ADAMS对隔振的研究

固有频率在ADAMS/Linear 和ADAMS/Vibration 中的理解
在ADAMS 中，固有频率是通过本征向量计算的，为了更好的理解计算结果中各个参数的意义，解决仿真中常见的问题，在这里理论联合实际对一些基本知识在ADAMS 中的应用做一基本论述。

在此，不涉及ADAMS/Linear 的扩展命令，所有的线性化命令实际都是在图形界面操作所得的。

对于单自由度系统，如经典的弹簧——质量——阻尼系统，质量m 的运动方程有：
c k x x x m m '''
++=或 0m x
c x k x '''++= （1） 这里x 为质量m 的位移，k 为弹簧刚度系数，c 为阻尼系数。

根据无阻尼固有圆
频率和阻尼比的定义重写等式（1）：
220n n x x x ζωω'''++= （2）
这里：
无阻尼固有圆频率（Undamped Natural Frequency ）m
k
n =ω （3） 阻尼比（Damping Ratio ）n
m c
km c ωζ22=
=
（4） 可以看出，无阻尼固有圆频率n ω只是弹簧刚度k 和质量m 的函数，与阻尼值无关。

ADAMS/Linear 实际上计算无阻尼固有圆频率的方法有所不同，它使用拉普拉斯（Laplace ）在仿真运行点对模型变换为线性矩阵，再通过本征值向量（Eigenvalues ）计算系统的固有圆频率和阻尼比，但计算结果与上述计算是等效的。

一般，本征值λ由实部（Real part ）r λ和虚部（Imaginary part ）i λ两部分组成：i r λλλ±=，因此，方程式（2）可以写为：
022
2=++n n ωλζωλ （5）
本征值λ由下式决定：
当阻尼比ζ＞1，12-±-=ζωζωλn n （6） 当阻尼比ζ＜1，21ζωζωλ-±-=n n j （7） 令：n r ζωλ-=；21ζωλ-=n i 。

当系统阻尼比当ζ＜1时，ADAMS/Linear 使用下式计算无阻尼固有圆频率与阻尼比：
2
2i r n λλω+= （8）
即：()
(
)n n n n n n n i
r ωωωζωωζξ
ωζωλλ==-+=
-+-=
+2
222222
2
2
22
1
θζcos =，或 22i
r
r
λ
λλζ+=
（9） 复数平面本征值示意图
显然，当实部r λ＝0时，系统阻尼比ζ＝0；当虚部i λ＝0时，ζ＝1。

所以当阻尼比大于或等于1时为过阻尼或临界阻尼，此时本征值不能被计算即无振动
解，阻尼值的结果均报告为1。

现在，我们以一个简单的单自由度系统分别使用理论公式和ADAMS/Linear 计算无阻尼固有频率和阻尼比。

为简便起见，设定运动质量m ＝1kg ，弹簧刚度系数k ＝1000N/m ，阻尼系数c ＝20N-s/m 。

首先，将上述参数分别代入等式（3）、（4）和（7）计算理论值： 无阻尼固有圆频率032921
.51
1000
21==⨯=m k n πω(Hz) 阻尼比0.31622781
10002202=⨯==
km c ζ 本征值774648.4591549.112±-=-±-=±=ζωζωλλλn n i r j
然后，启动ADAMS/View 并建立一个单自由度模型，注意，为了获得振动质量m 的单自由度，应对其施加垂向约束。

图2 单自由度模型示意图
然后运行仿真：Static -> Linear ；得到的本征值信息与计算结论如图3，与理论计算结果对比得知是完全一致的。

图 3 单自由度本征值计算结果表
在图3中，计算结果包括4列：无阻尼固有圆频率（UNDAMPED NATURAL FREQUENCY ）与阻尼比（DAMPING RATIO ）；其中本征值：实部（REAL ）和虚部（IMAGINARY ）。

