西安交大阳光中学数学高三上期末经典测试卷

一、选择题
1．已知数列{}n a 的前n 项和2
n S n =，()1n
n n b a =-则数列{}n b 的前n 项和n T 满足
（ ） A ．()1n
n T n =-⨯ B ．n T n =
C ．n T n =-
D ．,2,.n n n T n n ⎧=⎨-⎩
为偶数，
为奇数
2．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则10
5
S S 等于( )
A ．－3
B ．5
C ．33
D ．－31
3．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198 B ．199 C ．200 D ．201 4．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n +1+a n ＝3n （n ∈N *），则a 2020的值等于（ ） A ．2020
B ．3028
C ．6059
D ．3029
5．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为 A ．乙丑年
B ．丙寅年
C ．丁卯年
D ．戊辰年
6．数列{}n a 中，对于任意,m n N *
∈，恒有m n m n a a a +=+，若11
8
a =
，则7a 等于( ) A ．
7
12 B ．
7
14 C ．
74
D ．
78
7．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪
--≥⎨⎪≥⎩
则实数m 的最大值为
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．3
8．设,x y 满足约束条件0,20,240,x y x y x y -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--≤⎩
则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．12
D ．13
9．“0x >”是“1
2x x
+≥”的 A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪--≤⎩
，则2z x y =+的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．6
11．已知数列{}n a 的前n 项和2
n S n n =-，数列{}n b 满足1
sin
2
n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为n
T
，则2017T =（ ） A ．2016
B ．2017
C ．2018
D ．2019
12．在ΔABC 中，A =60°，B =75°，BC =10，则AB = A ．5√2
B ．10√2
C ．5√6
D ．10√63
13．在R 上定义运算
：A
()1B A B =-，若不等式()
x a -()1x a +<对任意
的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<<
B ．02a <<
C ．1322
a -
<< D ．31
22
a -
<< 14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )
A ．12n -
B ．1
3
()
2
n -
C ．1
2()
3
n - D ．
1
12n - 15．ABC ∆中有：①若A B >，则sin sin A>B ；②若22sin A sin B =，则ABC ∆—定为等腰三角形；③若cos acosB b A c -=，则ABC ∆—定为直角三角形.以上结论中正确的个数有（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题
16．若首项为1a ，公比为q （1q ≠）的等比数列{}n a 满足2112
3
lim()2n n a q a a →∞-=+，则1a 的取值范围是________.
17．已知数列{}n a 的前n 项和为21n
n S =-，则此数列的通项公式为___________．
18．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升； 19．已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式
1
321
t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为________ 20．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-，其中0x >，若a 与b 共线，则y
x
的最小值为__________．
21．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三角形的面积
2
223()4
S
a b c =
+-，则角C =__________． 22．若x ，y 满足约束条件1300
x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值是__________．
23．在钝角ABC 中，已知7,1AB AC ==，若ABC 的面积为6
2
，则BC 的长为______．
24．若变量,x y 满足约束条件{2
41
y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最小值为_____．
25．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，若a n +S n =2n (n ∈N ∗)，则log 2(2a 2−a 1)(2a 3−a 2)⋯(2a 100−a 99)=_____．
三、解答题
26．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且2cos 2a C c b +=. （1）求角A 的大小；
（2）若1a =，求ABC ∆面积的最大值。

27．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a 的正三角形ABC 绕其中心O 逆时针旋转θ到三角形A 1B 1C 1，且20,3
πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
.顺次连结A ，A 1，B ，B 1，C ，C 1，A ，得到六边形徽标AA 1BB 1CC 1 .
(1)当θ＝
6
π
时，求六边形徽标的面积； (2)求六边形徽标的周长的最大值.
28．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且当2n ≥时，满足21
n
n n S a S =-．
（1）求证：数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列； （2）证明：22
2
1274
n S S S ++
+<
．
29．在ABC ∆sin cos C c A =． （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若ABC S ∆，2b c +=+a 的值．
30．设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233=+n
n S .
