武汉市南湖中学九年级数学下册第一单元《反比例函数》测试(含答案解析)

一、选择题
1．反比例函数(0)k
y k x
=≠图象在二、四象限，则二次函数22y kx x =-的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．在同一坐标系中，y kx k =-与()0k
y k x
=
≠的图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
3．如图，ABO 中，∠ABO ＝45°，顶点A 在反比例函数y ＝3
x
（x ＞0）的图象上，则OB 2﹣OA 2的值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
4．已知：点A(1,y 1)、B （2，y 2）、C(－3，y 3)都在反比例函数k
y x
=图象上(k>0),则y 1、y 2、y 3的关系是（ ） A ．y 3<y 1<y 2
B ．y 1<y 2<y 3
C ．y 2<y 1<y 3
D ．y 3<y 2<y 1
5．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA ⊥x 轴，点C 在函数y=k
x
（x ＞0）的图象上，若AB=2，则k 的值为（ ）
A ．4
B ．22
C ．2
D ．2
6．如图，反比例函数k
y x
=
的图像经过平行四边形ABCD 的顶点C ，D ，若点A 、点B 、点C 的坐标分别为()3,0，()0,4，(),a b ，且7.5a b +=，则k 的值是（ ）
A ．7.5
B ．9
C ．10
D ．12
7．已知一个正比例函数与一个反比例函数的图像交于（－3，4），则这两个函数的表达式
分别是（ ） A ．412,3y x y x =
= B ．412
,3y x y x
=-=- C ．412,3y x y x
=-
= D ．412,3y x y x
=
=- 8．若反比例函数()2
2
21m y m x -=-的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ）
A ．-1或1
B ．小于
1
2
的任意实数 C ．-1
D ．不能确
定
9．下列函数中图象不经过第三象限的是（ ） A ．y ＝﹣3x ﹣2 B ．y ＝
2x
C ．y ＝﹣2x +1
D ．y ＝3x +2
10．如图，函数k
y x
=-与1y kx =+（0k ≠）在同一平面直角坐标系中的图像大致（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．如图，点A 是反比例函数y ＝
k
x
（x ＜0）的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使点B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上．已知平行四边形ABCD 的面积为8，则k 的值为（ ）
A ．8
B ．﹣8
C ．4
D ．﹣4
12．已知1(3A -，1)y 、1
(2
B -，2)y 、3(1,)
C y 是一次函数3y x b =-+的图象上三点，则
1y ，2y ，3y 的大小关系是( )
A ．123y y y <<
B ．213y y y <<
C ．312y y y <<
D ．321y y y <<
二、填空题
13．如图，菱形ABCD 的边AD 与x 轴平行，A 、B 两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y ＝
3
x
的图象经过A 、B 两点，则菱形ABCD 的面积是_____；
14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数(0)k
y x x
=>经过矩形ABOC 的对角线OA 的
中点M ，己知矩形ABOC 的面积为24，则k 的值为___________
15．如图，一次函数y 1=ax+b 与反比例函数2k
y x
=的图像交于A(1，4)、B(4，1)两点，若使y 1＞y 2，则x 的取值范围是___________．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的面积为20，点B 在y 轴上，点C 在反比函数k
y x
=
的图像上，则k 的值为________．
17．已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例、y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4，当x ＝2时，y ＝5，则当x ＝4时，y 的值是_______．
18．如图，点()11,P x y ，点()22,P x y ，…点(),n n P x y 在函数()9
0y x x
=
>的图象上， 112123231,,n n n POA P A A P A A P A A -⋅⋅⋅都是等腰直角三角形，斜边112231,,,n n OA A A A A A A -⋅⋅⋅都在x 轴上(n 是大于或等于2的正数数)，则12n y y y ++⋅⋅⋅+=__________．（用含n 的式子表示）
19．如图，直线y ＝ax 经过点A （4，2），点B 在双曲线y ＝k
x
（x ＞0）的图象上，连结OB 、AB ，若∠ABO ＝90°，BA ＝BO ，则k 的值为_____．
20．如图，平面直角坐标系中，等腰Rt ABC ∆的顶点.A B 分别在x 轴、y 轴的正半轴,
90,ABC =∠CA x ⊥轴, 点C 在函数()0k y x x
=>的图象上.若2,AB =则k 的值为
_____．
三、解答题
21．如图，一次函数y kx b =+的图象交反比例函数()0a
y x x
=
>的图象于()()2,4,,1A B m --两点，交x 轴于点C ．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式． （2）求ABO ∆的面积．
