2021年高考数学高分套路 基本不等式(原卷版)

14．已知 x 0, y 0, x 2 y 2xy 3 ，则 x 2 y 的最小值为_____．
15．设实数 嗐૽ 满足条件 的最小值为__．
૽‫ݕ‬ ૽ 嗐 ૽
，若目标函数 ൌ
‫૽ݔ‬൅ ܾ 嗐 ‫⺁ ܾ ݔ‬的最大值为 12，则 ‫ݔ‬
16．函数 f (x) x2 x 4 (x 0) 的最大值为______,此时 x 的值为______. x
2x－y－2≤0，
最小值为________．
42 且目标函数 z＝ax＋by(a，b＞0)的最大值为 4，则 ＋ 的
ab
【举一反三】 1．已知函数 f(x)＝ex 在点(0，f(0))处的切线为 l，动点(a，b)在直线 l 上，则 2a＋2－b 的最小值是________．
2．已知
x
0,
y
0, 且
xy
41 (2)已知正数 x，y 满足 x＋y＝1，则 ＋ 的最小值为________．
x＋2 y＋1
【套路总结】 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数 1”的替换，或构造不等式 求解． 【举一反三】
41 1.若 a，b，c 都是正数，且 a＋b＋c＝2，则 ＋ 的最小值是________．
ab
值为 。
4．已知 x 0 ， y 0 ，且 2x 8 y xy 0 ，若不等式 a x y 恒成立，则实数 a 的范围是 。
5．已知向量
m
a,
1
,
n
2b
1,
3
a
0,
b
0
,
若m
/
/n,
则
2
1
的最小值为
。
ab
6．若实数 x，y 满足 x2 y2 xy 1 ，则 x+y 的最大值是 。
(1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【举一反三】
1.运货卡车以每小时 xkm 的速度匀速行驶 130 km，按交通法规限制 50≤x≤100(单位：km/h)．假设汽油的 x2
2＋ 价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油 360 升，司机的工资是每小时 14 元．
7．设 a 0,
b
0
，若
3
是
3a
与
3b
的等比中项，则
1 a
4 b
的最小值为
.
8．已知
x
0，
y
0 ， lg 2x
lg 8y
lg 2
，则
1 x
1 3y
的最小值是
。
2x y 3 0
9．设变量
x
，
y
满足约束条件
x
2
y
4
0
，若目标函数
z
ax
by(a
0,
b
0)
的最小值为
1，则
y 1
1 1 的最小值为
9
1
C．
2
）
4
D．
7
考向六 实际运用
【例 6】某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成本为 C(x)，当年产量不足
80
千件时，C(x)＝1x2＋10x(万元)．当年产量不小于
80
10 千件时，C(x)＝51x＋
000 －1
450(万元)．每件
3
x
商品售价为 0.05 万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
考向一 直接法 2 【例 1】（1）若 x＞0，则 x＋ 的最小值是( ) x A．2 B．4 C. 2 D．2 2 （2）.设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为( )
A.80
B.77
C.81
D.82
【套路总结】
利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等，即 ①一正：各项必须为正；
ba (2) ＋ ≥2(a，b 同号)．
ab
a＋b (3)ab≤ 2 2 (a，b∈R)．
a＋b
a2＋b2 (4) ≥
2
2(a，b∈R)．
2
以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.