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．A 2．C 3．A 4．D 5．C 6．D 7．B 8．C 9．C 10．A 11．A
12．D
13．C
14．B
15．C
二、填空题
16．【解析】【分析】由题意可得且即且化简可得由不等式的性质可得的取值范围【详解】解：故有且化简可得且即故答案为：【点睛】本题考查数列极限以及不等式的性质属于中档题
17．【解析】【分析】由数列的前项和为得时得出;验证时是否满足即可【详解】当时当时又所以故答案为:【点睛】本题考查了由数列的前项和公式推导通项公式的计算问题;解题时需验证时是否满足是基础题
18．【解析】试题分析：由题意可知解得所以考点：等差数列通项公式
19．【解析】【分析】由题意可得运用累加法和裂项相消求和可得再由不等式恒成立问题可得恒成立转化为最值问题可得实数的取值范围【详解】解：由题意数列中即则有则有又对于任意的不等式恒成立即对于任意的恒成立恒成立
20．【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件写出向量的坐标之间的关系之后得出利用基本不等式求得其最小值得到结果【详解】∵其中且与共线∴即∴当且仅当即时取等号∴的最小值为【点睛】该题考查的是有关向量共线
21．【解析】分析：利用面积公式和余弦定理结合可得详解：由余弦定理：可得：∴∵∴故答案为：点睛：在解三角形时有许多公式到底选用哪个公式要根据已知条件根据待求式子灵活选用象本题出现因此联想余弦定理由于要求角
22．﹣33【解析】分析：由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数得答案详解：由约束条件作出可行域如图：联立解得化目标函数为直线方程的斜截式
23．【解析】【分析】利用面积公式可求得再用余弦定理求解即可【详解】由题意得又钝角当为锐角时则即不满足钝角三角形故为钝角此时故即故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形中面积公式与余弦定理的运用属于中等题
24．8【解析】【分析】【详解】作出不等式组表示的平面区域得到如图的△ABC及其内部其中A（22）B（）C（32）设z=F（xy）=3x+y将直线l：z=3x+y进行平移当l经过点A（22）时目标函数z达
25．4950【解析】【分析】由an+Sn＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an＝2n即可计算【详解】解：∵an+Sn＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an
三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
先根据2
n S n =,求出数列{}n a 的通项公式,然后利用错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T .
【详解】
解:∵2
n S n =,∴当1n =时,111a S ==;
当2n ≥时,()2
21121n n n a S S n n n -=-=--=-, 又当1n =时,11a =符合上式,∴21n a n =-, ∴()()
()1121n
n
n n b a n =-=--,
∴()()()()
()12
3
113151121n
n T n =⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--①,
∴()()()()
()2
3
4
1
113151121n n T n +-=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--②,
①-②,得()()()()()()23412121111211n n n T n +⎡⎤=-+⨯-+-+-+⋅⋅⋅+---⨯-⎣⎦
()
()()
()()()
2
11111122112111n n n n n -+⎡⎤---⎣⎦=-+⨯
--⨯-=---,
∴()1n
n T n =-,
∴数列{}n b 的前n 项和()1n
n T n =-.
