学案2：7.2.4 诱导公式（一）

7.2.4 诱导公式（一）
【课前准备】 1．课时目标
（1）正确理解诱导公式（二）～（四）的内容与推导，掌握诱导公式（二）～（四）； （2）会利用相应的诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，能运用其进行化简、求值及证明；（3）要特别注意区分诱导公式中的函数符号． 2．基础预探
（1）诱导公式（二）：sin （π+α）=________，cos （π+α）=________，tan （π+α）=________； （2）诱导公式（三）：sin （－α）=________，cos （－α）=________，tan （－α）=________； （3）诱导公式（四）：sin （π－α）=________，cos （π－α）=________，tan （π－α）=________； （4）我们可以用一段话来概括公式（一）～（四）：α+2k π（k ∈Z ），－α，π±α的三角函数值，等于α的________，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． 【知识训练】 1．sin210°=（ ） A ．
23 B ．－23
C ．21
D ．－2
1
2 ） A ．sin2－cos2
B ．cos2－sin2
C ．±（sin2－cos2）
D ．sin2+cos2
3．设函数f （x ）=a sin （πx +α）+b cos （πx +β），其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足 f （2011）=－2012，则f （2012）的值为（ ）
A ．1
B ．－1
C ．2012
D ．－2012 4．tan690°的值为________．
5．已知cos α=31，且－2π
＜α＜0，求α
αααtan cos π2sin πtan ⋅-+⋅--）（）（）（的值．
6．若sin（α－π）=2cos（2π－α），试求
)
sin(
)
cos(
3)
2
cos(
5
)
sin(
α
α
πα
π
α
π
-
-
--
+
-
的值．
【学习引领】
1．诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系．换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系．诱导公式是三角函数进行化简、求值、证明的基础，多与方程、不等式、函数极值等问题相联系，是考查三角函数的一个方向．
2．借助单位圆，我们可以很好达到记忆这些诱导公式的目的．对于公式（一）至公式（四），结合如下的单位圆图象，根据角α和角2kπ+α（k∈Z）、π+α、－α、π－α的终边与单位圆的交点的横坐标或纵坐标相等或互为相反数的情况，可以归纳为：“横轴变换同函数名，正弦x轴同侧不变异侧变，余弦y轴同侧不变异侧变”．
根据以上归纳的规律，对于正弦函数中的诱导公式，如果角变换是关于横轴进行的，即角α和角2kπ+α（k∈Z）、－α、2π－α、π－α、π+α的终边与单位圆的交点的纵坐标相同，此时相应的角的终边位于x轴同侧，对应的三角值与sinα的函数值相同，符号不变，相反则符号改变．同理，对于余弦函数中的诱导公式，如果角变换是关于横轴进行的，即角α和角2kπ+α（k∈Z）、－α、2π－α、π－α、π+α的终边与单位圆的交点的横坐标相同，此时相应的角的终边位于y轴同侧，对应的三角值与cosα的函数值相同，符号不变，相反则符号
改变．
【典例导析】
题型一：诱导公式在求值问题中的应用 例1．已知cos （75º+α）=3
1
，α为第三象限的角，求cos （105º－α）sin （α－105º）的值．
点评：非常巧妙地把角75º+α看作一个整体，利用诱导公式加以剖析，把角105º－α和α－105º结合诱导公式的巧妙过度，转化成角75º+α的三角函数的形式，再利用相应的三角函数知识加以求解． 变式练习1：已知cos （
π6－α）=33，则cos （5π6+α）－sin 2（α－π6
）=________．
题型二：诱导公式在化简（或证明）问题中的应用 例2．若k ∈Z ，化简sin(π)cos(π)
sin[(1)π]cos[(1)π]
k k k k αααα-++++-．
点评：直接分析两个角之间的关系，通过诱导公式加以求解，显得方便快捷，方法更加巧妙．其实本题也可以通过对n ∈Z 的奇数与偶数两种不同的情况加以分开讨论，在各自不同分类情况下，再结合诱导公式加以直接求解，也可以达到目的． 变式练习2：化简：sin(2π)cos(π)
cos(π)sin(3π)sin(π)
ααααα-+----．
题型三：诱导公式在解决三角形问题中的应用
例3．在△ABC 中，若sin （A +B －C ）=sin （A －B +C ），试判断△ABC 的形状．
点评：在根据结论sin2C =sin2B 判断对应的角之间的关系时，要注意相应的角相等或互补，不要出现遗漏，否则容易导致错误．利用诱导公式可以处理与解决一些相关的三角形问题：相关边、角或其他参数的求值，三角形中的相关等式的证明，三角形形状的确定等问题． 变式练习3：A 、B 、C 是一个三角形的三个内角，则下列各式中始终表示常数的是（ ） A ．sin （A +B ）+sin C