（3）根据图象回答：当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
22．已知反比例函数k
y x
=
的图象与正比例函数2y x =的图象交于点()2,m ，求这个反比例函数的表达式，并在同一平面直角坐标系内，画出这两个函数的图象．
23．某种气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的压强P/（kPa ）是气球体积V/（m 3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式；
（2）当气球内气体的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球体积应该不小于多少立方米？
24．已知A （-2n ，n ）、B （n ，-4）两点是一次函数y kx b =+和反比例函数m
y x
=图像的两个交点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB 的面积；
（3）观察图像，写出不等式0m
kx b x
+-
>的解集．
25．阅读理解：
材料一：若三个非零实数x ，y ，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x ，y ，z 构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0)的两根分别为1x ，2x ，则有
12b
x x a +=-
，12c x x a
⋅=． 问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若1x ，2x 是关于x 的方程ax 2+bx +c = 0 (a ，b ，c 均不为0)的两根，3x 是关于x 的方程bx +c =0(b ，c 均不为0)的解．求证：x 1，x 2，x 3可以构成“和谐三数组”； （3）若A (m ，y 1) ，B (m + 1，y 2) ，C (m +3，y 3)三个点均在反比例函数4
y x
=的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m 的值． 26．为了探索函数1
(0)y x x x
=+>的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法． 列表：
x
14 13 12
1 2
3
4 5
y
174 103
52
2
52
103
174
265
x y 为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：
（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； （2）已知点1122(,),(,)x y x y 在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题： 若1201x x <<≤，则1y 2y ； 若121x x <<，则1y 2y ；
若121x x ⋅=，则1y 2y （填“>”，“=”，“<”）．
（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设水池底面一边的长为
x 米，水池总造价为y 千元． ①请写出y 与x 的函数关系式；
②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x 应控制在什么范围内?
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
首先根据反比例函数所在象限确定k ＜0，再根据k ＜0确定抛物线的开口方向和对称轴，即可选出答案． 【详解】
解：∵反比例函数(0)k
y k x
=≠图象在二、四象限， ∴k ＜0，
∴二次函数y=kx 2-2x 的图象开口向下，
对称轴=-212k k
-=， ∵k ＜0，
∴
1
k
＜0， ∴对称轴在x 轴的负半轴， 故选：A ． 【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，以及二次函数图象，解题的关键是根据反比例函数的性质确定k 的正负．
2．D
解析：D 【分析】
根据一次函数和反比例函数的图象与性质即可得． 【详解】
对于一次函数y kx k =-， 当1x =时，0y k k =-=， 则直线y kx k =-经过定点(1,0)，
A 、由一次函数的图象得：0k <，由反比例函数的图象得：0k >，两者不一致，此项不符题意；
B 、由一次函数的图象得：0k >，由反比例函数的图象得：0k <，两者不一致，此项不符题意；
C 、一次函数的图象不经过定点(1,0)，此项不符题意；
D 、由一次函数的图象得：0k <，且经过定点(1,0)，由反比例函数的图象得：0k <，两者一致，此项符合题意； 故选：D ． 【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象与性质是解题关键．
3．D
解析：D 【分析】
直接利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及反比例函数图象上点的坐标特点得出答案． 【详解】
解：如图所示：过点A 作AD ⊥OB 于点D ，
∵∠ABO＝45°，∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝45°，
∴设AD＝x，则BD＝x，
∵顶点A在反比例函数y＝3
x
（x＞0）的图象上，∴DO•AD＝3，
则DO＝3
x
，
故BO＝x+ 3
x
，
OB2﹣OA2＝（OD+BO）2﹣（OD2+AD2）
＝（x+ 3
x
）2﹣x2﹣
2
9
x
＝6.
故答案为：D.
