初中数学思想方法大全

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一、宏观型思想方法
数学思想是数学基础知识、基本技术的本质表现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵巧
应用数学知识、技术的灵魂。

（一）、转变 ( 化归 ) 思想
解决数学识题就是一个不停转变的过程，把问题进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生分
为熟习，变未知为已知，从而使问题得以解决。

不是对本来的问题直接解答，而是想方想法对它进行变形，直到把它转变为某个（某几个）已
经解决了的问题为止。

经过转变可使原条件中隐含的要素显现出来，从而缩短已知条件和结论
之间的距离，找出它们之间内在的联系，以便应用有关方法将问题解决。

“转变”的思想是一种最基本的数学思想。

数学解题过程的本质就是转变过程，详细的说，
就是把“新知识”转变为“旧知识”，把“未知”转变为“已知”，把“抽象”转变为“详细”，把“复杂问题”转变为“简单问题”，把“高次”转变为“低次”，在不停的相互转变中使问题得
到解决。

可运用联想类比实现转变、利用“换元”、“添线”、消元法，配方法，进行结构变形实现转
化、数形联合，实现转变。

一般转变为特别，有些代数问题，经过结构图形，化抽象为详细，借助
直观启迪思想，转变为易解的几何问题。

有些不易解决的几何题经过协助线转变为代数三角的知
识来证明，有些结构比较复杂的问题，能够简化题中某一条件，甚至临时撇开不管，先考虑一
个简化的问题，这类简化题对于证明原题常常能起到带路的作用。

把本质问题转变为数学识题。

联合解题进行化归思想方法的训练的做法：a、化繁为简； b、化高维为低维；c、化抽象为详细；
d、化非规范性问题为规范性问题；
e、化数为形；
f、化本质问题为数学识题；
g、化综合为单调；
h、化一般为特别。

有加减法的转变，乘除法的转变，乘方与开方的转变，添协助线，设协助元等等都是实现
转变的详细手段。

所以，第一要认识到常用的好多半学方法本质就是转变的方法
应用： A 将未知向已知转变； B 将陌生向熟知转变； C 方程之间的转变； D 平面图形间的转变；
E 空间图形与平面图形的转变；
F 统计图之间的相互转变。

例子：减法转变为加法（减去一个数等于加上这个数的相反数）；除法转变为乘法（除以一个不
等于零的数等于乘以这个数的倒数）；多项式的先化简再代入求值；单项式乘单项式可化归为有
理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘多项式和多项式乘多项式都能够化归为单项式乘单项
式的运算；将求负数的立方根转变为求正数的立方根的相反数；实数近似运算中据问题需要取近
似值，从而转变为有理数计算；将异分母分式的加减转变为同分母分式的加减；将分式的除法
转变为分式的乘法；将分式方程转变为整式方程求解；将分子的次数不低于分母次数的分式用带
余除法转变为整式部分和分式部分的和；将方程的复杂形式化为最简形式；经过立方程把本质问
题转变为数学识题；经过解方程把未知转变为已知；把一元二次方程转变为一元一次方程求解；
把二元二次方程组转变为二元一次方程组，再转变为一元一次方程从而求解；
经过转变为解方程实现实数范围内二次三项式的分解、方程中字母系数确实定；角度关系的证明和计算；平行线的性质和判断；把几何问题向平行线等简单的熟习的基本图形转变；特别化（特殊值法、特别地点、设项、几何中添协助线等）；图形的变换（轴对称、平移、旋转、相像变
换）；解斜三角形（多边形）时将其转变为解直角三角形；
（二）、数形联合思想
数学的研究对象是现实世界中的数目关系（“数”）和空间形式（“形”），而“数”和“形”是相
互联系、相互浸透的，必定条件下也是能够相互转变的，所以，在解决问题时，常需把同一
问题的数目关系与空间形式联合起来观察，利用数的抽象谨慎和形的直观表意，把抽象思想和形象思想联合起来，把数目关系问题经过图形性质进行研究，或许把图形性责问题经过数目关
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系进行研究，从而形成问题解决的一种重要数学思想（以数解形，以形助数）。

数是形的抽象归纳，形是数的直观表现，把数和形联合起来，从而把隐蔽的问题明亮化、抽象
的问题直观化、复杂的问题简单化，化难为易，达到快速、形象、简单易行地解决问题的目的。