如果修改阻尼系数为10 N-sec/m ，再次在静平衡仿真点计算本征值，结果如图4：
修改后的单自由度系统本征值结果表
可以得到阻尼系数的改变会影响到阻尼比、实部值和虚部值，但不会改变系统的固有频率，同样与理论推导的结果同样完全一致。

现在，将上述模型中的移动副删除，去处质量m的强制约束使其拥有6个自由度，执行同样的线性化命令后得到的本征值如图6所示。

图5 模型核查信息
图6 单物体6自由度本征值信息表
其中11号（1阶非刚体）模态（有实部和虚部2部分）为质量m沿垂直轴位移的振动特性，数值的意义见前述，它是我们在工程应用中关心的模态。

第7～11为过阻尼态，第1～6为无阻尼态（阻尼＜1×10-10），对于本征值虚部为0的模态，我们还会收到警告消息，如下：
图7 本征值虚部无解警告
对于6自由度系统，总共有3对模态；实部不为0的第7、8、9、10组成2对模态加上第11号模态共计3对，即：（模态对）×2＝自由度数目。

对于其他模型，可以用同样的方式预估模态数目。

还有一种情景是当质量m 的运动由数学方程（一阶微分方程、单输入，单输出传递函数、线性状态方程、通用状态方程）支配时，也会出现0值的本征值。

共振频率和隔振区间的计算
工程中经常发生由变质的惯性力激励产生的受迫振动，例如由于地基振动引起结构物得受迫振动，或由于转子偏心引起的受迫振动。

这类受迫振动的特点是激励惯性力的振幅与频率的平方成正比。

以地基振动为例，设安装质量—弹簧系统的基座沿y 轴方向作振幅为B 、频率为ω的简谐振动，振动规律为
()i t
f y t Be ω=
则在物体上产生简谐变化的惯性力
2i t
f F my mB e ωω''=-=
将物体相对基座的相对位移记作x 1，则动力学方程可写作
2
2101012i t y y y B e ωζωωω'''++=
令相对运动的振幅为A 1,振幅扩大因子为β1=A 1/B ，得到参数β1，θ1与激励频率之间的关系为
2
1()s β=
122()arctan(
)1s
s s ζθ=-
其中s=ω/ω0。

由于1
1
()0,()1
lim lim s s s s ββ→→∞
====，当激励力频率远小于固有频率是，相对运动的振幅接近于零，相位接近相同；激励频率远大于固有频率时，相对运动振幅接近于基座运动的振幅，但相位正好相反。

激励频率接近固有频率时，也存在振幅急剧增大的共振现象。

若将质点相对惯性坐标系的绝对位移作为响应y ，则y 等于相对位移y 1与基座牵连位移y f 之和，
111()()11()i t i i t i t y Be Be e Be ωθθωθωββ--=+=+
由于
1
1i e θβ+=
令A 为绝对振动振幅，得到
()i t x Ae ωθ-=
导出绝对运动的振幅放大因子β=A/B 和相位差θ为
β=
22arctan()arctan(2)
1s
s s ζθζ=--
将地基的振动与机器设备隔离以避免将振动传至设备，隔振的效果用被动隔振系数η表示，η定义为隔振后设备的振幅与隔振前设备的振幅之比，导出的被动隔振系数为：
A B η==
=1=0s η令上式，得：或再求η的最大值，即求2
222
1(2)(1)(2)s s s ζζ+-+的最大值：
令222
2
222
2222
1(2)14()(1)(2)(1)4s s f s s s s s ζζζζ++==-+-+，将其转换成
22214()(0)
(1)4x
f x x x x ζζ+=>-+则
222
14()(0)(1)4x f x x x x ζζ+=>-+
222
22422
()(1)4x x f x x x ζζ--+'=
⎡⎤-+⎣⎦
令22()0422=0f x x x ζ'=--+，即，算得：
x =
所以当0ω==
ADAMS对隔振系统的振动分析
针对上述的设定好参数的弹簧—阻尼—质量系统的ADAMS模型，若将其地面的固定的约束解除，再给地面一个竖直方向的简谐振动位移，此时该系统就是隔振系统。