故选:A . 【点睛】
本题考查了根据数列的前n 项和求通项公式和错位相减法求数列的前n 项和,考查了计算能力,属中档题.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出10
5
S S . 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q （公比显然不为1），则
()(
)
6
163
6333111119111a q S q q q S q
a q q
---===+=---，得2q ，
因此，()(
)
10
11055
10555111111233111a q S q q q S q a q
q
---===+=+=---，故选C. 【点睛】
本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：
（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算；
（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
先根据10a >，991000a a +>，991000a a ⋅<判断出991000,0a a ><；然后再根据等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，即可求出结果．
∵991000a a ⋅<， ∴99a 和100a 异号； ∵1991000,0a a a >+>，991000,0a a ∴><， 有等差数列的性质可知，等差数列{}n a 的公差0d <， 当99,*n n N ≤∈时，0n a >；当100,*n n N ≥∈时，0n a <； 又()()11989910019819819802
2
a a a a S +⨯+⨯=
=> ，
()1199199100
19919902
a a S a
+⨯=
=<，
由等差数列的前n 项和的性质可知，使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是198. 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
作差211()()3n n n n a a a a ++++-+=，得到23n n a a +-=，即数列{a n }的奇数项，偶数项皆为公差为3的等差数列，由等差数列的通项公式即得解. 【详解】
因为a n +1+a n ＝3n ，且a 1＝1 所以2123,2a a a +== 又213(1)n n a a n +++=+
211()()3(1)33n n n n a a a a n n +++∴+-+=+-=
即23n n a a +∴-=
故数列{a n }的奇数项，偶数项皆为公差为3的等差数列， 故a 20202(10101)33029a =+-⨯= 故选：D 【点睛】
本题考查了由数列的递推公式求通项，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
5．C
解析：C 【解析】
记公元1984年为第一年，公元2047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年.
6．D
解析：D 【解析】
因为11
,8
m n m n a a a a +=+=
,所以2112,4a a == 42122a a ==,3123,8a a a =+= 7347
8
a a a =+=.选D.
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
首先画出可行域，然后结合交点坐标平移直线即可确定实数m 的最大值. 【详解】
不等式组表示的平面区域如下图所示，
由2230y x x y =⎧⎨--=⎩，得：1
2x y =-⎧⎨=-⎩，
即C 点坐标为（－1，－2），
平移直线x ＝m ，移到C 点或C 点的左边时，直线2y x =上存在点(,)x y 在平面区域内， 所以，m ≤－1， 即实数m 的最大值为－1.
【点睛】
本题主要考查线性规划及其应用，属于中等题.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
由约束条件可得可行域，将问题变成11
22
y x z =-
+在y 轴截距最大问题的求解；通过平
移直线可确定最大值取得的点，代入可得结果. 【详解】
由约束条件可得可行域如下图所示：
当2z x y =+取最大值时，11
22
y x z =-+在y 轴截距最大 平移直线12
y x =-
，可知当直线11
22y x z =-+过图中A 点时，在y 轴截距最大
由240y x
x y =⎧⎨--=⎩
得：()4,4A max 42412z ∴=+⨯=
故选：C 【点睛】
本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距最值问题的求解，属于常考题型.
9．C
解析：C 【解析】
先考虑充分性,当x>0时，11
22x x x x
+≥⋅=，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立. 再考虑必要性，当1
2x x
+
≥时，如果x>0时，22210(1)0x x x -+≥∴-≥成立，当x=1时取等.当x<0时，不等式不成立. 所以x>0. 故选C.
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，由此求得z 的最小值. 【详解】
画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，此时z 取
得最小值为()2111⨯+-=. 故选：A.
【点睛】
本小题主要考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
由2
n S n n =-得到22n a n =-，即n b =2(1)cos
2
n n π
-，利用分组求和法即可得到结果. 【详解】
由数列{}n a 的前n 项和为2
n S n n =-，
当1n =时，11110a S ==-=；
当2n 时，1n n n a S S -=-22
(1)(1)22n n n n n ⎡⎤=-----=-⎣⎦，
上式对1n =时也成立， ∴22n a n =-， ∴cos
2n n n b a π==2(1)cos 2
n n π-， ∵函数cos 2
n y π=的周期24
2
T ππ==，
∴()2017152013T b b b =++
++(26b b +)
2014b ++()()3720154820162017b b b b b b b +++
++++++
02(152013)0=-++
+++2(3+72015)0
45042016+
++=⨯=，
故选：A. 【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据三角形内角和定理可知C =45°，再由正弦定理即可求出AB . 【详解】
由内角和定理知C =180°−(60°+75°)=45°， 所以
AB sinC
=
BC
sinA
， 即AB =BCsinC sinA
=
10×sin45°sin60°
=
10√6
3
， 故选D.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，属于中档题.