数形联合思想在数学应用中特别宽泛，它比较适合办理那些数目关系与图形地点关系能够相互转变
的问题。

应用： A 利用数轴确立实数的范围； B 几何图形与代数恒等式（或不等式）；C数与形相联合在平面直角坐标系中的应用； D 利用函数图像解决方程、不等式问题； E 数与形相联合在函数中的应用； F 结构几何图形解决代数问题
比如：在数轴上表示数；用数轴描绘有理数的有关看法和运算（相反数、绝对值等看法，比较
有理数的大小，利用数轴研究有理数的加法法例、乘法法例等）；在数轴上表示不等式的解集；代
数的不等式（组）、方程和方程组，几何的几乎所有内容；函数方面（成立直角坐标系使点
与有序实数对之间成立了一一对应关系，从而具备了数形转变的重要工具；从分析式和图像两个方面来研究函数，能更清楚地掌握函数的性质；用图像解决代数问题〈如解不等式、解方程〉
和用代数解决几何问题〈如经过分析式确立抛物线的对称轴、张口方向等〉）；
运用代数、三角比知识经过数目关系的议论去办理几何图形的问题；能运用几何、三角比知识经过对图形性质的研究去解决数目关系的问题。

①数轴上的点与实数的一一对应的关系。

②平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。

③函数式与图像之间的关系。

④线段（角）的和、差、倍、分等问题，充足利用数来反应形。

⑤解三角形，
求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决几何问题。

⑥“圆”这一
章中，贺的定义，点与圆、直线与圆、圆与圆的地点关系等都是化为数目关系来办理的。

⑦统
计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表，用这些图表的反应数据的分状况，发展趋向等。

本质上就是经过“形”来反应数据扮布状况，发展趋向等。

本质上就是经过“形”来反应数的
特色，这是数形联合思想在本质中的直策应用。

（三）、分类议论思想
因为题目的拘束较弱（条件趋一般）或图形地点的变化，常常使同一问题拥有多种形态，因此
有必需观察全面（所有不一样状况），才能掌握问题的本质，此时应当进行适合分类，就每一种
情况研究议论结论的真谛性（正确性）。

是化整为零、分别对待、各个击破的思想策略在数学解题中的表现。

当被研究的问题包含多种
状况，又不可以混为一谈时，一定按出现的所有状况来分别议论，得出各样状况下相应的结论。

在详细的求解过程中，整体问题转变为部分问题后，事实上增添了题设条件。

把一个复杂的问题分红若干个相对简单的问题来办理。

分类有不一样方法，但一定按一致标准分类，且做到不重不漏，“议论务尽”。

分类议论思想是指对一个问题出现的状况进行全面剖析思虑，将其区分为不一样种类，战胜思想的片面性，防备漏解。

即依据题目的要求，将条件分为不重复、不遗漏的几种状况，并逐个列
出它们的解答。

从整体上看，中学数学分代数、几何两大类，而后采纳不一样方法进行研究，就
是分类思想的表现，从详细内容上看，初中数学中实数的分类、三角形的分类、方程的分类等等，
学生要按不一样的状况去对同一对象进行分类，掌握好分类的方法原则，形成分类的思想。

当面对的问题不宜用一种方法办理或同一种形式表达时，就把问题依照必定的原则或标准
分为若干类，而后逐类进行议论，再把这几类的结论汇总，得出问题的答案，这类解决问题的思
想方法就是分类议论的思想方法。

分类议论的思想方法的本质是把问题“分而治之，各个击破”。

其一般规则及步骤是：（1）确立同一分类标准；（ 2）适合地对全体对象进行分类，依照标准对分类做到“既不重复又不遗
漏”；（ 3）逐类议论，按必定的层次议论，逐级进行；（4）综合归纳小节，归纳得出结论。

应用： A 对问题的题设条件需分类议论； B 对求解过程中不便一致表述的问题进行分类议论；C
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从图像中获守信息进行分类议论； D 对图形的地点、种类的分类议论； E 对字母、未知数的取值范围
分不一样状况议论。

例子 : 有理数的分类；绝对值的议论；有理数的加法法例、乘法法例、有理数乘法的符号法例、
乘方的符号法例；整式分类；研究平方根、立方根时，把数按正数、 0、负数分类；按定义或按大小
对实数进行分类；
（四）、数学建模思想
数学模型指依据所研究的问题的一些属性、关系，用形式化的数学语言（看法、符号、语言等）表示的一种数学结构（如多项式、方程式、不等式、函数式以及图形等）。

