第6讲 圆的方程(教师版)

因为 D(a,3)也在此圆上，所以 a2＋9－4a－25－5＝0. 电子版可在安老师高二玩转数学研讨群（52714787）下载，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨2
所以 a＝7 或 a＝－3(舍去)．即 a 的值为 7. 答案：7
2.（2020·河南濮阳.高一期末（理））设 A(2, 1), B(4,1) ，则以线段 AB 为直径的圆的方程是（ ）
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】方程 x2 y2 2mx m2 5m 3 0 表示圆需满足 2m2 4 m2 5m+3 0,m 3 或
m> 1 ，所以“ m 1 ”是“ x2 y2 2mx m2 5m 3 0 为圆方程”的充分不必要条件，故选：A.
解析：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，分别代入 A，B，C 三点坐标，
25＋5D＋F＝0， 得 1－D＋F＝0，
9＋9－3D＋3E＋F＝0，
D＝－4， 解得 E＝－25，
3 F＝－5.
所以 A，B，C 三点确定的圆的方程为 x2＋y2－4x－25y－5＝0. 3
所以 7m 1m 1 0 ，解得 1 m 1.故选：B．
7
考点三 点与圆的位置关系的判断
D． (, 1) (1 , ) 7
【例 3】已知点 A(1，2)不在圆 C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2 的内部，求实数 a 的取值范围．
【解】 由题意，得点 A 在圆 C 上或圆 C 的外部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，∴2a＋5≥0，∴a≥－5，又 a≠0，
2 －5，0 ∴a 的取值范围是 2 ∪(0，＋∞)． 【玩转跟踪】1.已知 a，b 是方程 x2－x－ 2＝0 的两个不等的实数根，则点 P(a，b)与圆 C：x2＋y2＝8 的位
置关系是( )
A．点 P 在圆 C 内
B．点 P 在圆 C 外
C．点 P 在圆 C 上
D．无法确定
【解析】 由题意，a＋b＝1，ab＝－ 2，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2 2<8，
（0－a）2＋（5－b）2＝r2，
a＝－3，
（1－a）2＋（－2－b）2＝r2， 解此方程组，得 b＝1，
（－3－a）2＋（－4－b）2＝r2.
r2＝25.
故所求外接圆的标 准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
1，3 法二 因为 A(0，5)，B(1，－2)，所以线段 AB 的中点的坐标为 2 2 ， 直线 AB 的斜率 kAB＝－2－5＝－7.所以线段 AB 的垂直平分线的方程是
k2＋1
x
大值为 3，最小值为－ 3.
(2)y－x 可看作是直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距．如图所示，当直线 y＝x＋b 与圆相切时，纵截距 b 取得最
大值或最小值，此时|2－0＋b|＝ 3，解得 b＝－2± 6，所以 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6. 2
(3)x2＋y2 表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与
上的动点，定点
―→ ―→ A(2,0)，B(－2,0)，则 PA · PB 的
最大值为________．
[解析] 由题意，知―P→A ＝(2－x，－y)，―P→B ＝(－2－x，－y)，所以―P→A ·―P→B ＝x2＋y2－4，由于点 P(x，y)
是圆上的点，故其坐标满足方程 x2＋(y－3)2＝1，故 x2＝－(y－3)2＋1，所以―P→A ·―P→B ＝－(y－3)2＋1＋y2－4
7，zmin＝4－ 3
7.
答案：4＋ 7 4－ 7
3
3
3．(2020·银川模拟)设点
P(x，y)是圆：(x－3)2＋y2＝4
上的动点，定点
―→ ―→ A(0,2)，B(0，－2)，则| PA ＋ PB |
的最大值为________．
―→
―→
―→ ―→
解析：由题意，知 PA ＝(－x,2－y)， PB ＝(－x，－2－y)，所以 PA ＋ PB ＝(－2x，－2y)，由于点 P(x，y)
例 6 已知直角三角形 ABC 的斜边为 AB，且 A(－1,0)，B(3,0)．
(1)求直角顶点 C 的轨迹方程；
(2)求直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程．
∴点 P 在圆 C 内，故选 A. 题型四 与圆有关的最值问题（提前讲下圆的切线）
例 4 已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0，则 (1)y的最大值和最小值分别为________和________；
x (2)y－x 的最大值和最小值分别为________和________；
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的圆的方程是（）
A． x 32 y 12 4
B． x 32 y 12 4
C． x 12 y 12 4
D． x 12 y 12 4
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【解析】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线 x y 2 0 上，排除 B、D，
1－0
y－3＝1
x－1 2
，即
x－7y＋10＝0，同理，线段
BC
的垂直平分线的方程是
2x＋y＋5＝0.
