课件1：5.3.4 频率与概率
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5.3.4 频率与概率
课程标准
学科素养
1.结合实例，会用频率估计概率． 通过学习频率与概率的关系，加强数
2.理解频率与概率的区别与联系． 学抽象、数学运算、数学建模的核心
3.能用概率的意义解释生活中的事例. 素养.
【自主预习】
知识点 用频率估计概率 一般地，如果在 n 次重复进行的试验中，事件 A 发生的频率为mn ，则当
453
乙击中 10 环的频率mn 0.8
0.95 0.88 0.93 0.885
0.906
(2)由(1)中的数据可知两名运动员击中 10 环的频率都集中在 0.9 附近，所以预测
两人在奥运会上击中 10 环的概率均约为 0.9，也就是说甲、乙两人的实力相当．
[方法总结]
概率实际上是频率的科学抽象，是一个确定的数，是客观 存在的，与试验次数无关．求某事件的概率，可以通过求 该事件的频率来解．
2．从某自动包装机包装的白糖中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分 别为(单位：g)： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装白糖质量 在497.5～501.5 g之间的概率约为________. 答案 0．25 解析 样本中白糖质量在 497.5～501.5 g 之间的有 5 袋，所以该自动包装机包 装的袋装白糖质量在 497.5～501.5 g 之间的频率为250＝0.25，则概率约为 0.25.]
本课结束
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甲击中 10 环的次数(m) 9 17 44 92 179 450
甲击中 10 环的频率mn
乙击中 10 环的次数(m) 8 19 44 93 177 453
乙击中 10 环的频率mn
(1)分别计算出甲、乙两名运动员击中10环的频率； (2)根据(1)中的数据预测两名运动员在奥运会上击中10环的概率．
【课堂探究】
探究一 频率与概率的关系 【例1】下列说法： (1)一个人打靶，打了10发子弹，有7发中靶．因此这个人中靶的概率为0.7 . (2)随机事件的频率与概率一定不相等． (3)在条件不变的情况下，随机事件的概率不变． (4)在一次试验结束后，随机事件的频率是变化的． (5)任何事件都有概率． 其中正确的是________.(填序号)
[方法总结]
概率是对随机现象发生可能性大小的度量，可以通过定义 的方法得到，也可以通过统计的方法进行估计．
[跟踪训练3] 有一个容量为200的样本，样本数据分组为[50,70)，[70,90)， [90,110)，[110,130)，[130,150]，其频率分布直方图如图所示．根据样本 的频率分布直方图估计样本数据落在区间[90,110)内的概率为________.
解 (1)甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为5＋ 10020＝14，用频率估计 概率，所以甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率为14. (2)根据抽样结果，寿命大于 200 小时的产品共有 75＋70＝145(个)，其 中甲品牌产品是 75 个，所以在样本中，寿命大于 200 小时的产品是甲 品牌的频率是17455＝1259，用频率估计概率，所以已使用了 200 小时的该 产品是甲品牌的概率为1259.
答案 ④
解析 ①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来 说的，所以任取200件，不一定有10件是次品．②③混淆了频率与 概率的区别．④正确．
探究二 用频率估计概率
【例2】某射击队统计了平日训练中两名运动员击中10环的次数，如下表：
射击次数(n)
10 20 50 100 200 500
答案 0．3 解析 由题意得a＝1－(0.005＋0.01＋0.012 5＋0.007 5)×20 ＝0.3，所以样本数据落在区间[90,110)内的概率为0.3.
【课堂小结】
频率与概率的联系与区别 (1)联系：随着试验次数的增加， 频率会在概率的附近摆动，并趋于稳定. 在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为它的估计值． (2)区别：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次 数的重复试验得到的事件的频率都可能不同．而概率是一个确定数，是客 观存在的，与每次试验无关.
答案(3)(5)
解析 因为试验次数较少，此事件中靶的频率为0.7，它不能说是概 率．所以(1)错；(2)在大量重复试验的情况下，频率稳定在某一常数 附近，这时频率与概率相等，所以(2)错；(3)概率是一个稳定值，不 随试验次数的变化而变化，因此，在条件不变的情况下，概率不变， 所以(3)正确；(4)频率随着试验的次数发生变化，但在一次试验结束 后，频率是不变的，所以(4)错误；(5)事件包括必然事件，不可能事 件，随机事件，它们都有概率，所以(5)正确．
(2)由(1)知发芽频率逐渐稳定在 0.90，因此可以估计种子的发芽率为 0.90.