数学模型方法，指先依据研究的问题成立数学模型，再经过对数学模型的研究从而达到解题目
的的方法。

此法多用于解决一些本质问题或较繁琐的数学识题。

所谓数学模型，是指用数学语言把本质问题概
本质问题数学模型括
地表述出来的一种数学结构，把本质应用题中的等量关系建立在方程组的模式，或其余模式。

就是找到一种解决问题的数学方法。

数学模型是对客观事物的空
间形式和数目关系的一种反应。

它能够是方程、函
本质问题的解数学模型的解数
或其余数学式子，也能够是一个几何基本图形。

利用数学模型解决问题的一般数学方法就是数学模型方法。

它的基本步骤以以下图所示：
数学中的建模思想是解决数学本质问题用得最多的思想方法之一，初中数学中常用的数学模型有：方程模型，函数模型，几何模型，三角模型，不等式模型和统计模型等等。

应用： A 成立几何模型（合理、正确地画出几何图形）；B 成立方程、函数模型解决本质问题；
C 在解决本质问题（如物体运动规律、销售问题、收益问题、方案设计、几何图形变化问题等）时，先抽象出一次函数或二次函数关系式的数学模型（即建模），再用函数的知识来解决这些实
际问题。

1.方程思想
在解决问题时，经过已知量和未知量的联系，成立起方程或方程组，经过解方程或方程组，求
出未知量的数值，从而使问题得以解决，这类经过立方程（组）去交流已知和未知的联系的数
学思想，就称为方程思想。

在求解数学识题时，从题中的已知量和未知量之间的数目关系下手，找出相等关系，运用数学
符号语言将相等关系转变为方程（或方程组），再经过解方程（组）使问题获取解决。

求值问题，当未知数不可以直接求出时，一般需设出未知数（x），并成立方程，用解方程的方法
去求结果，这是解题中常有的拥有导向作用的一种思想。

剖析问题中的数目关系, 找寻已知量与未知量之间的相等关系。

经过适合设元, 利用已知条件、
公式、定理中的已知结论来结构方程（组）, 从而解决问题的一种思想方式。

方程思想是把问题中的量区分为已知量和未知量，并把这些量用字母表示（习惯上用x 表示
未知量），将问题中的条件，量与量的关系列为方程或不等式，经过解方程或不等式，或利用方
程的性质，不等式的性质使问题得以解决。

比如：立方程（组）解应用题；利用鉴别式和韦达定理确立一元二次方程中待定系数（字母系
数）；二次三项式的因式分解；利用韦达定理解形如韦达定理的二元二次方程组；
2.函数思想
将所研究的问题归入某变化过程中加以观察，从中抽象出变量之间特定的函数关系，而后利用函数的性质去解决问题，从而获取本质问题的研究结果，这类研究问题的思想策略就是函数思想。

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函数思想的本质是用运动变化对应的看法去研究两个变量间的相互依靠关系。

辩证唯心主义以为，世界上全部事物都是处在运动、变化和发展的过程中，这就要求我们教学中重视函数的思想方法。

函数所揭露的是两个变量之间的对应关系，平常的讲就是一个量的变化惹起了另一个量的变化。

在数学中老是想法将这类对应关系用分析式表示出来，这样就能充足运用函数的知识、方法来解决有关的问题。

固然函数知识安排在初中后阶段学习，但函数思想已经浸透到七、八年级数学教材的各个内容之中。

比如学习进行求代数式的值的时，经过重申停题的第一步“当 ??时”的依照，浸透函数的思想方法——字母每取一个值，代数式
就有独一确立的值。

函数是将本来问题中的一些量转变为变量和常量，并把这些量用字母（习惯用 x 、y）表示，把量与量的关系抽象归纳为函数模型，用运动、变化和对应的看法，经过
对函数模型的研究利用函数的性质，使问题获取解决。

函数是数学最重要的看法之一。

它是量的侧面反应着现实世界中运动、变化及相互联系、相互限制的关系。

在初中阶段能利用分析式表示正、反比率函数、二次函数。

在平时生活中，还存在着函数关系，它们多半是用图像表示
的。

应用：求最大（小）值；解决有关方程、不等式、圆的问题；解决大批的本质问题；
（五）、抽象和归纳思想方法
从所研究的问题中排开那些与转变没关的表面要素，只抽拿出与研究有关，直接作用于转变体制的本
质属性。

