6.第六章特征值和特征向量应用例子

第六章 特征值和特征向量应用例子
方阵的特征值和特征向量是两个应用十分广泛的概念，利用特征值和特征向
量可以把变换AX X →表示成简单而易于想象的形式，利用特征值和特征向量可以求解工程技术中控制论的系统稳定问题、空间曲面和空间曲线的化简问题、微分方程组及差分方程组的求解等问题. 事实上，特征值和特征向量的应用是十分广泛的，远不止这些. 本章主要介绍特征值和特征向量在动力系统、人口流动、污染、遗传及微分方程组求解等方面的应用.
例1 动力系统发展趋势
设0.950.030.050.97A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，分析由100.6(0,1,2,),0.4k k k +⎡⎤
===⎢⎥⎣⎦ x Ax x 所确定的动力系统的长期发展趋势.
解 第1步求A 的特征值，并找出每个特征空间的基. A 的特征方程是
0.950.03
0(0.95)(0.97)(0.03)(0.05)0.050.97λλλλ-==----
2 1.920.92λλ=-+
由二次方程的求根公式得
11λ=，20.92λ=.
容易验证对应11λ=和20.92λ=的特征向量分别是135⎡⎤=⎢⎥⎣⎦v 和211⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
v 的非零倍
数.
下一步把给定的0x 表示为1v 和2v 的线性组合，显然12{,}v v 是2R 的基，因此存在系数1c 和2c ，使得
101122122[]c c c c ⎡⎤
=+=⎢⎥⎣⎦
x v v v v （1）
事实上
1
111202310.60[]510.40c c --⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
v v x 110.600.1251530.400.2258--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
（2） 因为，式（1）的1v 和2v 是A 的特征向量，故1122,(0.92)A A ==v v v v ，容易算出
每个k x ：
101122A c A c A ==+x x v v 1122(0.92)c c =+v v 211122(0.92)A c A c A ==+x x v v 21122(0.92)c c =+v v 继续下去，有
1122
(0.92)(0,1,2,)k k c c k =+= x v v
把式（2）的1c 和2c 代入上式，得
310.1250.225(0.92)(0,1,2,)51k
k k ⎡⎤
⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
⎣⎦
x
当k →∞时，10.375(0.92)0,0.125.0.625k
k ⎡⎤
→→=⎢⎥⎣⎦
x v
例2 幂方法求矩阵的特征值和特征向量
求方阵A 的特征向量要先解一元n 次方程||0λ-=I A 以求出特征根. 解一元
n 次方程一般是很困难的，这就给求特征向量带来困难.
幂方法求矩阵的特征向量的方法：从任何一个非零向量0X 出发（例如取0(1,,1))'= X ，不断地用A 左乘，得到0(1,2,)n n n == X A X ，并且用与n X 方向相同的某个n Y 代替（例如，将n X 除以它的各分量绝对值之和得到n Y ，则n Y 的
各分量绝对值之和为1.）当n 无限增大时，如果n
Y 趋于一个极限位置 Y
，则 Y 就是A 的特征向量（所属特征值通常是A 的所有特征值中绝对值最大的.）
例如：
10.50.40.3210.70.6,2.5 1.42 1.30.30.40.51⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
A 从0(1,1,1,1)'=X 开始，将10=X AX 除以各分量之和得到121,=Y X AY 除以各分量之和得到2Y . 一般地，如果已经得到k Y ，将k AY 除以各分量之和得到1k +Y . 这样就得到一系列的列向量1,,,n Y Y ，直到某个1||m m +-Y Y 小到可以忽略不计的程度，可以近似地认为1m m +=Y Y ，m m λ=AY Y ，则m Y 是特征向量，所属的特征值λ等于m AY 各分量之和. 这个过程很容易用计算机实现. 具体计算出各k Y 如下（为节省篇幅写成行向量形式）：(0.138365,0.27044,0.45283,0.138365),(0.131698,0.251377,0.480387,0.136538),(0.130463,0.248149,0.483933,0.137455),(0.130229,0.247579,0.484386,0.137806), (0.130184,0.247475,0.484443,0.137899),(0.130175,0.247456,0.484449,0.13792),(0.130173,0.247452,0.48445,0.137924),(0.130173,0.247451,0.48445,0.137925), (0.130173,0.247451,0.48445,0.137926),(0.130173,0.247451,0.48445,0.137926), 其中9Y 与10Y 已经看不出差别，可以认为是特征向量. 99λ=AY Y ，其中
3.75697λ=是9AY 的各分量和，就是9Y 所属于的特征值.
这个方法求出的是绝对值最大的特征值的特征向量.
在科学计算中，这个方法叫做幂方法. 什么样的方阵可以用这个方法来求特征向量，是值得探讨的理论问题. 不过，只要计算机做出来的结果收敛，n Y 与1n +Y 的差别趋于零，就求出了一个特征向量.
例3 人口流动模型
假设一个大城市的总人口是固定的，人口的分布因居民在市区和郊区之间迁徒而变化，每年有6%的市区居民搬到效区去住，而有2%的效区居民搬到市区居住，假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在效区，问10年后市区和效区的居民人口比例是多少？50年后又如何？
这个问题可以用矩阵乘法来描述，把人口变量用市区和效区两个分量表示，
即k k c k s x x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
x ，其中k c x 为市区人口所占比例，k s x 为效区人口所占比例，k 表示年
份的次序，0k =时的初始状态的人口变量为0000.3.0.7c s x x ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭x
一年后，市区人口为100(10.06)0.02c c s x x x =-+，效区人口
1000.06(10.02)s c s x x x =+-，用矩阵表示为
11100.940.020.30.2960.0.060.980.70.7040c s x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭x Ax 从初始时间到k 年，此关系保持不变，因此上述算式可扩展为
2120.k k k k --==== x Ax A x A x 可算出
11030500.29600.27170.25410.2508,,,.0.70400.72830.74590.7492⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
x x x x
事实上，无限增加时间k ，市区和效区人口之比将趋向于一组常数0.25/0.75. 为了弄清为什么这个过程趋于一个稳态值，用MA TLAB 程序先求出A 特征值
12=0.9200=1.0000λλ，，特征向量分别为10.70710.7071ξ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦和20.31620.9487ξ-⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
. 令1211,13-⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ，它们分别与两个特征向量12,ξξ成比例并构成整数，
由于
110.94
0.0210.920.920.060.9810.92--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
===
⎪⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭Au u ， 220.94
0.02110.06
0.9833⎛⎫⎛⎫⎛⎫
===
⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
Au u ，
由于1u 和2u 是属于不同特征值的特征向量，所以它们线性无关，因此是二维向量空间的基.
初始向量0x 可以写成基向量1u 和2u 的线性组合
0210.3110.250.050.250.05.0.731-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
x u u
因此0210.250.05(0.92).k k k ==-x A x u u
式中的第二项会随着k 的增大趋于零，如果只取小数点后两位，则只要27k >，这第二项就可以忽略不计而得到
27020.25|0.25.0.75k k k >⎛⎫
=== ⎪
⎝⎭
x A x u。