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，正确应用勾股定理是解题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】
∵反比例函数k
y
x
（k>0），
∴函数图象的两个分式分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵-3＜0，
∴点C（-3，y3）位于第三象限，
∴y3<0；
∵2＞1＞0，
∴A（1，y2）、B（2，y3）在第一象限，
∵2＞1，
∴0<y2＜y1，
∴y3＜y2＜y1．
故选D
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5．A
解析：A
【解析】
【分析】作BD⊥AC于D，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC=2AB=22，BD=AD=CD=2，再利用AC⊥x轴得到C（2，22），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值．
【详解】作BD⊥AC于D，如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=2AB=22，
∴BD=AD=CD=2，
∵AC⊥x轴，
∴C（2，22），
把C（2，22）代入y=k
x
得k=2×22=4，
故选A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反
比例函数y=k
x
（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是
定值k，即xy=k是解题的关键.
6．B
解析：B
【分析】
根据平移和平行四边形的性质将点D也用a、b表示，再根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相等列式算出a、b，再由点坐标求出k的值．
【详解】
解：∵()3,0A ，()0,4B ，
∴A 可以看作由B 向右平移3个单位，向下平移4个单位得到的，
根据平行四边形的性质，D 也可以看作由C 向右平移3个单位，向下平移4个单位得到的，
∵(),C a b ，∴()3,4D a b +-，
∵7.5a b +=，∴(),7.5C a a -，()3,3.5D a a +-，
∵C 、D 都在反比例函数图象上，
∴它们横纵坐标的乘积相等，即()()()7.53 3.5a a a a -=+-，解得 1.5a =， ∴()1.57.5 1.59k =⨯-=．
故选：B ．
【点睛】
本题考查反比例函数与几何图形的结合，解题的关键是根据题目条件，用同一个未知数设出反比例函数图象上的点，然后用反比例函数图象上点的性质列式求解．
7．B
解析：B
【分析】
用待定系数法分别求出两个函数表达式即可．
【详解】
解：设正比例函数为y ＝kx ，
将（－3，4）代入，得
4＝－3k ， 解得43
k =-， ∴正比例函数为43y x =-
， 设反比例函数为k y x
=， 将（－3，4）代入，得
43
k =- 解得k ＝－12，
∴反比例函数为12y x
=-， 故选：B ．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求正比例函数表达式和反比例函数表达式，熟练掌握待定系数法是解决本题的关键．
解析：C
【分析】
根据反比例函数的定义列出方程221m -=-且210m -<求解即可．
【详解】
解：22(21)m y m x -=-是反比例函数，
∴221m -=-，210m -≠，
解之得1m =±．
又因为图象在第二，四象限，
所以210m -<， 解得12
m <，即m 的值是1-． 故选：C ．
【点睛】 对于反比例函数()0k y k x
=≠．（1）0k >，反比例函数图像分布在一、三象限；（2）k 0< ，反比例函数图像分布在第二、四象限内．
9．C
解析：C
【分析】
由一次函数的性质和反比例函数的性质分析即可得到答案．
【详解】
∵一次函数y ＝﹣3x ﹣2中，k=-3＜0，b=-2＜0
∴一次函数y ＝﹣3x ﹣2的图象经过第三象限，故选项A 不符合题意；
∵反比例函数y ＝
x 中，0,
∴反比例函数y ＝x
的图象的一支在第三象限，故选项B 不符合题意； ∵一次函数y
x +1中，0，b=1＞0
∴一次函数y
x +1的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选项C 符合题意；
∵一次函数y ＝3x +2中，k=3＞0，b=2＞0，
∴一次函数y ＝3x +2的图象经过第一、二、三象限，故选项D 不符合题意．
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，熟记两类函数的各种性质是解题的关键．
解析：B
【分析】
分k ＞0和k ＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
【详解】
解：当k ＞0时，函数1y kx =+的图象经过一、二、三象限，反比例函数k y x =-的图象分布在二、四象限，没有选项符合题意；
当0k <时，函数1y kx =+的图象经过一、二、四象限，反比例函数k y x =-
的图象分布在一、三象限，B 选项正确，
故选：B.