13．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成
立,整理后利用判别式求出a 范围即可
【详解】
A
()1B A B =-
∴()
x a -()x a +()()()()22
=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦
()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,
221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,
()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,
1322
a ∴-<<
故选：C 【点睛】
本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键
14．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用公式1n n n a S S -=-计算得到113
23,2
n n n n S S S S ++==，得到答案. 【详解】
由已知111
2n n a S a +==，，1n n n a S S -=- 得()12n n n S S S -=-，即113
23,
2
n n n n S S S S ++==， 而111S a ==，所以1
3
()2
n n S -=.
故选B. 【点睛】
本题考查了数列前N 项和公式的求法，利用公式1n n n a S S -=-是解题的关键.
15．C
解析：C 【解析】 【分析】
①根据正弦定理可得到结果；②根据A B =或,2
A B π
+=可得到结论不正确；③可由余弦
定理推得222a b c =+，三角形为直角三角形. 【详解】
①根据大角对大边得到a>b,再由正弦定理
sin sin a b A B =知sinA sinB >，①正确；②22sin A sin B =，则A B =或,2
A B π
+=ABC ∆是直角三角形或等腰三角形；所以②错
误；③由已知及余弦定理可得222222
22a c b b c a a b c ac bc
+-+--=，化简得222a b c =+，
所以③正确. 故选C. 【点睛】
本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
二、填空题
16．【解析】【分析】由题意可得且即且化简可得由不等式的性质可得的取值范围【详解】解：故有且化简可得且即故答案为：【点睛】本题考查数列极限以及不等式的性质属于中档题
解析：33
(0,)(,3)22
【解析】 【分析】
由题意可得1q <且0q ≠，即11q -<<且0q ≠，
211232a a a =+，化简可得133
22
a q =+由不等式的性质可得1a 的取值范围. 【详解】
解：21123
lim()2n n a q a a →∞-=+ 2112
3lim 2n a a a →∞∴=+，lim 0n
n q →∞= 故有11q -<<且0q ≠，
21123
2
a a a =+ 化简可得13322
a q =
+ 103a ∴<<且132
a ≠
即133(0,)
(,3)22a ∈ 故答案为：33(0,)(,3)2
2
【点睛】
本题考查数列极限以及不等式的性质，属于中档题.
17．【解析】【分析】由数列的前项和为得时得出;验证时是否满足即可【详解】当时当时又所以故答案为:【点睛】本题考查了由数列的前项和公式推导通
项公式的计算问题;解题时需验证时是否满足是基础题
解析：1
2
n n a -=
【解析】 【分析】
由数列{}n a 的前n 项和为23n
n S =-，得2n >时1
12
3n n S --=-,，得出1n n n a S S -=-;
验证1n =时11a S =是否满足n a 即可. 【详解】
当1n =时,11211a S ==-=, 当2n ≥时,(
)1
1121212n
n n n n n a S S ---=-=---=,
又1121-=,所以12n n a .
故答案为:12n n a .
【点睛】
本题考查了由数列{}n a 的前n 项和公式n S 推导通项公式n a 的计算问题;解题时，需验证
1n =时11a S =是否满足n a ，是基础题.
