基本极限公式推导

基本极限公式推导
要推导基本极限公式，我们需要先了解一些基本的数学概念和性质。

在这之后，我们将通过数学归纳法推导出基本极限公式。

首先，我们需要了解极限的定义。

设有数列{an}，如果对于任意给定
的正实数ε，存在正整数N，当n>N时，有，an-A，<ε，其中A为常数，那么我们说数列{an}的极限为A，记作lim(n->∞)an=A。

这意味着数列中
的元素在无穷大的情况下趋近于常数A。

其次，我们需要了解些基本的极限性质：
1. 常数项：lim(n->∞)c=c，其中c为常数；
2. 加法性：lim(n->∞)(a+b)=lim(n->∞)a+lim(n->∞)b，其中a和
b是两个数列；
3. 数乘性：lim(n->∞)ca=c*lim(n->∞)a，其中c为常数；
4. 乘法性：lim(n->∞)(ab)=lim(n->∞)a*lim(n->∞)b，其中a和
b是两个数列；
5. 除法性：lim(n->∞)(a/b)=lim(n->∞)a/lim(n->∞)b，其中a和
b是两个数列，且lim(n->∞)b≠0。

现在，我们开始推导基本极限公式。

1. 极限公式1：lim(n->∞)(an+bn)=lim(n->∞)an+lim(n->∞)bn。

证明：对于任意给定的正实数ε，由于lim(n->∞)an=A，lim(n-
>∞)bn=B，根据加法性质，我们有：
(an+bn)-(A+B)，=，an-A+bn-B，≤，an-A，+，bn-B，<ε/2+ε/2=
因此，lim(n->∞)(an+bn)=A+B。

2. 极限公式2：lim(n->∞)(an-bn)=lim(n->∞)an-lim(n->∞)bn。

证明：使用与上述证明类似的方法，我们可以得到：
(an-bn)-(A-B)，=，(an-A)-(bn-B)，≤，an-A，+，bn-B，
<ε/2+ε/2=
因此，lim(n->∞)(an-bn)=A-B。

3. 极限公式3：lim(n->∞)c*an=c*lim(n->∞)an。

证明：对于任意给定的正实数ε，由于lim(n->∞)an=A，根据数乘
性质，我们有：
c*an-c*A，=，c*(an-A)，=，c，*，an-A，<，c，*
接下来，我们选择N使得当n>N时，有，an-A，<ε/，c，那么对于
这个N，我们有：
当n>N时，c*an-c*A，=，c，*，an-A，<，c，*(ε/，c，)=ε
因此，lim(n->∞)c*an=c*A。

4. 极限公式4：lim(n->∞)(an*bn)=lim(n->∞)an*lim(n->∞)bn。

证明：对于任意给定的正实数ε，由于lim(n->∞)an=A，lim(n-
>∞)bn=B，根据乘法性质，我们有：
(an*bn)-A*B，=，(an-A)*bn+A*(bn-B)，≤，an-A，*，bn，+，A，*，bn-
<ε/2*，bn，+ε/2*，an
由于数列{bn}收敛到B，即存在正整数M，当n>M时，有，bn-B，
<ε/(2*，A，)，那么对于这个N=max{N1, M}，我们有：
当n>N时，(an*bn)-A*B，<ε/2*，bn，+ε/2*，an，<ε/2*ε/(2*，A，)+ε/2*ε/(2*，B，)=ε
因此，lim(n->∞)(an*bn)=A*B。

5. 极限公式5：lim(n->∞)(an/bn)=lim(n->∞)an/lim(n->∞)bn。

证明：对于任意给定的正实数ε，由于lim(n->∞)an=A，lim(n-
>∞)bn=B，根据除法性质
(an/bn)-(A/B)，=，(an*B-A*bn)/(bn*B)，≤(，an，*，B-A，+，A，*，bn，)/(B*，b
<(，A，+2*，B，)/(，B，*，bn，)
由于数列{bn}收敛到B，即存在正整数M，当n>M时，有，bn-B，
<B/2，那么对于这个N，我们有：
当n>N时，bn，>B/2
根据以上条件，我们选择N使得当n>N时，有(，A，+2*，B，)/(，B，*，bn，)<ε/2，同时选择N1使得当n>N1时，有，an-A，<ε/2*，B，那
么对于这个N=max{N1, N2}，我们有：
当n>N时，(an/bn)-(A/B)，<(，A，+2*，B，)/(，B，*，
bn，)<ε/2*ε/2=ε
因此，lim(n->∞)(an/bn)=A/B。

通过以上步骤，我们已经成功推导出基本极限公式。

这些公式对于解决许多数学问题和应用非常重要，可以用于求解极限、导数、积分等。