【点睛】
考查了反比例函数和一次函数的性质，解题的关键是能够分类讨论，难度不大． 11．B
解析：B
【分析】
作AE ⊥BC 于E ，由四边形ABCD 为平行四边形得AD ∥x 轴，则可判断四边形ADOE 为矩形，所以S 平行四边形ABCD =S 矩形ADOE ，根据反比例函数k 的几何意义得到S 矩形ADOE =|k|．
【详解】
解：作AE ⊥BC 于E ，如图，
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD ∥x 轴，
∴四边形ADOE 为矩形，
∴S 平行四边形ABCD =S 矩形ADOE ，
而S 矩形ADOE =|k|，
∴|k|=8，
而k ＜0
∴k=-8．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了反比例函数y=
k x （k≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y=k x
（k≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
解析：C
【分析】 分别计算自变量为13-，12-
和1时的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】
1(3A -，1)y 、1(2
B -，2)y 、3(1,)
C y 是一次函数3y x b =-+的图象上三点， 11y b ∴=+，232
y b =+，33y b =-+． 3312
b b b -+<+<+， 312y y y ∴<<．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了一次函数的性质．
二、填空题
13．【分析】作AH ⊥BC 交CB 的延长线于H 根据反比例函数解析式求出A 的坐标点B 的坐标求出AHBH 根据勾股定理求出AB 根据菱形的面积公式计算即可
【详解】作AH ⊥BC 交CB 的延长线于H ∵反比例函数y ＝的图象
解析：42
【分析】
作AH ⊥BC 交CB 的延长线于H ，根据反比例函数解析式求出A 的坐标、点B 的坐标，求出AH 、BH ，根据勾股定理求出AB ，根据菱形的面积公式计算即可．
【详解】
作AH ⊥BC 交CB 的延长线于H ，
∵反比例函数y ＝3x
的图象经过A 、B 两点，A 、B 两点的横坐标分别为1和3， ∴A 、B 两点的纵坐标分别为3和1，即点A 的坐标为（1，3），点B 的坐标为（3，1）， ∴AH ＝3﹣1＝2，BH ＝3﹣1＝2，
由勾股定理得，AB ＝，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴BC ＝AB ＝
∴菱形ABCD 的面积＝BC×AH ＝
故答案为
【点睛】
本题考查的是反比例函数的系数k 的几何意义、菱形的性质，根据反比例函数解析式求出A 的坐标、点B 的坐标是解题的关键．
14．6【分析】设A （ab ）由矩形的面积求得ab 再根据中点定义求得M 点坐标进而用待定系数法求得k 【详解】解：设A （ab ）则ab=24∵点M 是OA 的中点∴∵反比例函数经过点M ∴故答案为：6【点睛】本题主要考
解析：6
【分析】
设A （a ，b ），由矩形的面积求得ab ，再根据中点定义求得M 点坐标，进而用待定系数法求得k ．
【详解】
解：设A （a ，b ），则ab=24，
∵点M 是OA 的中点， ∴1122M a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，， ∵反比例函数(0)k y x x =
>经过点M ， ∴1111•2462244
k a b ab =⨯=＝＝， 故答案为：6
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象与性质，关键是通过A 点坐标与已知矩形面积和未知k 联系起来．
15．x ＜0或1＜x ＜4【分析】根据图形找出一次函数图象在反比例函数图象上方的x 的取值范围即可【详解】解：根据图形当x ＜0或1＜x ＜4时一次函数图象在反比例函数图象上方y1＞y2故答案为：x ＜0或1＜x ＜
解析：x ＜0或1＜x ＜4
【分析】
根据图形，找出一次函数图象在反比例函数图象上方的x 的取值范围即可．
【详解】
解：根据图形，当x ＜0或1＜x ＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，y 1＞y 2． 故答案为：x ＜0或1＜x ＜4．
【点睛】
本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，要注意y轴左边的部分，一次函数图象在第二象限，反比例函数图象在第三象限，这也是本题容易忽视而导致出错的地方．
16．-10【分析】连接AC交OB于点D根据菱形的性质可得出SOCD＝×20＝5再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出k值由点C在第二象限即可确定k 的值【详解】连接AC交OB于点D如图所示∵四边形OAB
解析：-10
【分析】
连接AC交OB于点D，根据菱形的性质可得出S OCD＝1
4
×20＝5，再根据反比例函数系数k
的几何意义即可求出k值，由点C在第二象限，即可确定k的值．【详解】
连接AC交OB于点D，如图所示．
∵四边形OABC为菱形，
∴AC⊥OB，