18．【解析】试题分析：由题意可知解得所以考点：等差数列通项公式 解析：
6766
【解析】
试题分析：由题意可知123417891463,3214a a a a a d a a a a d +++=+=++=+=，解得
137,2266a d =
=，所以5167466a a d =+=. 考点：等差数列通项公式． 19．【解析】【分析】由题意可得运用累加法和裂项相消求和可得再由不等式恒成立问题可得恒成立转化为最值问题可得实数的取值范围【详解】解：由题意数列中即则有则有又对于任意的不等式恒成立即对于任意的恒成立恒成立 解析：(,1]-∞-
【解析】 【分析】 由题意可得
11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++，运用累加法和裂项相消求和可得11
n a
n ++，再由不等式恒成立问题可得232t a ≤-⋅恒成立，转化为最值问题可得实数t 的取值范围． 【详解】
解：由题意数列{}n a 中，1(1)1n n na n a +=++， 即1(1)1n n na n a +-+=
则有
1111
1(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++ 则有
11111111n n n
n n n a a a a a a n n n n n n ++--⎛⎫⎛⎫⎛=-+-+- ⎪ ⎪ ++--⎝
⎭⎝⎭⎝2211122n a a a a n -⎫⎛⎫
+⋯+-+ ⎪⎪
-⎝⎭⎭
(1
1111111121n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+ ⎪ ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11)12221n -+=-<+ 又对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式
1
321
t n a a n +<-⋅+恒成立， 即232t a ≤-⋅对于任意的[2,2]a ∈-恒成立，
21t a ∴⋅≤，[2,2]a ∈-恒成立，
∴2211t t ⋅≤⇒≤-， 故答案为：(,1]-∞- 【点睛】
本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是将1(1)1n n na n a +=++变形为
111
11
n n a a n n n n +-=-++． 20．【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件写出向量的坐标之间的关系之后得出利用基本不等式求得其最小值得到结果【详解】∵其中且与共线∴即∴当且仅当即时取等号∴的最小值为【点睛】该题考查的是有关向量共线
解析：【解析】 【分析】
根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出2
y x x x
=+，利用基本不等式求得其最小值，得到结果. 【详解】
∵()1,a x =， (),2b x y =-，其中0x >，且a 与b 共线 ∴()12y x x ⨯-=⋅，即2
2y x =+
∴222
y x x x x x
+==+≥，当且仅当2x x =即x =时取等号
∴
y
x
的最小值为 【点睛】
该题考查的是有关向量共线的条件，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，利用基本不等式求最值，属于简单题目.
21．【解析】分析：利用面积公式和余弦定理结合可得详解：由余弦定理：可得：∴∵∴故答案为：点睛：在解三角形时有许多公式到底选用哪个公式要根
据已知条件根据待求式子灵活选用象本题出现因此联想余弦定理由于要求角
解析：
π3. 【解析】
分析：利用面积公式in 1
2
s S ab C =和余弦定理结合可得．
详解：由)
2221
sin 2
S a b c ab C =
+-=． 余弦定理：2222cos a b c ab C +-=，
可得：
1
2cos sin 42
ab C ab C =，
∴tan C = ∵0πC <<， ∴π3
C =
． 故答案为：
π3
． 点睛：在解三角形时，有许多公式，到底选用哪个公式，要根据已知条件，根据待求式子灵活选用，象本题出现222a b c +-，因此联想余弦定理2222cos a b c ab C +-=，由于要求C 角，因此面积公式自然而然 选用in 1
2
s S ab C =
．许多问题可能比本题要更复杂，目标更隐蔽，需要我们不断探索，不断弃取才能得出正确结论，而这也要求我们首先要熟记公式．
22．﹣33【解析】分析：由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数得答案详解：由约束条件作出可行域如图：联立解得化目标函数为直线方程的斜截式
解析：[﹣3，3] 【解析】
分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案. 详解：由约束条件作出可行域如图：
联立13x y x y -=-+=，解得12
x y ==，()1,2B ，
化目标函数2z x y =-为直线方程的斜截式22
x z
y =-. 由图可知，当直线22
x z
y =
-过()1,2B ，直线在y 轴上的截距最大，z 最小，最小值为1223-⨯=-；
当直线22
x z
y =
-过()3,0A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 最大，最大值为3203-⨯=. ∴2z x y =-的取值范围为[﹣3，3].
故答案为：[﹣3，3].