解题往常不可以一步到位，因此陪伴解题的抽象活动也一定经过多步才能达成。

解题过程若是缺乏抽象归纳方法的指引，将会出现偏离解题方向的现象，从而从事无效力动，甚至因为一些非本质属性的扰乱，难以成立解题思路。

抽象：是人们在感性认识的基础上，透过现象，深入里层，抽拿失事物的本质特色、内部联系和
规律，从而达到理性认识的思想方法。

抽象的过程离不开比较、归纳、剖析、综合，要经过“去
粗取精、披沙拣金、由此及彼、由表及里”的加工制作过程，清除那些没关的或非本质的次要要
素，抽拿出研究对象的重要特色、本质要素、广泛规律与因果关系加以认识，从而为解答问题供
给某种科学依照或一般原理。

归纳：即把抽象出来的若做事物的共同属性归纳出来进行观察的思想方法。

归纳是人们追求广泛性的
认识方式，是一种由个别到一般的思想方法。

归纳是以抽象为基础，抽象度愈高，则概
括性愈强，高度的归纳对事物的理解更拥有一般性，则获取的理论或方法就有更广泛的指导性。

抽象和归纳是密不行分的。

抽象能够仅波及一个对象，而归纳则波及一类对象。

从不一样角度观察同一事物会获取不一样性质的抽象，即不一样的属性。

而归纳则一定从多个对象
的观察中找寻共同相通的性质。

数学思想重视于剖析、提练、归纳思想则重视于归纳、综合。

数学中
的每一个看法都是对一类事物的多个对象经过察看和剖析，抽象出每个对象的各样属性，再经过
归纳、归纳出各个对象的共同属性而形成的。

在解决数学识题方面，得出数学的模型、模式，总
结出解题的规律和方法，都是经过剖析、比较、抽象、归纳等思想环节，最后进行理论归纳的结
果
几何图形都是由现实事物去其物理性质，而只考虑其形状、大小、地点抽象出来的，这也是解
决现实生活中问题的一个门路。

（六）、整体思想
将问题当作一个完好的整体，把注意力和着眼点放在问题的整体结构和结构改造上，从整体上掌握问题的内容和解题的方向和策略。

整体思想侧重问题的整体结构，将题中的某些元素或组合当作一个整体，从而化繁为简，
化难为易。

把问题放到整体结构中去考虑，就能够开辟解题思路，优化解题过程。

从整体看法出发，经过研究问题的整体形式、整体结构、整体特色，从而对问题进行整体
办理的解题思想方法。

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化简： 1/ （ a+2 ）（ a+3 ）+1/ （ a+3 ）（ a+4 ） +/1 （a+4 ）（ a+5 ）时按惯例方法进行通分，明显最简公分母比较复杂，计算量较大。

若从整体察看分式的特色，可逆用分式加减法法例及规
律公式 1/n （n+1 ）=1/n-1/ （n+1 ），将原分式分别变形。

即原式 =1/ （a +2 ）-1/ （a+3） +1/ （a+3）-1/ （ a+4 ）+1/ （a+4 ）-1/ （ a+5 ）=1/ （a+2 ）
-1/ （ a+5 ）=3/ （a+2 ）（ a+5 ）
例子 : 求代数式的值；乘法公式中的字母能够表示代数式；
●系统化
系统化，就是将各样有关资料编成次序，归入必定系统之中进行研究的一种思想方法。

它是与比较、
分类、抽象、归纳、详细化等思想方法密切联系在一同的。

运用系统化方法，有助于从
整体上掌握事物的内在联系，系统、深刻地掌握知识；有助于抓住中心，认识前因后果。

比如，在学习了两角和与差的三角函数的公式，倍角、半角的三角函数公式，全能公式以及三角函数的
积化和差与和差化积公式以后，应实时指导学生把这很多公式的内在联系和推导的线索用绘
制图表的方法进行系统的整理，这将大大有助于学生理解、记忆和掌握这些公式，这是学好三角函
数公式的重点。