27
பைடு நூலகம்
x－7y＋10＝0，
由
得圆心的坐标为(－3，1)．又因为圆的半径长 r＝ （－3－0）2＋（1－5）2＝5，
2x＋y＋5＝0，
所以所求外接圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
求过不共线 A,B,C 三点的圆的方程常见两种方法：
1．圆的定义与方程
第 6 讲 圆的方程
[玩前必备]
－D，－E [提醒] 当 D2＋E2－4F>0 时，此方程表示的图形是圆；当 D2＋E2－4F＝0 时，此方程表示一个点 2 2 ； 当 D2＋E2－4F<0 时，它不表示任何图形． 2．点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圆心 C 的坐标为(a，b)，半径为 r，设 M 的坐标为(x0，y0)．
的最小值为________．
解析：x2＋y2－2y＝0 可化为 x2＋(y－1)2＝1，则圆 C 为以(0,1)为圆心，1 为半径的圆．如图，过圆心 C 向直
线 AB 作垂线交圆于点 P，连接 BP，AP，这时△ABP 的面积最小，直线 AB 的方程为x＋ y ＝1，即 3x－4y 4 －3
－12＝0，圆心 C 到直线 AB 的距离 d＝16，又|AB|＝
点 B 1,1 在圆上，排除 A 故选 C
（2）△ABC 的三个顶点分别为 A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求其外接圆的标准方程．
【解】 法一 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
因为 A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的方程，于是有
解析：由题意，得y＋1表示过点 A(0，－1)和圆(x－2)2＋(y－1)2＝1 上的动点 P(x，y)的直线的斜率．当且仅 x
当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程为 y＝kx－1，即 kx－y－1＝0，则|2k－2| k2＋1
＝1，解得
k＝4± 3
7，所以
zmax＝4＋ 3
A． (x 3)2 y2 2
B． (x 3)2 y2 8
C． (x 3)2 y2 2
D． (x 3)2 y2 8
【答案】A
【解析】 AB 的中点坐标为 (3, 0) ，圆的半径为 r | AB | (2 4)2 (11)2 2 ，
2
2
所以圆的方程为 (x 3)2 y 2 2 .故选：A.
圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 2，所以 x2＋y2 的最大值
是(2＋ 3)2＝7＋4 3，x2＋y2 的最小值是(2－ 3)2＝7－4 3.
[答案] (1) 3 － 3 (2)－2＋ 6 －2－ 6 (3)7＋4 3 7－4 3
例5
(2020·厦门模拟)设点
P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1
是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故 y2＝－(x－3)2＋4，所以|―P→A ＋―P→B |＝ 4x2＋4y2＝2 6x－5.
由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知 1≤x≤5，所以当 x＝5 时，|―P→A ＋―P→B |的值最大，最大值为 2 6×5－5＝
10.
答案：10
题型五 与圆有关的轨迹问题
[常用结论] A＝C≠0，
(1)二元二次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是 B＝0， D2＋E2－4AF＞0.
(2)以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
[玩转典例]
考点一 求圆的方程
【例 1】（1）（20120·河北新华.石家庄二中高一期末）过点 A 1, 1 , B 1,1 ，且圆心在直线 x y 2 0 上
32＋42＝5，所以△ABP 的面积的最小值为1×5×
16－1 5
5
2
＝11. 2
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答案：11 2
2．已知实数 x，y 满足(x－2)2＋(y－1)2＝1，则 z＝y＋1的最大值与最小值分别为________和________． x
(3)x2＋y2 的最大值和最小值分别为_______和_______．
[解析] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆．
(1)y的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y＝k，即 y＝kx.当直线 y＝kx 与
x
x
圆相切时(如图)，斜率 k 取最大值或最小值，此时|2k－0|＝ 3，解得 k＝± 3.所以y的最
一是根据所求圆为 ABC 的外接圆，即求任意两边的中垂线交点为圆心坐标，顶点到圆心距离为半径，
即可求出圆的方程．
二是待定系数法，设圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0 ，把三个点的坐标代入，求出待定系数 D,E,F，
即可求出圆的方程．
[玩转跟踪]
1．若不同的四点 A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圆，则 a 的值为________．
因此，实数 m 的取值范围是 ,5 .故选：B.
2．（2020·浙江丽水.高二期末）“ m 1 ”是“ x2 y2 2mx m2 5m 3 0 为圆方程”的（ ） 2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
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2
2
3．（2020·河北新乐市第一中学高二月考）已知方程 x2 y2 2m 3 x 2 1─4m2 y 16m4 9 0 表
示一个圆，则实数 m 的取值范围为（ ）
A． ( 1 ,1) 7
B． ( 1 ,1) 7
C． (, 1 ) (1, ) 7
【答案】B
【解析】由题意可得 4m 32 4 1 4m2 2 4 16m4 9 0 ，
考点二 圆的一般方程
【例 2】（2020·西夏.宁夏大学附属中学高一期末）方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示圆，则 a 的范
围是( )
2
A．a<－2 或 a>
3
C．－2<a<0
2
B．－ <a<2
3 2
D．－2<a<
3
【答案】D
【解析】由题意可得圆的标准方程 (x
a )2 2
(y
a)2
1
a
3 4
a2 ，由1
a
3 4
a2
0
解得 2
a
2 3
，
选 D.
【玩转跟踪】
1．（2020·全国高二）已知 m 是实常数，若方程 x2 y2 2x 4y m 0 表示的曲线是圆，则 m 的取值范
围为（ ）
A． , 20
B． ,5
C． 5,
D． 20,
【答案】B
【解析】由于方程 x2 y2 2x 4y m 0 表示的曲线为圆，则 22 42 4m 0 ，解得 m 5 .
＝6y－12.由圆的方程
x2＋(y－3)2＝1，易知
2≤y≤4，所以，当
y＝4
―→ ―→ 时， PA · PB 的值最大，最大值为
6×4
－12＝12.
[答案] 12
[玩转跟踪]
1．(2020·济宁模拟)已知两点 A(0，－3)，B(4,0)，若点 P 是圆 C：x2＋y2－2y＝0 上的动点，则△ABP 的面积