∵菱形OABC的面积为20，
∴S OCD＝1
4
×20＝5．
∵点C在反比例函数
k
y
x
的图象上，CD⊥y轴，
∴S OCD＝1
2
|k|＝5，解得：k＝±10．
∵点C在第二象限，∴k＝−10．
故答案为：-10．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何以及菱形的性质，根据菱形的性质找出S OCD＝1
4
×20＝
5是解题的关键．
17．【分析】根据正比例函数与反比例函数的定义设出y与x之间的函数关系式然后利用待定系数法求出函数解析式把x=4代入进行计算即可得解【详解】
∵y1与x 成正比例y2与x 成反比例∴设y1=kxy2=∴y=y1 解析：172
【分析】
根据正比例函数与反比例函数的定义设出y 与x 之间的函数关系式，然后利用待定系数法求出函数解析式，把x=4代入进行计算即可得解．
【详解】
∵y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，
∴设y 1=kx ，y 2=
b x ， ∴y= y 1＋y 2=kx+b x
， ∵当x ＝1时，y ＝4，当x ＝2时，y ＝5， ∴4252
k b b k ⎧+=+=⎪⎨⎪⎩，解得：22k b =⎧⎨=⎩， ∴y=2x+2x
， ∴当x ＝4时，y=2×4+
24=172． 故答案是：
172
． 【点睛】 本题主要考查正比例函数与反比例函数的定义，掌握待定系数法，是解题的关键． 18．【分析】过过点P1作P1E ⊥x 轴于点E 过点P2作P2F ⊥x 轴于点F 过点P3作P3G ⊥x 轴于点G 根据△P1OA1△P2A1A2△P3A2A3都是等腰直角三角形可求出A1A2A3的横坐标从而总结出一般规
解析：【分析】
过过点P 1作P 1E ⊥x 轴于点E ，过点P 2作P 2F ⊥x 轴于点F ，过点P 3作P 3G ⊥x 轴于点G ，，根据△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3都是等腰直角三角形，可求出A 1，A 2，A 3的横坐标，从而总结出一般规律得出点A n 的坐标,再求12n y y y ++⋅⋅⋅+的值即可．
【详解】
解：过点P 1作P 1E ⊥x 轴于点E ，过点P 2作P 2F ⊥x 轴于点F ，过点P 3作P 3G ⊥x 轴于点G ，
∵△P 1OA 1是等腰直角三角形，
∴P 1E=OE=A 1E ，
设点P 1的坐标为(a,a)，(a>0)，
将点P 1(a,a)代入()90y x x
=
>，可得a=3， 故点A 1的坐标为(6,0)， 设点P 2的纵坐标为b ，则P 2的横坐标为6+b ，
将点(b+6,b)代入()90y x x
=>，可得b=323， 故点A 2的横坐标为2
同理可以得到A 3的横坐标是3
A n 的横坐标是n ,
根据等腰三角形的性质得到12n y y y ++⋅⋅⋅+=A n 的横坐标的一半，
∴12n y y y ++⋅⋅⋅+=3n 故答案为：3n
【点睛】
本题考查了反比例函数的综合应用，涉及了点的坐标的规律变化，解答本题的关键是根据等腰三角形的性质结合反比例函数解析式求出A 1，A 2，A 3的横坐标，从而总结出一般规律，难度较大．
19．3【分析】作BC ⊥x 轴于CAD ⊥BC 于D 易证得△BOC ≌△ABD 得出OC=BDBC=AD 设B 的坐标为（mn ）则OC=mBC=n 根据线段相等的关系得到解得求得B 的坐标然后代入y=（x ＞0）即可求得k 的
解析：3．
【分析】
作BC ⊥x 轴于C ，AD ⊥BC 于D ，易证得△BOC ≌△ABD ，得出OC=BD ，BC=AD ，设B 的坐标为（m ，n ），则OC=m ，BC=n ，根据线段相等的关系得到24m n n m -⎧⎨
-⎩＝＝ ，解得13m n ⎧⎨⎩＝＝ ，求得B 的坐标，然后代入y=
k x
（x ＞0）即可求得k 的值． 【详解】
解：作BC ⊥x 轴于C ，AD ⊥BC 于D ，则∠COB+∠OBC=90°，
∵∠ABO=90°，
∴∠OBC+∠ABD=90°，
∴∠COB=∠ABD ，
在△BOC 和△ABD 中
COB ABD OCB BDA OB AB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△BOC ≌△ABD （AAS ），
∴OC=BD ，BC=AD ，
设B 的坐标为（m ，n ），则OC=m ，BC=n ，
∵点A （4，2），
∴24m n n m -⎧⎨-⎩
＝＝ ，解得， ∴B 的坐标为（1，3），
∵点B 在双曲线y=
k x
（x ＞0）的图象上， ∴k=1×3=3，
故答案为3．
【点睛】
此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，得出相等线段列出关于m 、n 的方程组是解题的关键．
20．4【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC 的值根据等面积法求出OA 的值OA 和AC 分别是点C 的横纵坐标又点C 在反比例函数图像上即可得出答案【详解】∵△ABC 为等腰直角三角形AB=2∴BC=2解得
解析：4
【分析】
根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC 的值，根据等面积法求出OA 的值，OA 和AC 分别是点C 的横纵坐标，又点C 在反比例函数图像上，即可得出答案.