点睛：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
23．【解析】【分析】利用面积公式可求得再用余弦定理求解即可【详解】由题意得又钝角当为锐角时则即不满足钝角三角形故为钝角此时故即故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形中面积公式与余弦定理的运用属于中等题 10
【解析】 【分析】
利用面积公式可求得A ,再用余弦定理求解BC 即可. 【详解】 由题意得,
616
71sin sin 227
A A =⨯⇒=
又钝角ABC ,当A 为锐角时,2
61cos 177A ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭
则2
1712777BC =+-=,即7BC =
.
故A为钝角.此时
2
61
cos1
77
A
⎛⎫
=--=-
⎪
⎪
⎝⎭
.故2
1
712710
7
BC=++⨯=.
即10
BC=
故答案为：10
【点睛】
本题主要考查了解三角形中面积公式与余弦定理的运用,属于中等题型.
24．8【解析】【分析】【详解】作出不等式组表示的平面区域得到如图的△ABC及其内部其中A（22）B（）C（32）设z=F（xy）=3x+y将直线l：z=3x+y进行平移当l经过点A（22）时目标函数z达
解析：8
【解析】
【分析】
【详解】
作出不等式组
表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，2），B（53
,
22
）,C（3，2）
设z=F（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移，
当l经过点A（2，2）时，目标函数z达到最小值
∴z最小值=F（2，2）=8
故选：C
25．4950【解析】【分析】由an+Sn＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an＝2n即可计算【详解】解：∵an+Sn＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an
解析：4950
【解析】
【分析】
由a n+S n＝2n，a n+1+S n+1＝2n+1，两式相减可得2a n+1﹣a n＝2n．即可计算．
【详解】
解：∵a n+S n＝2n，a n+1+S n+1＝2n+1，
两式相减可得2a n+1﹣a n＝2n．
则（2a 2﹣a 1）（2a 3﹣a 2）…（2a 100﹣a 99）＝21•22•23…299＝299(99+1)
2
=2
4950
．
log 2(2a 2−a 1)(2a 3−a 2)⋯(2a 100−a 99)=4950
【点睛】
本题考查了数列的递推式，属于中档题．
三、解答题 26．
（1）
3π；（2【解析】 【分析】
(1)根据2cos 2a C c b +=,利用正弦定理将边化为角,进一步求出角A ; (2)根据条件由余弦定理,可得2
2
2
2
12cos 3
a b c bc π
==+-,再结合222b c bc +≥,求出bc 的
范围,进一步求出ABC ∆面积的最大值. 【详解】
解:(1)∵2cos 2a C c b +=,∴2sin cos sin 2sin A C C B +=,
又∵A B C π++=,∴()2sin cos sin 2sin cos cos sin A C C A C A C +=+, ∴sin 2cos sin C A C =,∴()sin 2cos 10C A -=, ∵sin 0C ≠,∴1
cos 2
A =, 又()0,A π∈,∴3
A π
=
(2)由(1)知,3
A π
=
,
∵1a =,∴由余弦定理,有2
2
2
2
12cos 3
a b c bc π
==+-,∴221bc b c +=+.
∵222b c bc +≥, ∴12bc bc +≥, ∴1bc ≤,当且仅当1b c ==时等号成立,
∴()
max
11sin 1sin 2323ABC S bc ππ∆==⨯⨯=
,
∴三角形ABC 【点睛】
本题考查了正弦定理,余弦定理,面积公式和均值不等式,考查了转化思想和计算能力,属中档题.