三．算术平均数与几何平均数
a＋b 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均
2 x
1 y
1,
若
x
2y
m2
2m
恒成立，则实数 m
的取值范围是（
）
A．( , 2) [4, ) B． (, 4) [2, ) C．(-2,4)
D．(-4,2)
3．已知双曲线 x2 y2 1(m, n 0) 和椭圆 x2 y2 1有相同的焦点，则 1 4 的最小值为（ ）
mn
54
mn
A．2
B．4
C．6
D．9
【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行
41 1．已知正数 a，b 满足 a＋b＝1，则 ＋ 的最小值为________．
ab
1
0<x<
31
2.若实数 x，y 满足 xy＋3x＝3 2 ，则 ＋ 的最小值为________．
x y－3
3．圆 x2 y2 4x 2y 1 0 上存在两点关于直线 ax 2by 2 0a 0,b 0 对称，则 1 4 的最小
考向五 消元法
【例
5】已知正实数
a，b
满足
a2－b＋4≤0，则
2a＋3b
u＝
的最小值为________．
a＋b
【举一反三】
1．若正数
a
，b
满足
1 a
1 b
1 ，则
1 a 1
b
9 1
的最小值为（
A． 6
B． 9
C．12
） D．15
2．若正数
x、y
满足
x
4
y
xy
0
，则
x
4
y
的最大值为（
2
A．
5
4
B．
4
4x－5
x2＋2 【例 2-2】函数 y＝ (x>1)的最小值为________．
x－1
【套路总结】 此类问题一般不能直接使用基本不等式，要从整体上把握进而运用基本不等式，对不满足使用基本不等式 条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、凑项、凑系数等．
【举一反三】 1. 已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为________．
21．已知正项等比数列{an}满足 2a5 a4 a3 ，若存在两项 am ， an ，使得 8
aman
a1 ，则
9 m
1 n
的最
小值为__________．
3x y 6 0
22．设
x
,
y
满足约束条件
x
y
2
0
x 0, y 0
,若目标函数
z
ax
by(a
0,
b
0)
的最大值为12
,则
2 a
1 2.若函数 f(x)＝x＋ (x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于( )
x－2
A.1＋ 2
B.1＋ 3
C.3
D.4
x－1
3.函数 y＝
的最大值为________．
x＋3＋ x－1
考向三 常数替代法 【例 3】（1）已知 x>0，y>0，且1＋2＝1，则 x＋y 的最小值为________．
x A.有最小值，且最小值为 2 C.有最小值，且最小值为－2
B.有最大值，且最大值为 2 D.有最大值，且最大值为－2
考向二 配凑法
【例 2-1】（1）设 0<x<3，则函数 y＝4x(3－2x)的最大值为________. 2
5
1
(2)已知 x< ，则 f(x)＝4x－2＋ 的最大值为______.
的最小值为__________．
基本不等式
【套路秘籍】---千里之行始于足下
一.基本不等式： ab≤a＋b 2
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号.
a＋b (3)其中 称为正数
a，b
的算术平均数，
ab称为正数 a，b 的几何平均数.
2
二．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
。
2a b
10．正实数 x 、 y 满足 4x2 y2 2xy 4 ，则 2x y 的最大值是
。
11．若正数
a，b
满足
4a
3b
1
0
，则
1 2a
b
a
1
b
的最小值为
。
12．已知 x (0, 1 ) ,则 x(1 4x) 取最大值时 x 的值是
。
4
13．已知正实数 x ， y 满足 x 2 y xy ，则 x y 的最小值为______.
a＋1 b＋c
2.函数
y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点
A，若点
A
在直线
mx＋ny－1＝0
上，且
m，n
11 为正数，则 ＋ 的
mn
最小值为________.
3．已知
a
1, b
0, a
b
2
，则
a
1 1
1 2b
的最小值为（
A． 3 2 2
B． 3 2 42
C． 3 2 2
）
D． 1 2 23
考向四 基本不等式积(ab)与和(a＋b)的转化 【例 4】正数 a，b 满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围是________.
拓展：本例已知条件不变，求 a＋b 的最小值.
【举一反三】
1.若 a>0，b>0 且 2a＋b＝4，则 1 的最小值为( ) ab11Fra bibliotekA.2
B.
C.4
D.
2
4
2.若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值为________.
3 b
的最
小值为______．
23．
设x0，
y
0，x2y
4 ，则
(x 1)(2 y 1) xy
的最小值为__________.
24．已知
x
0,
y
0, lg 2x
lg 4 y
lg
2
，当
x
______________.时，
1 x
1 4y 1
取得最小值.
25．已知
x
，
y
0
，且满足
x
y
1，则
1 x
9 y
2
数不小于它们的几何平均数．
四．利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 p.(简记：积定和最小)
p2 (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值 .(简记：和定积最大)
4
【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始
②二定：各项之和或各项之积为定值；
③三相等：必须验证取等号时条件是否具备
【举一反三】
1.已知 0＜x＜4，则 x(4－x)取得最大值时 x 的值为( )
A．0
B．2
C．4
D.6
2.若 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy的最大值为( )
A.9
B.18
C.36
D.81
1 3.若 x<0，则 x＋ ( )
17．若 a 0, b 0, a 2b 5 ，则 ab 的最大值为________.
18．已知
xy
0 ，则
x y
9y x
的最小值为_______．
19．若 x 4 ， y 1 ，且 xy 12 x 4 y ，则 x y 最小值是_____．
20．已知正数 a ， b 满足 2ab 2a b ，则 a 8b 的最小值是__________．
(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；
(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
考向七 不等式与其他知识综合 【例 7】（1）已知 m，n 为正实数，向量 a＝(m,1)，b＝(1－n,1)，若 a∥b，则1＋2的最小值为________．
mn
x－y≥0， （2）已知 x，y 满足约束条件 x＋2y≥0，