地面振动通过弹簧和阻尼传递到物体上，已知m=1kg，k=1000N/m，c=10N-S/m。

根据理论算出的固有频率为ω0=5.032921，阻尼比为ζ=0.1581139，进一步算得当地面简谐振动频率ω>7.117625时，隔振系统具有消振效果；当ω=4.916963时，物体产生最大振幅的振动。

在ADAMS里，解除固定约束，给地面施加一个竖直方向的位移，并定义该
位移为三角函数位移（右击
MOTION_7，选择定义选项
modify，在弹出的定义窗口空，
最初按右图图所示编辑，单机OK
键）。

运行仿真后，地面约束改成
三角函数位移时，ADAMS计算
出系统的固有频率和阻尼比保持
不变。

改变地面位移的参数方程，
观察不同的隔振效果。

特别地，当把三角函数的方
程改为10*sin（44.72*time），即
频率为7.117625时，运行仿真后：
分别右击地面和质量块，选择
Measure观察各自的振动情况，在
Measure的编辑栏里，选择Y轴
的位移作为输出量，单机OK键
观察其对比效果。

很容易看出，
此条件下，当物块的振动达到稳
定时，其振幅与地面振幅基本一致，这也验证了前面所计算出的理论值的正确性。

在正确性得以验证的基础上，再将竖直位移函数编辑为10*sin（30.89*time），通过运行仿真，可以进一步的观察到共振情况下，质量快的大幅振动。

隔振效果曲线的绘制
根据理论表达式，可以粗略的绘出不同阻尼所对应的幅频曲线：
其中，横坐标为ω/ω0。

一般的
①．ω/ω0<√2时，系统有放大作用；
②．ω/ω0≈1时，系统共振，传递比到极大； ③．√2<ω/ω0<3时，作用有限； ④．3<ω/ω0<6时，隔振能力低； ⑤．6<ω/ω0<10时，中等； ⑥．ω/ω0>10时，强；
ADAMS 专门开发了振动仿真分析模块ADAMS/Vibration ，在振动仿真分析模块中可以进行类似真实的实验一样对系统进行多方面的测试。

它主要是在其模块建立的基础上，在输入位置定义激励，在输出位置处计算频响函数，通过对输出响应的位置分析，来决定系统振动性能方面的特性。

继续研究隔振系统，可以通过这一技术的运用，绘出能够反映地面振动频率改变时，隔着系统的隔振效果。

同样是先解除原有弹簧—阻尼—质量系统的地面固定； 创建一个输入通道和激励
单击菜单【Vibration 】→【Build 】→【Input Channel 】→【New 】，在弹出的激励编辑栏中选择位移方式激励，Y 方向，幅度和初相位分别为10和0，选择地面模块的中心点作为输入点。

2 1
2
1
1
2
0.75
0.5
0.25
振幅0
=ξ0
/ωω
创建两个对比输出通道和激励
单击菜单【Vibration】→【Build】→【Output Channel】→【New】，在输出响应的编辑栏里选择Y轴的位移输出方式，第一个输出点选择地面模块中点，第二个输出点选择质量块中心点。

仿真分析。

单击菜单【Simulate】→【ADAMS/Vibration】→【Vibration Analysis】后，弹出运行振动分析对话框。

然后选择Assembly。

在Inpu_y下导入所创建的输入激励，在Output Channel下导入所创建的两个输出通道；频率Begin和End分别设置为0.1和100，步数为1000。

设置完毕后开始计算。

在后处理模块中查看频响函数
按F8进入后处理模块将数据源Source设置为Frequency Rseponse，选择新编辑的输入通道，再依次选择新编辑的输出通道，通过Add Curves就可以绘出两个输出通道的频率响应函数。

如下图所示：
其中实线表示地面幅度稳定的振动，虚线表示在地面振动频率从0.1到100变
化时，通过隔振系统传给质量块的振动幅度的变化曲线。