龙城区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

龙城区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A 、()f x =x 与()f x =2x x
B 、()1f x x =- 与()f x =
C 、()f x x =与
()f x = D 、()f x x =与2()f x =
2． 偶函数f （x ）的定义域为R ，若f （x+2）为奇函数，且f （1）=1，则f （89）+f （90）为（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．1 3． 在数列{}n a 中，115a =，*1332()n n a a n N +=-∈，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是 （ ）
A ．21a 和22a
B ．22a 和23a
C ．23a 和24a
D ．24a 和25a
4． 已知，则f{f[f （﹣2）]}的值为（ ） A ．0
B ．2
C ．4
D ．8
5． 已知，
，那么夹角的余弦值（ ）
A ．
B ．
C ．﹣2
D ．﹣
6． 如图，四面体OABC 的三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D 为四面体OABC 外一点．给出下列命题．
①不存在点D ，使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等
④存在无数个点D ，使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③
D ．③④
7． 已知不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x 表示的平面区域为D ，若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则a 的取值
范围为（ ）
A ．(,2)-∞
B ．(,1)-∞
C ．(2,)+∞
D ．(1,)+∞ 8． 在△ABC 中，AB 边上的中线CO=2，若动点P
满足=（sin 2θ）
+（cos 2θ）
（θ∈R
），则（
+
）
•
的最小值是（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．﹣2
D ．0
9． 设0＜a ＜b 且a+b=1，则下列四数中最大的是（ ） A ．a 2+b 2 B ．2ab C ．a
D
．
10．若函数21,1,()ln ,1,
x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩
则函数1
()32y f x x =-+的零点个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 11．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题： （1）α∥β⇒l ⊥m ，（2）α⊥β⇒l ∥m ， （3）l ∥m ⇒α⊥β，（4）l ⊥m ⇒α∥β， 其中正确命题是（ ）
A ．（1）与（2）
B ．（1）与（3）
C ．（2）与（4）
D ．（3）与（4）
12．如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B 点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f （x ），则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）
二、填空题
13．如图是一个正方体的展开图，在原正方体中直线AB与CD的位置关系是．
14．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是．
15．用描述法表示图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合为．
16．如图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由块木块堆成．
17．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ．
18．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】函数()2
1ln 2
f x x x =
-的单调递减区间为__________. 三、解答题
19．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，
[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数．
1111]
20．已知函数f （x ）=•，其中=（2cosx ， sin2x ），=（cosx ，1），x ∈R ．
（1）求函数y=f （x ）的单调递增区间；
（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f （A ）=2，a=，且sinB=2sinC ，求△ABC 的面
积．
21．已知直线l 1：（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 1：
ρ2﹣2
ρcos θ﹣4ρsin θ+6=0．
（1）求圆C 1的直角坐标方程，直线l 1的极坐标方程； （2）设l 1与C 1的交点为M ，N ，求△C 1MN 的面积．
22．（本小题满分12分）已知过抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点，
斜率为11A x y （，） 和22B x y （，）（12x x ＜）两点，且9
2
AB =． （I ）求该抛物线C 的方程；
（II ）如图所示，设O 为坐标原点，取C 上不同于O 的点S ，以OS 为直径作圆与C 相交另外一点R ， 求该圆面积的最小值时点S 的坐标．
23．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，，E，F分别是A1C1，AB的中点．
（I）求证：平面BCE⊥平面A1ABB1；
（II）求证：EF∥平面B1BCC1；
（III）求四棱锥B﹣A1ACC1的体积．
24．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，f（1）=1，且若∀a、b∈[﹣1，1]，a+b≠0，恒有＞
0，
（1）证明：函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数；
（2）解不等式；
（3）若对∀x∈[﹣1，1]及∀a∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤m2﹣2am+1恒成立，求实数m的取值范围．
龙城区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】
试题分析：如果两个函数为同一函数，必须满足以下两点：①定义域相同，②对应法则相同。