探究三 统计与概率 【例3】假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了 解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测 试，结果统计如图所示：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率； (2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该 产品是甲品牌的概率．
[方法总结]
频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出 它们的频率，频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳 定值附近摆动，这个稳定值就是概率．
[跟踪训练 1] 给出下列四个命题： ①设有一批产品，其次品率为 0.05，则从中任取 200 件，必有 10 件是次 品； ②做 100 次抛硬币的试验，结果 51 次出现正面朝上，因此，出现正面朝 上的概率是15010； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率； ④抛掷骰子 100 次，得点数是 1 的结果 18 次，则出现 1 点的频率是590. 其中正确命题为________.(填序号)
m n____很__大____时，可以认为事件 A 发生的概率 P(A)的估计值为_____n_____.
不难看出此时也有 0≤P(A)≤1. 这种确定概率估计值的方法称为用频率
估计概率．
[微体验] 1．下列说法正确的是( ) A．任何事件的概率总在(0,1)内 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．概率是随机的，在试验前不能确定 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 答案 D 解析 任何事件的概率总在[0,1]内，频率与试验次数有关，C中概率是 客观存在的，故A、B、C都不正确．
解 (1)两名运动员击中 10 环的频率如下表：
射击次数(n)
10 20 50 100 200
500
甲击中 10 环的次数(m) 9
17 44 92 179
450
甲击中 10 环的频率mn 0.9
0.85 0.88 0.92 0.895
0.9
乙击中 10 环的次数(m) 8
19 44 93 177
[跟踪训练 2] 某质检员从一大批种子中抽取若干组种子，在同一条件
下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数
25 70 130 700
2 000
3 000
发芽粒数
24 60 116 639
1 806
2 713
发芽频率
(1)计算各组种子的发芽频率，填入上表；
(2)根据频率的稳定值估计种子的发芽率．
解 (1)种子的发芽频率从左到右依次为：0.96,0.86,0.89,0.91,0.90,0.90.
课程标准
学科素养
1.结合实例，会用频率估计概率． 通过学习频率与概率的关系，加强数
2.理解频率与概率的区别与联系． 学抽象、数学运算、数学建模的核心
3.能用概率的意义解释生活中的事例. 素养.
【自主预习】
知识点 用频率估计概率 一般地，如果在 n 次重复进行的试验中，事件 A 发生的频率为mn ，则当
453
乙击中 10 环的频率mn 0.8
0.95 0.88 0.93 0.885
0.906
(2)由(1)中的数据可知两名运动员击中 10 环的频率都集中在 0.9 附近，所以预测
两人在奥运会上击中 10 环的概率均约为 0.9，也就是说甲、乙两人的实力相当．
[方法总结]
概率实际上是频率的科学抽象，是一个确定的数，是客观 存在的，与试验次数无关．求某事件的概率，可以通过求 该事件的频率来解．
2．从某自动包装机包装的白糖中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分 别为(单位：g)： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装白糖质量 在497.5～501.5 g之间的概率约为________. 答案 0．25 解析 样本中白糖质量在 497.5～501.5 g 之间的有 5 袋，所以该自动包装机包 装的袋装白糖质量在 497.5～501.5 g 之间的频率为250＝0.25，则概率约为 0.25.]
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甲击中 10 环的频率mn
乙击中 10 环的次数(m) 8 19 44 93 177 453
乙击中 10 环的频率mn
(1)分别计算出甲、乙两名运动员击中10环的频率； (2)根据(1)中的数据预测两名运动员在奥运会上击中10环的概率．
【课堂探究】
探究一 频率与概率的关系 【例1】下列说法： (1)一个人打靶，打了10发子弹，有7发中靶．因此这个人中靶的概率为0.7 . (2)随机事件的频率与概率一定不相等． (3)在条件不变的情况下，随机事件的概率不变． (4)在一次试验结束后，随机事件的频率是变化的． (5)任何事件都有概率． 其中正确的是________.(填序号)
[方法总结]
概率是对随机现象发生可能性大小的度量，可以通过定义 的方法得到，也可以通过统计的方法进行估计．
[跟踪训练3] 有一个容量为200的样本，样本数据分组为[50,70)，[70,90)， [90,110)，[110,130)，[130,150]，其频率分布直方图如图所示．根据样本 的频率分布直方图估计样本数据落在区间[90,110)内的概率为________.