27．
(1)
234
a ；(2) 【解析】
【分析】 （1）连接OB ,则1
23AOB πθ∠=-,由等边三角形ABC 的边长为a ,可得
OA OB ==,再利用三角形面积公式求解即可； （2）根据三角形的对称性可得
12sin sin 232AA OA a θ
θ==,112sin sin 3232222A B OB πθθθ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则周长为关于θ的函数,进而求得最值即可
【详解】
（1）等边三角形ABC 的边长为a ,
OA OB ∴==, 连接OB ,123
AOB πθ∴∠=-,
22123sin sin sin 2326S OA ππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=⨯+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦, ∴当6π
θ=时,六边形徽标的面积为234
S a =
（2）在1AOA 中,12sin sin 232
AA OA a θ
θ==,
在1BOA 中,112sin cos sin 3232222A B OB a πθθθ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
设周长为f
,则()()113sin 23f AA A B θπθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,20,3θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,
当且仅当232θ
π
π
+=,即3π
θ=时,()max f θ=
【点睛】
本题考查三角形面积的应用,考查正弦型函数的最值问题,考查三角函数在几何中的应用,考查数形结合思想
28．
(1)证明见解析；(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）当n ≥2时，S n ﹣S n ﹣121
n n S S =-⇒S n ﹣S n ﹣1＝S n •S n ﹣1（n ≥2），取倒数，可得111n n S S --=1，利用等差数列的定义即可证得：数列{1n
S }是等差数列； （2）利用222111111211n S n n n n ⎛⎫=
<=- ⎪--+⎝⎭
进行放缩并裂项求和即可证明 【详解】
（1）当2n ≥时，211n n n n S S S S --=-， 11n n n n S S S S ---=，即
1111n n S S --= 从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
构成以1为首项，1为公差的等差数列． （2）由（1）可知，
()11111n n n S S =+-⨯=，1n S n ∴=． 则当2n ≥时222111111211n S n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭
． 故当2n ≥时22212111111111123224211n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 1111137111221224
n n ⎛⎫=++--<+⋅= ⎪+⎝⎭ 又当1n =时，21714S =<满足题意，故2221274n S S S +++<． 法二：则当2n ≥时22211111n S n n n n n =
<=---， 那么222121111111717142334144n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+
+-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ 又当1n =时，21714S =<，当时，21714
S =<满足题意， 【点睛】
本题考查数列递推式的应用，考查等差数列的判定，考查等价转化思想，突出裂项法、放缩法应用的考查，属于难题．
29．
(1) 6
A π
=;(2) 2a =.
【解析】 试题分析：（1sin sin cos A C C A ⋅=⋅．消去公因式得到所以
tan 3
A =．
进而得到角A ；（2）结合三角形的面积公式，和余弦定理得到2b c +=+式得到2a =．
解析：
（I sin cos C c A =，所以cos 0A ≠， 由正弦定理sin sin sin a b c A B C
==，
sin sin cos A C C A ⋅=⋅．
又因为 ()0,C π∈，sin 0C ≠，
所以 tan 3
A =． 又因为 ()0,A π∈，
所以 6A π
=．
（II ）由11sin 24
ABC S bc A bc ∆===bc =， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得2222cos
6a b c bc π=+-，
即()()222212a b c bc b c =+-=+-，
因为2b c +=+
解得 24a =.
因为 0a >，
所以 2a =.
30．
（Ⅰ）13,1,{3,1,n n n a n -==>; （Ⅱ）13631243n n
n T +=-⨯. 【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求解；
（Ⅱ）结合第（Ⅰ）问的结果，利用关系式3log n n n a b a =求出数列{}n b 的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n 项和n T .
【详解】
（Ⅰ）因为233=+n n S ，所以，1233a =+，故13,a =
当1n >时，11233,n n S --=+此时，1122233,n n n n n a S S --=-=-即13,n n a -=
所以，13,1,{3,1,
n n n a n -==> （Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以113b =
， 当1n >时，()11133
log 313n n n n b n ---==-⋅ 所以1113
T b ==
， 当1n >时， ()()
12112311323133n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-， 所以()01231132313n n T n --⎡⎤=+⨯+⨯++-⎣⎦，两式相减，得
()()01212233+3133n n n T n ---=+++--⋅()111
21313313n
n n ----=+--⋅-1363623n n +=-⨯ 所以13631243
n n n T +=
-⨯， 经检验，1n =时也适合， 综上可得：13631243n n n T +=
-⨯. 【点睛】
本题考查数列前n 项和n S 与通项n a 的关系，特殊数列的求和问题，关键在于运用错位相减法进行数列求和，注意考虑1n =的情况，属于中档题.。