【详解】
∵△ABC 为等腰直角三角形，AB=2
∴BC=2，2222AC BC AB =+=
1122
BC AB OA AC ⨯⨯=⨯⨯ 11
2222
OA ⨯⨯=⨯⨯
解得：
∴点C 的坐标为 又点C 在反比例函数图像上 ∴
4k ==
故答案为4.
【点睛】
本题考查的是反比例函数，解题关键是根据等面积法求出点C 的横坐标.
三、解答题
21．（1）81;52y y x x =-
=-；（2）15；（3）02x <<或8x > 【分析】
（1）根据点A 坐标求出反比例函数的系数，再利用反比例函数解析式求出点B 坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）分别过A 点，B 点作x 轴的垂线，垂足为,E F ，可知三角形ABO 的面积等于梯形ABFE 的面积，就可以算出结果；
（3）根据图象找出一次函数在反比例函数上面时x 的取值范围，就可以得到结果．
【详解】
（1）∵()2,4A -在反比例函数()0a y x x =
>上， ∴代入得24k -=
， ∴8k =-，
∴反比例函数的关系数8y x =-
， ∵(),1B m 在8y m =-
上， ∴代入得81m -=-
， ∴8m =，
∴()8,1B -，
又∵()()2,4,8,1A B --在一次函数y kx b =+上，
∴代入得
42
18
k b
k b
-=+
⎧
⎨
-=+
⎩
，解得
1
2
5
k
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，
∴一次函数的解析式为15
2
y x
=-；
（2）如图，分别过A点，B点作x轴的垂线，垂足为,E F，
∵()()
2,4,8,1
A B
--，
∴ABO EABF
S S
∆
=
梯
()()
1
4182
2
=⨯+⨯-
1
56
2
=⨯⨯
15
=，
∴
ABO
S
∆
的面积是15；
（3）一次函数的值大于反比例函数的值，
即一次函数的图象在上方，
∴由图知02
x<<或8
x>．
【点睛】
本题考查反比例函数和一次函数综合，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，特殊三角形的面积求法，利用函数图象解不等式的方法．
22．
8
y
x
=，见解析
【分析】
把()
2,m代入2
y x
=求出m的值，利用待定系数法即可求解．
【详解】
解：由题意，反比例函数
k
y
x
=的图象与正比例函数2
y x
=的图象交于点()
2,m，
则()
2,m在2
y x
=上，
∴224
m=⨯=，
又∵()2,m 在k y x
=
上， ∴28k m ==， ∴反比例函数的表达式：8y x =
， 函数图象如图：
．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的交点，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 23．（1）P ＝
96V ；（2）为了安全起见，气体的体积应不小于0.8（m 3）． 【分析】
（1）设函数解析式为P ＝
k V ，把点（1.6，60）的坐标代入函数解析式求出k 值，即可求出函数关系式；
（2）依题意P≤120，即
96V ≤120，解不等式即可． 【详解】
解：（1）设P 与V 的函数关系式为P ＝
k V ， 则1.6
k ＝60，
解得：k ＝96，
∴反比例函数的表达式为：P ＝96V
； （2）当P ＞120KPa 时，气球将爆炸，
∴P≤120，即
96V
≤120， 解得：V≥0.8（m 3）． 故为了安全起见，气体的体积应不小于0.8（m 3）．
【点睛】
本题考查待定系数求函数解析式，不等式的应用，难度不大，注意运算能力的提升． 24．（1）8y x =-
，2y x =--；（2）6AOB S ∆=；（3）4x <-或02x << 【分析】
(1)根据反比例函数图像上任意一点的横坐标与纵坐标的乘积相等可得到-2n²=-4n 求出n 的值，进而确定A 、B 两点坐标，求出反比例函数的解析式，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
(2)先求出直线y=-x-2与x 轴交点C 的坐标，然后利用S △AOB =S △AOC +S △BOC 进行计算；
(3)观察函数图象得到当x ＜-4或0＜x ＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．
【详解】
解：(1)由“反比例函数上任意一点的横坐标与纵坐标的乘积相等”可知：
-2n²=-4n ，求得n=0(舍去)或n=2，
∴A(-4,2),B(2,-4),
∴m=-4×2=-8，故反比例函数的解析式为：8y x
=-