解 (1)甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为5＋ 10020＝14，用频率估计 概率，所以甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率为14. (2)根据抽样结果，寿命大于 200 小时的产品共有 75＋70＝145(个)，其 中甲品牌产品是 75 个，所以在样本中，寿命大于 200 小时的产品是甲 品牌的频率是17455＝1259，用频率估计概率，所以已使用了 200 小时的该 产品是甲品牌的概率为1259.
答案 ④
解析 ①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来 说的，所以任取200件，不一定有10件是次品．②③混淆了频率与 概率的区别．④正确．
探究二 用频率估计概率
【例2】某射击队统计了平日训练中两名运动员击中10环的次数，如下表：
射击次数(n)
10 20 50 100 200 500
答案 0．3 解析 由题意得a＝1－(0.005＋0.01＋0.012 5＋0.007 5)×20 ＝0.3，所以样本数据落在区间[90,110)内的概率为0.3.
【课堂小结】
频率与概率的联系与区别 (1)联系：随着试验次数的增加， 频率会在概率的附近摆动，并趋于稳定. 在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为它的估计值． (2)区别：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次 数的重复试验得到的事件的频率都可能不同．而概率是一个确定数，是客 观存在的，与每次试验无关.
答案(3)(5)
解析 因为试验次数较少，此事件中靶的频率为0.7，它不能说是概 率．所以(1)错；(2)在大量重复试验的情况下，频率稳定在某一常数 附近，这时频率与概率相等，所以(2)错；(3)概率是一个稳定值，不 随试验次数的变化而变化，因此，在条件不变的情况下，概率不变， 所以(3)正确；(4)频率随着试验的次数发生变化，但在一次试验结束 后，频率是不变的，所以(4)错误；(5)事件包括必然事件，不可能事 件，随机事件，它们都有概率，所以(5)正确．
(2)由(1)知发芽频率逐渐稳定在 0.90，因此可以估计种子的发芽率为 0.90.
探究三 统计与概率 【例3】假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了 解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测 试，结果统计如图所示：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率； (2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该 产品是甲品牌的概率．
[方法总结]
频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出 它们的频率，频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳 定值附近摆动，这个稳定值就是概率．
[跟踪训练 1] 给出下列四个命题： ①设有一批产品，其次品率为 0.05，则从中任取 200 件，必有 10 件是次 品； ②做 100 次抛硬币的试验，结果 51 次出现正面朝上，因此，出现正面朝 上的概率是15010； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率； ④抛掷骰子 100 次，得点数是 1 的结果 18 次，则出现 1 点的频率是590. 其中正确命题为________.(填序号)
m n____很__大____时，可以认为事件 A 发生的概率 P(A)的估计值为_____n_____.
不难看出此时也有 0≤P(A)≤1. 这种确定概率估计值的方法称为用频率
估计概率．
[微体验] 1．下列说法正确的是( ) A．任何事件的概率总在(0,1)内 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．概率是随机的，在试验前不能确定 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 答案 D 解析 任何事件的概率总在[0,1]内，频率与试验次数有关，C中概率是 客观存在的，故A、B、C都不正确．
解 (1)两名运动员击中 10 环的频率如下表：
射击次数(n)
10 20 50 100 200
500
甲击中 10 环的次数(m) 9
17 44 92 179
450
甲击中 10 环的频率mn 0.9
0.85 0.88 0.92 0.895
0.9
乙击中 10 环的次数(m) 8
19 44 93 177
[跟踪训练 2] 某质检员从一大批种子中抽取若干组种子，在同一条件
下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数
25 70 130 700
2 000
3 000
发芽粒数
24 60 116 639
1 806
2 713
发芽频率
(1)计算各组种子的发芽频率，填入上表；
(2)根据频率的稳定值估计种子的发芽率．
解 (1)种子的发芽频率从左到右依次为：0.96,0.86,0.89,0.91,0.90,0.90.