分式的通分、无理式的分子有理化等常用技巧的使用． 跟踪训练3利用定义求函数y ＝x ＋1x
在x ＝1处的导数． 解∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝⎛⎭
⎫x ＋1x ＝Δx －Δx x (x ＋Δx )，Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx )
， 从而，当Δx →0时，1－1x (x ＋Δx )
→1－1x 2， ∴函数f (x )在x ＝1处的导数为0.
瞬时速度的求解
例4一辆汽车按S ＝3t 2＋1做直线运动，求这辆车在t ＝3s 时的瞬时速度．(位移单位：m ，时间单位：s)
分析本题主要考查瞬时速度的求法，既可以利用逼近思想，由平均速度通过逼近得到瞬时速度；也可以利用极限思想，由平均速度通过取极限得到瞬时速度．
解方法一当Δt ＜0时，在[3＋Δt,3]这一段时间内， v ＝S (3)－S (3＋Δt )3－(3＋Δt )
＝28－[3(3＋Δt )2＋1]－Δt
＝－[3(Δt )2＋18Δt ]－Δt
＝3Δt ＋18.
当Δt ＝－0.1时，v ＝17.7；
当Δt ＝－0.01时，v ＝17.97；
当Δt ＝－0.001时，v ＝17.997；
当Δt ＝－0.0001时，v ＝17.9997；
当Δt ＝－0.00001时，v ＝17.99997；
当Δt ＝－0.000001时，v ＝17.999997；
……
由此可见，当Δt 从左侧无限地逼近0时，v 从18的左侧无限地靠近18.
当Δt ＞0时，在[3,3＋Δt ]这一段时间内， v ＝S (3＋Δt )－S (3)(3＋Δt )－3
＝[3(3＋Δt )2＋1]－28Δt
＝3(Δt )2＋18Δt Δt
＝3Δt ＋18.
取Δt 的下列值0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001，……可以得到v 的值18.3,18.03,18.003, 18.0003，
18．00003，……，v 的值从18的右侧无限地靠近18.
综上可知，当|Δt |→0时，v 无限逼近常数18.
∴这辆车在t ＝3s 时的瞬时速度为18m/s.
方法二设这辆车从3s 到(3＋Δt )s 这一段时间内位移的增量为ΔS ＝3(3＋Δt )2＋1－28＝3(Δt )2＋18Δt ，
∴ΔS Δt ＝3(Δt )2＋18Δt Δt
＝3Δt ＋18. ∴Δt →0时，ΔS Δt
→18. ∴这辆车在t ＝3s 时的瞬时速度为18m/s.
点评方法二求瞬时速度的一般步骤如下：
(1)设非匀速直线运动的规律S ＝S (t )；
(2)时间改变量Δt ，位移改变量ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)；
(3)平均速度v ＝ΔS Δt
； (4)瞬时速度：当Δt →0时，ΔS Δt
→v (常数)．
1．若质点A 按照规律S ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为________．
答案18
解析因为ΔS Δt ＝3(3＋Δt )2－3·32
Δt
＝18Δt ＋3(Δt )2
Δt
＝18＋3Δt . Δt →0时，ΔS Δt
→18， 所以所求瞬时速度为18.
2．若一物体的运动方程为S ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1.
答案114
解析ΔS Δt ＝7(t ＋Δt )2＋8－(7t 2＋8)Δt ＝7Δt ＋14t . 当Δt →0时，14t ＋7Δt →1，
即14t ＝1，得t ＝114
. 3．函数f (x )＝
1x
在x ＝1处的导数为________． 答案 －12
解析∵Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝11＋Δx －1Δx
＝－11＋Δx (1＋1＋Δx ). Δx →0时，Δy Δx →－12. ∴f (x )＝1x
在x ＝1处的导数为－12. 4．设f (x )在x 处可导，则当h 无限趋近于0时，f (x ＋h )－f (x －h )h
无限趋近于________． 答案2f ′(x )
解析由f (x ＋h )－f (x －h )h
＝f (x ＋h )－f (x
)
h ＋f (x )－f (x －h )h
，得答案．
1.平均变化率和瞬时变化率的关系
平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0点的瞬时变化率．
即有：Δx 趋于0是指自变量间隔Δx 越来越小，能达到任意小的间隔，但始终不能为0，即对于瞬时变化率，我们通过减小自变量的改变量以致趋于零的方式，实现用割线斜率“逼近”切线斜率，用平均速度“逼近”瞬时速度．一般地，可以用平均变化率“逼近”瞬时变化率．
2．平均速度和瞬时速度的关系
平均速度和瞬时速度都是反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况的．平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值，而瞬时速度是运动物体在某一时刻的速度，一个时间段趋于0时的平均速度就是瞬时速度．
3．求瞬时变化率
求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法，求解过程较为烦琐，根据教材概括也可以按以下方法求解：
(1)求Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)当Δx 趋于0时，Δy Δx
趋于一个常数，即为函数在x 0点的瞬时变化率．。