， 将A 、B 两点代入一次函数y kx b =+中： ∴2442k b k b =-+⎧⎨-=+⎩
，解得12k b =-⎧⎨=-⎩， ∴一次函数的解析式为：2y x =--， 故答案为：8y x
=-
，2y x =--； (2) y=-x-2中，令y=0，则x=-2， 即直线y=-x-2与x 轴交于点C （-2，0），
∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =
112224622⨯⨯+⨯⨯=， 故答案为：6； (3)0m kx b x
+->，变形为：m kx b x +>， 观察图形，即要求一次函数的图像在反比例函数图像的上方，
∴解集为：x ＜-4或0＜x ＜2，
故答案为：x ＜-4或0＜x ＜2．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．
25．（1）
65，2，3（答案不唯一）；（2）见解析；（3）m =﹣4或﹣2或2． 【分析】
（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出12
11+x x ，然后再求出31x ，只要满足1211+x x =3
1x 即可； （3）先求出三点的纵坐标y 1，y 2，y 3，然后由“和谐三数组”可得y 1，y 2，y 3之间的关系，进而可得关于m 的方程，解方程即得结果．
【详解】
解：（1）∵
115236+=， ∴65
，2，3是“和谐三数组”； 故答案为：
65，2，3（答案不唯一）； （2）证明：∵1x ，2x 是关于x 的方程ax 2+bx +c = 0 (a ，b ，c 均不为0)的两根， ∴12b x x a +=-，12c x x a
⋅=， ∴12121211b
x x b a c x x x x c
a -
++===-⋅， ∵3x 是关于x 的方程bx +c =0(b ，c 均不为0)的解， ∴3c x b
=-，∴31b x c =-， ∴1211+x x =3
1x ， ∴x 1 ，x 2，x 3可以构成“和谐三数组”；
（3）∵A (m ，y 1) ，B (m + 1，y 2) ，C (m +3，y 3)三个点均在反比例函数4y x
=的图象上，
∴14y m =，241y m =+，343y m =+，
∵三点的纵坐标y 1，y 2，y 3恰好构成“和谐三数组”，
∴123111y y y =+或213111y y y =+或312
111y y y =+， 即
13444m m m ++=+或13444m m m ++=+或31444
m m m ++=+， 解得：m =﹣4或﹣2或2．
【点睛】 本题是新定义试题，主要考查了一元二次方程根与系数的关系、反比例函数图象上点的坐标特征和对新知“和谐三数组”的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与反比例函数的图象与性质是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）＞；＜；＝；（3）①11y x x =+
+；②122
x ≤≤． 【分析】
（1）用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可；
（2）观察函数图象可以看出有最低点，即函数有最小值，结合表格提供的信息即可解决问题；
（3）①根据底面面积可求出底面另一条边长，进而可求出水池的侧面积，分别表示出底面和侧面的造价，从而可表示出y 与x 的函数关系式；
②根据函数关系式结合表格可得出x 的控制范围．
【详解】
（1）如图1所示；
（2）根据图象和表格可知，当1201x x <<≤时，1y ＞2y ；当121x x <<，则1y ＜2y ；当121x x ⋅=，则1y ＝2y ；
（3）①∵底面面积为1平方米，一边长为x 米，
∴与之相邻的另一边长为1
x
米，
∴水池侧面面积的和为：11
12122()
x x
x x
⨯⨯+⨯⨯=+
∵底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，∴11
112()0.51
y x x
x x
=⨯++⨯=++
即：y与x的函数关系式为：
1
1 y x
x
=++；
②∵该农户预算不超过3.5千元，即y≤3.5∴11 3.5
x
x
++≤
∴1 2.5
x
x
+≤，
根据图象或表格可知，当2≤y≤2.5时，1
2 2
x
≤≤，
因此，该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在1
2 2
x
≤≤．
【点睛】
本题考查反比例函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。