又如，在学习了椭圆、双曲线、抛物线的内容以后，也应指导学生把这三种圆锥曲线的几何条
件（定义）、标准方程、图形、性质制成图表，进行比较，并形成系统化的知识。

二、逻辑型思想方法
（一）、演绎推理
演绎推理是从一般原理推出个别结论的思想方法。

即一般到特别的推理方法。

其特色是：在推理
的形式符合逻辑的条件下，运用演绎法从真切的前提必定能推出真切的结论。

演绎推理是逻辑证
明的工具，整个欧几里得几何就是一个演绎推理系统，19 世纪数学家们由对欧几里得第五公设的
独立性的试证致使发现非欧几何。

三段论是演绎推理的主要形式，所谓“三段论”就
是由大前提、小前提、结论三部分构成。

比如，凡同边数的正多边形都是相像的。

这两个正多边形的边数是同样的，所以这两个正多边
形也是相像的。

这里有三个判断，第一个判断供给了一般的原理原则，叫做三段论的大前提；
第二个判断指出了一个特别场合的状况，叫做小前提；联合这两个判断，说明一般原则和特别
状况间的联系，因此得出的第三个判断，叫做结论。

公义化推理的逻辑快乐
（二）、归纳与猜想
在解决数学识题时，从特别的、简单的、局部的例子出发，经过察看类比联想从而猜想结果的
思想方法。

经过对一系列特别问题的研究，归纳出一类问题的一般性规律的思想方法。

●数学归纳法
归纳是一种有特别案例导出一般原理的思想方法。

归纳推理分完好归纳推理与不完好归纳推理两种。

不完好归纳推理只依据一类事物中的部分对象拥有的共同性质，推测该类事物全体都拥有的性质，这类推理方法，在数学推理论证中是不一样意
的。

完好归纳推理是在观察了一类事物的全
部对象后归纳得出结论来。

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着宽泛的应用。

它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或 n0) 时成立，这是递推的基础；第二步是假定在n＝k 时命题成立，再证明n＝k＋1 时命题也成立，这是无穷递推下去
的理论依照，它判断命题的正确性可否由特别推行到一般，本质上它使命题的正确性
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打破了有限，达到无穷。

这两个步骤亲密有关，缺一不行，达成了这两步，就能够判定“对任何
自然数（或n≥n0 且n∈N）结论都正确”。

由这两步能够看出，数学归纳法是由递推实现归
纳的，属于完好归纳。

运用数学归纳法证明问题时，重点是 n＝ k＋ 1 时命题成立的推证，此步证明要拥有目标意识，注
意与最后要达到的解题目标进行剖析比较，以此确立和调控解题的方向，使差别逐渐减小，最后实
现目标达成解题。

运用数学归纳法，能够证明以下问题：与自然数n 有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、
数列问题、几何问题、整除性问题等等。

（三）、比较的思想方法、
比较法是数学思想中的一个拥有奠定作用的思想方法，是使用其余思想方法的前提。

它不依照逻辑思
想的规律，可是却能获取研究发现，是确立解题方法的导火索。

使用比较法，第一要有一个比较的标准，如在几何问题中，第一一定比较若干个基本图形的
异同点，搞清其差别与联系，察看出“异中之同，同中之异” ，明确问题的特色、转变方式等标
准，才能发现转变门路，再选择适合的解题方法。

自然界固然变化多端，事物千差万别，但每一事物都不是孤立的存在着，而是在同其余事物的相互
联系中表现出自己的很多属性。

比较是一种判断性的思想活动，是确立所研究的对象的同样点和差别点的思想方法。

应用： A 看法的比较； B 从不一样图形中找寻同样进行比较； C 将问题延长，从中找寻规律进行
比较。

例子：同类项；经过角的形态的比较，形成对对顶角、邻补角、“三线八角”的鲜亮比较，在差别上
明鉴，在联系上交流；
1.类比方法
据事物与事物之间在某些方面（如特色、属性、关系）的相像之处进行比较，经过联想和展望，推出它们在其余方面也可能相像，从而去成立猜想和发现真谛的方法。

经过类比可发现新旧知识的同样点和不一样点，利用已有知识来认识新知识和加深理解新知识。

所谓
类比，就是两个对象都有某些同样的属性，并且此中一个对象还有此外的某些属性作为前提，从而判
断出另一个对象也有这些属性的思想形式。

一些数学识题的解决思路常常是相通的，类比思想能够教
会学生由此及彼，灵巧应用所学知识。

比如：归并同类项与归并同类二次格式类比；二次根式的和相
乘与多项式乘法类比；经过与分数的类比来研究分式的看法、基天性质、通分、约分、运算等；由假
分数化成带分数既而化为整数部分和分数部分的和，联想到在分子
的次数不低于分母次数的分式中能够用带余除法将分式转变为整式部分和分式部分的和；经过与等式基天性质的类比来学习不等式的基天性质；学习一元一次不等式的解法，应将其与一元一次方程的解法进行类比；
2.对照方法。