B ．cos （A +B ）+ cos
C C ．sin （A +B ）+cos （－C ）tan C
D ．cos （2A +2B ）+cos2C
【随堂练习】
1．sin585°的值为（ ） A ．－
22 B ．22 C ．－32 D ．3
2
2．设cos α=t ，则tan （π－α）等于（ ） A ．t
t 2
1-
B ．－t
t 2
1-
C ．±t
t 2
1-
D ．±
2
1t
t -
3．化简：
)
180sin()180cos()
1080cos()1440sin(︒--⋅-︒-︒-⋅+︒αααα=________．
4．若cos （π+α）=－
21
，且3π2
<α<2π，则sin （3π+α）=________． 5．求值：2sin （－1110º）－sin960º+2cos （－225º）+cos （－210º）．
【课后作业】
1．给出下列各函数值：①sin （－1000º）；②cos （－2200º）；③tan （－10）；④
7π
sin
cos π1017πtan
9
．其中符号为负的有（ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④ 2．已知cos （π+α）=－
21，3π2
<α<2π，则sin （2π－α）的值是（ ） A ．
23
B ．2
1 C ．－23 D ．±23 3．求证：
sin(3π)cos(4π)cos(π)tan(π)sin(π)
ααααα-+----- =sin(4π)cos(2π)
cos(π)sin(π)αααα---++．
4．已知角α是第三象限角，且f （α）=sin(π)cos(2π)tan(π)
tan(π)sin(π)
ααααα--+----．
（1）化简f （α）；
（2）若sin （α－π）=5
1
，求f （α）的值；
（3）若α=－2190º，求f （α）的值．
参考答案
【课前准备】 2．基础预探
（1）－sin α －cos α tan α （2）－sin α cos α －tan α （3）sin α －cos α －tan α （4）同名函数值 【知识训练】 1．D
【解析】sin210°=sin （180°+30°）=－sin30°=－2
1
； 2．A
【解析】原式=)2cos )(2sin (21---=2cos 2sin 21-=2)2cos 2(sin -=| sin2－cos2|= sin2－cos2； 3．C
【解析】由于f （2011）=a sin （2011π+α）+b cos （2011π+β）=－2012，
那么f （2011）=a sin （2012π+α）+b cos （2012π+β）=a sin[π+（2011π+α）]+b cos[π+（2011π+β）] = －a sin （2011π+α）－b cos （2011π+β）=2012； 4．－
3
3 【解析】tan690°=tan （720°－30°）=－tan30°=－
3
3； 5．【解】∵cos α=31，且－2
π
＜α＜0，∴sin α=－322，tan α=－22，
∴原式=
ααααtan cos sin tan ⋅-⋅-）（）（=α
α
αsin sin tan ⋅-=－tan α=22．
6．【解】由sin （α－π）=2cos （2π－α）， 得－sin α=2cos α，
两边同时除以cos α，得tan α=－2，
那么
sin(π)5cos(2π)3cos(π)sin()αααα-+----=ααα
αsin cos 3cos 5sin +-+=
ααtan 35tan +-+
=
2352--+-=－5
3．
【典例导析】
例1．【解】由于cos （105º－α）=cos[180 º－（75 º +α）]=－cos （75 º +α）=－
3
1
， sin （α－105 º）=－sin （105 º－α）=－sin[180 º－（75 º +α）]=－sin （75 º +α）， 由于cos （75 º +α）=
3
1
>0，α为第三象限的角，那么75 º +α为第四象限的角， 则sin （75 º +α）=－)75(cos 12α+︒-=－2
)3
1(1-=－
3
2
2， 所以cos （105 º－α）sin （α－105 º）=－
3
1×322=－922．
变式练习1：－
3
3
2+ 【解析】由于cos （
π6－α）=cos （α－π6）=33，而cos （5π6+α）= cos[π－（π6
－α）]=
－cos （
π6－α）=－33，sin 2（α－π6）=1－cos 2（α－π6）=3
2，故原式=－33－32=－332+；
例2．【解】原式=
sin(π)cos(π)sin[π(π)]cos[π(π)]k k k k αααα-++++-=sin(π)cos(π)
sin(π)[cos(π)]
k k k k αααα-+-+--
=
sin(π)cos(π)sin(π)cos(π)k k k k αααα-++-=sin[2π(π)]cos(π)
sin(π)cos[2π(π)]k k k k k k αααα-+++-+
=
sin(π)cos(π)
sin(π)cos(π)