选项A中两个函数定义域不同，选项B中两个函数对应法则不同，选项D中两个函数定义域不同。

故选C。

考点：同一函数的判定。

2．【答案】D
【解析】解：∵f（x+2）为奇函数，
∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2），
∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2）=f（x﹣2），
即﹣f（x+4）=f（x），
则f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=﹣f（x+4）=f（x），
即函数f（x）是周期为8的周期函数，
则f（89）=f（88+1）=f（1）=1，
f（90）=f（88+2）=f（2），
由﹣f（x+4）=f（x），
得当x=﹣2时，﹣f（2）=f（﹣2）=f（2），
则f（2）=0，
故f（89）+f（90）=0+1=1，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．
3．【答案】C
【解析】
考点：等差数列的通项公式．
4．【答案】C
【解析】解：∵﹣2＜0 ∴f （﹣2）=0
∴f （f （﹣2））=f （0） ∵0=0
∴f （0）=2即f （f （﹣2））=f （0）=2 ∵2＞0
∴f （2）=22
=4
即f{f[（﹣2）]}=f （f （0））=f （2）=4 故选C ．
5． 【答案】A
【解析】解：∵，
，
∴
=
，||=，
=﹣1×1+3×（﹣1）=﹣4，
∴cos ＜＞=
=
=﹣
，
故选：A ．
【点评】本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．
6． 【答案】D
【解析】
【分析】对于①可构造四棱锥CABD 与四面体OABC 一样进行判定；对于②，使AB=AD=BD ，此时存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥；对于③取CD=AB ，AD=BD ，此时CD 垂直面ABD ，即存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等，对于④先找到四面体OABC 的内接球的球心P ，使半径为r ，只需PD=r ，可判定④的真假．
【解答】解：∵四面体OABC 的三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，OA=OB=2，OC=3， ∴AC=BC=，AB=
当四棱锥CABD 与四面体OABC 一样时，即取CD=3，AD=BD=2 此时点D ，使四面体ABCD 有三个面是直角三角形，故①不正确
使AB=AD=BD ，此时存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥，故②不正确；
取CD=AB ，AD=BD ，此时CD 垂直面ABD ，即存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等，故③正确； 先找到四面体OABC 的内接球的球心P ，使半径为r ，只需PD=r 即可 ∴存在无数个点D ，使点O 在四面体ABCD 的外接球面上，故④正确 故选D
7． 【答案】A
【解析】解析：本题考查线性规划中最值的求法．平面区域D 如图所示，先求z ax y =+的最小值，当12
a ≤时，12a -≥-
，z ax y =+在点1,0A （）
取得最小值a ；当12a >时，12a -<-，z ax y =+在点11
,33
B （）取
得最小值1133a +．若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则有z ax y =+的最小值小于1，∴121a a ⎧
≤
⎪⎨⎪<⎩或
12
111
a a ⎧>⎪⎪⎨
⎪+<⎪，∴2a <，选A ． 8． 【答案】 C 【解析】解：∵ =（sin 2θ）+（cos 2θ）（θ∈R ），
且sin 2θ+cos 2
θ=1，
∴=（1﹣cos 2θ）+（cos 2θ）=
+cos 2θ•（
﹣
），
即﹣
=cos 2θ•（
﹣
），
可得
=cos 2θ•
，
又∵cos 2
θ∈[0，1]，∴P 在线段OC 上，
由于AB 边上的中线CO=2， 因此（+）•=2•，设|
|=t ，t ∈[0，2]，
可得（+
）•
=﹣2t （2﹣t ）=2t 2﹣4t=2（t ﹣1）2﹣2，
∴当t=1时，（
+
）•
的最小值等于﹣2．
故选C ．
【点评】本题着重考查了向量的数量积公式及其运算性质、三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式和二次函数的性质等知识，属于中档题．
9． 【答案】A
【解析】解：∵0＜a ＜b 且a+b=1 ∴
∴2b ＞1
∴2ab ﹣a=a （2b ﹣1）＞0，即2ab ＞a
又a 2+b 2﹣2ab=（a ﹣b ）2
＞0 ∴a 2+b 2
＞2ab
∴最大的一个数为a 2+b 2
故选A
10．【答案】D 【
解
析
】
考点：函数的零点．
【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令0)(=x f ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在],[b a 上是连续的曲线，且0)()(<b f a f .还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
11．【答案】B
【解析】解：∵直线l ⊥平面α，α∥β，∴l ⊥平面β，又∵直线m ⊂平面β，∴l ⊥m ，故（1）正确； ∵直线l ⊥平面α，α⊥β，∴l ∥平面β，或l ⊂平面β，又∵直线m ⊂平面β，∴l 与m 可能平行也可能相交，还可以异面，故（2）错误；
∵直线l ⊥平面α，l ∥m ，∴m ⊥α，∵直线m ⊂平面β，∴α⊥β，故（3）正确；
∵直线l ⊥平面α，l ⊥m ，∴m ∥α或m ⊂α，又∵直线m ⊂平面β，则α与β可能平行也可能相交，故（4）错误； 故选B ．
【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定及性质定理，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键．
12．【答案】
【解析】选B.取AP的中点M，