k k k k αααα-++++=－1．
变式练习2：【解】原式=
)]
sin()[sin()cos ()
cos (sin πααπααα+-----
=
)]sin ([sin )cos (cos sin αααα
α---=αααα2sin cos cos sin -=－α
sin 1．
例3. 【解】∵A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，∴A +B +C =π，则A +B =π－C ，A +C =π－B ， 而sin （A +B －C ）=sin （A －B +C ），则有sin （π－2C ）=sin （π－2B ），∴sin2C =sin2B ， ∵2C ，2B ，2B +2C ∈（0，2π），∴2C =2B 或2C +2B =π，即B =C 或B +C =π
2
， ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 变式练习3：B
【解析】由于A +B +C =π，所以sin （A +B ）+sin C =sin （π－C ）+sin C =sin C +sin C =2sin C ； cos （A +B ）+ cos C =cos （π－C ）+cos C =－cos C +cos C =0；sin （A +B ）+cos （－C ）tan C =sin C +cos C ·
C
C
cos sin =2sin C ；cos （2A +2B ）+ cos2C =cos （2π－2C ）
+cos2C =cos2C +cos2C =2cos2C ；所以其中始终表示常数的是cos （A +B ）+cos C ； 【随堂练习】 1． A
【解析】sin585°＝sin （360°＋225°）＝sin225°＝sin （180°＋45°）＝－sin45°＝－22
； 2． C
【解析】tan （π－α）=－tan α=－α
αcos sin ，∵cos α=t ，又∵sin α=±2
1t -，∴tan （π－α）=±t t 21-；
3． －1
【解析】)180sin()180cos()1080cos()1440sin(︒--⋅-︒-︒-⋅+︒αααα=ααα
αsin cos cos sin ⋅-⋅=－1；
4．
2
3 【解析】由cos （π+α）=－cos α=－
21，则cos α=21，而3π2
<α<2π，则sin α=－23
，故
sin （3π+α）=－sin α=
2
3
； 5．【解】由于sin （－1110º）=－sin （1080 º +30 º）=－sin30 º =－
2
1
；sin960 º =sin （1080 º
－120 º）= sin （－120 º）=－sin （180 º－60 º）=－sin60 º =－
2
3
；cos （－225 º）=cos225 º =cos （180 º +45 º）=－cos45 º =－
2
2
；cos （－210º）=cos210 º =cos （180 º +30 º） =－cos30 º =－
2
3， 原式=2×（－
2
1）－（－23）+2×（－22）+（－23）=－2．
【课后作业】 1． C
【解析】sin （－1000 º）= sin80 º >0；cos （－2200 º）=cos （－40 º）=cos40 º >0；
tan （－10）= tan （3π－10）<0；
7πsin
cos π1017πtan 9=7π
sin 1017πtan 9
-，sin 7π10>0，tan 17π9<0； 2． A
【解析】根据条件得cos （π+α）=－cos α=－
12，即cos α=12，又3π
2
<α<2π，sin α<0，sin α=－2
)2
1
(1-=
sin （2π－α）=－sin α
3．证明：左边=
sin[(π)4π]cos cos(π)sin(π)sin(π)cos(π)αααααα+-+-------=sin(π)cos cos sin sin cos αα
αα
αα
++---
--
=
sin(π)cos cos sin sin cos αααααα++-
=α
αααααcos sin sin cos sin cos 22⋅--=()()ααααααααsin cos sin cos cos sin )sin (cos -+⋅-=ααααcos sin cos sin +⋅，
右边=
ααααsin cos cos sin --⋅-=α
αα
αcos sin cos sin +⋅，所以，左边=右边，故原式成立．
4．【解】（1）f （α）=
sin(π)cos(2π)tan(π)tan(π)sin(π)ααααα--+----=α
αα
ααsin tan tan cos sin -=－cos α；
（2）由于sin （α－π）=－sin α=
51，即sin α=－5
1
，
而角α是第三象限角，那么cos α=－α2
sin
1-=－
5
6
2， 所以f （α）=－cos α=
5
6
2； （3）由于α=－2190º=－12×180º－30º，
那么f （α）=－cos α=－cos （－2190º）=－cos （－30º）=－cos30º=－
2
3．。