则P A＝2AM＝2OA sin∠AOM
＝2sin x
2
，
PB＝2OM＝2OA·cos∠AOM＝2cos x
2，
∴y＝f（x）＝P A＋PB＝2sin x
2＋2cos x
2
＝22sin（x
2
＋
π
4
），x∈[0，π]，根据解析式可知，只有B选项符合要求，
故选B.
二、填空题
13．【答案】异面．
【解析】解：把展开图还原原正方体如图，
在原正方体中直线AB与CD的位置关系是异面．
故答案为：异面．
14．【答案】x﹣y﹣2=0．
【解析】解：直线AB的斜率k AB=﹣1，所以线段AB的中垂线得斜率k=1，又线段AB的中点为（3，1），
所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0，
故答案为x﹣y﹣2=0．
【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．
15．【答案】{（x，y）|xy＞0，且﹣1≤x≤2，﹣≤y≤1}．
【解析】解：图中的阴影部分的点设为（x，y）则
{x，y）|﹣1≤x≤0，﹣≤y≤0或0≤x≤2，0≤y≤1}
={（x，y）|xy＞0且﹣1≤x≤2，﹣≤y≤1}
故答案为：{（x，y）|xy＞0，且﹣1≤x≤2，﹣≤y≤1}．
16．【答案】4
【解析】解：由三视图可以看出此几何体由两排两列，前排有一个方块，后排左面一列有两个木块右面一列有一个，
故后排有三个，故此几何体共有4个木块组成．
故答案为：4．
17．【答案】．
【解析】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，
8个三棱锥的体积为：=．
剩下的凸多面体的体积是1﹣=．
故答案为：．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．
0,1
18．【答案】()
【解析】
三、解答题
19．【答案】（１）0.0075x =；（２）众数是230，中位数为224． 【解析】
试题分析：（１）利用频率之和为一可求得的值；（２）众数为最高小矩形底边中点的横坐标；中位数左边和右边的直方图的面积相等可求得中位数．1
试题解析：（1）由直方图的性质可得(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++⨯=， ∴0.0075x =．
考点：频率分布直方图；中位数；众数． 20．【答案】
【解析】解：（1）f （x ）=•=2cos 2
x+
sin2x=sin2x+cos2x+1=2sin （2x+）+1，
令﹣+2k π≤2x+≤+2k π，
解得﹣
+k π≤x ≤
+k π，
函数y=f （x ）的单调递增区间是[﹣+k π，
+k π]，
（Ⅱ）∵f （A ）=2
∴2sin （2A+
）+1=2，即sin （2A+
）= …．
又∵0＜A ＜π，∴A=．…
∵a=
，
由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2
﹣3bc=7 ①…
∵sinB=2sinC ∴b=2c ②…
由①②得c 2
=．…
∴S △ABC=．…
21．【答案】
【解析】解：（1）∵，将其代入C 1得：
，
∴圆C 1的直角坐标方程为：． 由直线l 1：
（t 为参数），消去参数可得：y=
x ，可得
（ρ∈R ）．
∴直线l 1的极坐标方程为：（ρ∈R ）．
（2），可得
⇒，
∴
．
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查抛物线标准方程、抛物线定义、直线和抛物线位置关系等基础知识，意在考查转化与化归和综合分析问题、解决问题的能力．
因
为12y y ≠，20y ≠，化简得12216y y y ⎛⎫=-+
⎪⎝⎭
，所以221222256323264y y y =++≥=， 当且仅当2
222
256y y =
即2
2y ＝16，24y =?时等号成立. 圆的直径OS
=
因为21y ≥64，所以当21y ＝64即1y =±8
时，min OS =S 的坐标为
168±（，）． 23．【答案】
【解析】（I ）证明：在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，
所以，BB 1⊥BC ．
又因为AB ⊥BC 且AB ∩BB 1=B ， 所以，BC ⊥平面A 1ABB 1． 因为BC ⊂平面BCE ，
所以，平面BCE ⊥平面A 1ABB 1． （II ）证明：取BC 的中点D ，连接C 1D ，FD ．
因为E ，F 分别是A 1C 1，AB 的中点， 所以，FD ∥AC
且
．
因为AC ∥A 1C 1且AC=A 1C 1， 所以，FD ∥EC 1且 FD=EC 1． 所以，四边形FDC 1E 是平行四边形． 所以，EF ∥C 1D ．
又因为C 1D ⊂平面B 1BCC 1，EF ⊄平面B 1BCC 1， 所以，EF ∥平面B 1BCC 1．
（III）解：因为，AB⊥BC
所以，．
过点B作BG⊥AC于点G，则．
因为，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1⊂平面A1ACC1
所以，平面A1ACC1⊥底面ABC．
所以，BG⊥平面A1ACC1．
所以，四棱锥B﹣A1ACC1的体积．
【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，线面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．24．【答案】
【解析】解：（1）证明：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）
∵＞0，
即＞0，
∵x1﹣x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0．
则f（x）是[﹣1，1]上的增函数；
（2）由于f（x）是[﹣1，1]上的增函数，
不等式即为
﹣1≤x+＜≤1，
解得﹣≤x＜﹣1，
即解集为[﹣，﹣1）；
（3）要使f（x）≤m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，只须f（x）max≤m2﹣2am+1，即1≤m2﹣2am+1对任意的a∈[﹣1，1]恒成立，亦即m2﹣2am≥0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=﹣2ma+m2，
只须，
解得m≤﹣2或m≥2或m=0，即为所求．。